11.2.1三角形的内角基础练习
一、选择题
1．已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为(
)
A．100°
B．120°
C．140°
D．160°
2．如图，在△ABC中，点D是和角平分线的交点，若，那么
A．
B．
C．
D．
3．△ABC中，∠A=45°，∠B=63°，则∠C=（
）
A．72°
B．92°
C．108°
D．180°
4．
在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（
）
A．必有一个角等于
B．必有一个角等于
C．必有一个角等于
D．必有一个角等于
5．
如图，直线，于点，若，则的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．一个三角形三个内角的度数之比是2:3:4，这个三角形一定是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
7．一把直尺和一块三角板(含、角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点和点，另一边与三角板的两直角边分别交于点和点，且，那么的大小为( )
A．
B．
C．
D．
8．如图，在中，于点，于点，是的中点，连结，设，则(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．把一块含有角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若，则_______．
10．在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=________度.
11．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数是_________.
12．如图，直线a∥b，∠l＝60°，∠2＝40°，则∠3＝______．
13．如图，已知点D，E，F，G分别为三边AB，BC，AC上的点；连接EF，CD，DG，且使，，如果，，那么的度数为______．
14．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3＝_____．
15．如图所示，的内角平分线与的外角平分线交于点P，已知，______．
三、解答题
16．如图，将△MNP的三边分别向两边延长，并在每两条延长线上任取两点连接起来，又得到了三个新的三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
17．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；
(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．
①以线段AC为边的“8字型”有
个，以点O为交点的“8字型”有
个；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．
18．如图，在中，，求的度数.
19．一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B和∠C应分别是32°和21°，检验工人量得∠BDC=148°，断定这个零件是否合格？为什么？
20．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是、的平分线，，，试求的度数．
21．（1）如图（1）所示，已知中，试确定
（2）如图（2）所示，已知中，试确定
（3）如图（3）所示，已知中，试确定
答案
1．
B
2．
A
3．
A
4．
D
5．
B
6．
C
7．
B
8．
A
9．
68
10．
84
11．
80°
12．
80°
13．
68°
14．
90°
15．
16．
证明：如图
∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F.
又∵∠1＝∠4＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠3＝∠5＋∠6，
∴∠1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠5＋∠4＋∠6＋∠5＋∠6
＝2(∠4＋∠5＋∠6)
＝2×180°＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°
17．
解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：
以点O为交点的“8字型”有4个：
②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，
∴2∠P＝∠B+∠C，
∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B+∠C）=（100°+120°）＝110°；
③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：
∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，
以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，
以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），
∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴3∠P＝∠B+2∠C．
18．
解，
.
∴在中，，
∵
∴.
∵在中，，
∴
.
19．
这个零件不合格.
理由：连接AD并延长至点E，如图所示：
∵∠BDE=∠BAD+∠DBA，∠CDE=∠CAD+∠ACD，
∴∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠DBA+∠CAD+∠ACD.
∵∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠DBA+∠CAD+∠ACD，∠BDE+∠CDE=∠BDC，
∴∠BDC=∠BAD+∠DBA+∠CAD+∠ACD.
∵∠BDC=∠BAD+∠DBA+∠CAD+∠ACD，∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，∠DBA=32°，∠ACD=21°，
∴∠BDC=143°.
∵∠BDC=143°，但量得∠BDC=148°≠143°，
∴这个零件不合格.
20．
解：是BC边上的高，，
，
，AE平分，
，
，
中，，
．
21．
解：（1）∠BDC=90°+∠A
证明：∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB
∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB
又∵∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB
∴∠BDC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-
(∠ABC+∠ACB)
=180°-
(180°-∠A)=90°+∠A
即：∠BDC=90°+∠A
（2）∠BDC=∠A
证明：∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE
∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE
又∵∠DCE=∠DBC+∠BDC
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=∠ACE-∠ABC=
(∠ACE-∠ABC)
又∵∠ACE=∠ABC+∠A
∴∠BDC=（∠ACE-∠ABC）=∠A
即：∠BDC=∠A
（3）∠BDC=90°-∠A
证明：∵BD平分∠EBC,CD平分∠FCB
∴∠DBC=∠EBC,∠DCB=∠FCB
又∵∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB
∴∠BDC=180°-∠EBC-∠FCB=180°-
(∠EBC+∠FCB)
∵∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A
∴∠BDC=180°-
(∠ACB+∠A+∠ABC+∠A)
=180°-
(180°+∠A)=90°-∠A
即：∠BDC=90°-∠A11.2.1三角形的内角学情评价
一、选择题
1．已知△ABC中，比它相邻的外角小，则为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC=115°，则∠A的度数是（ ）
A．50°
B．57.5°
C．60°
D．65°
3．在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（
）
A．必有一个角等于
B．必有一个角等于
C．必有一个角等于
D．必有一个角等于
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（ ）
A．120°
B．80°
C．60°
D．40°
5．如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字型通道．如果∠DBA=130°，∠ECA=135°，那么∠A的度数是（
）
A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
6．已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为(
)
A．60°,90°,75°
B．48°,72°,60°
C．48°,32°,38°
D．40°,50°,90°
7．一个三角形三个内角的度数之比是2:3:4，这个三角形一定是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
8．如图，，、、分别平分、和。以下结论:①;②;③;④.
