人教版 七年级（上）数学讲义 3.4 实际问题与一元一次方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 七年级（上）数学讲义 3.4 实际问题与一元一次方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 135.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-13 09:57:05 | ||
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文档简介
69532585725
第9讲 一元一次方程的应用
0329565
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，本节课我们要学习利用一元一次方程解应用题；核心部分是熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
0137160
知识梳理
讲解用时：20分钟
5143555245一元一次方程解决实际问题的一般步骤
一元一次方程解决实际问题的一般步骤
3238514605