其中正确的结论是（
）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
9．如图，在△ABC中，AC=BC，D在BC的延长线上，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点P，则下列结论中不一定正确的是(
)
A．∠ACD=2∠A
B．∠A=2∠P
C．BP⊥AC
D．BC=CP
9．C
二、填空题
10．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=__
．
11．
如图，直线，点、分别在上，．过线段上的点作交于点，则的大小为_____度．
12．如图，EG、FG分别是∠MEF，∠NFE的平分线，交点是G，BP、CP分别是∠MBC和∠NCB的平分线交点是P．若∠G＝，则∠P的度数为_________
13．△ABC中,∠A=50°，两内角角平分线BD、CE交于点H，则∠BHC的度数为___.
14．如图，已知点D，E，F，G分别为三边AB，BC，AC上的点；连接EF，CD，DG，且使，，如果，，那么的度数为______．
三、解答题
15．已知：如图所示，AB∥CD，DE与BF相交于点E，试探究∠3与∠1，∠2之间有何等量关系？并加以证明．
16．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
(1)①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为_____．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为_____．
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
(3)当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，当这两块角尺有一组边互相平行时，请写出∠ACE角度所有可能的值．并说明理由．
17．在△ABC中，，求△ABC三个内角的度数.
18．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，若∠B=40°，∠ADB＝78°，且∠ADB＝2∠C，求∠BAC度数。
19．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高．
（1）若∠ACB＝100°，求∠CAE的度数；
（2）若S△ABC＝12，CD＝4，求高AE的长．
20．如图，BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，∠A＝60°，求∠BEC和∠BFC的度数．
答案
1．
B
2．
A
3．
D
4．
C
5．
C
6．
B
7．
C
8．
D
9．
C
10．
40°
11．
57
12．
53
13．
115°
14．
68°
15．
证明：连结BD.
∵∠3是△BDE的外角，
∴∠3＝∠DBE＋∠BDE.
又∵AB∥CD，
∴∠ABD＋∠BDC＝180°.
∴∠3＝(∠1－∠ABD)＋(∠2－∠BDC)
＝∠1＋∠2－(∠ABD＋∠BDC)
＝∠1＋∠2－180°
16．
解：(1)①∵∠DCB＝45°，∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝45°+90°＝135°，
故答案为：135°；
②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，
∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°；
(2)猜想：∠ACB+∠DCE＝180°，
理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠ACB＝∠ACE+90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE，
即∠ACB+∠DCE＝180°；
(3)30°、45°．
理由：当CB∥AD时（如图1），
∴∠AFC=∠FCB=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ACE＝90°-∠A=30°；
当EB∥AC时（如图2），
∴∠ACE＝∠E=45°．
17．
解∵∠A-∠B=∠B-∠C
∴∠A+∠C=2∠B
又∵∠A+∠B+∠C=180°
∴3∠B=180°
∴∠B=60°
又∵∠A-∠B=10°，∠B-∠C=10°
∴∠A=∠B+10°=70°
∠C=∠B-10°=50°
18．
解
在△ABD中，∠B=40°，∠ADB=78°，
∵∠BAD+∠B+∠ADB=180°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-78°=62°,
∵∠ADB＝∠C+∠CAD=78°,且∠ADB＝2∠C，
∴∠C=∠CAD=∠ADB=39°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=62°+39°=101°.
19．
解：（1）∵AE是BC边上的高，
∴∠E＝90°，
又∵∠ACB＝100°，∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝80°，
∵∠CAE+∠ACE+∠E＝180°
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣80°＝10°；
（2）∵AD是BC上的中线，DC＝4，
∴D为BC的中点，
∴BC＝2DC＝8，
∵AE是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABC＝BC?AE，
即×8×AE＝12，
∴AE＝3．
20．
解
如图，延长BE交AC于G，
由三角形外角性质，可得∠BEC＝∠BGC+∠ACE，∠BGC＝∠A+∠ABE，
∵BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，
∴∠ABE＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BEC＝∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+（180°﹣∠A）＝60°+∠A，
当∠A＝60°时，∠BEC＝60°+×60°＝100°，
同理可得，∠BFC＝∠A+（180°﹣∠A）＝120°+∠A＝120°+×60°＝140°．
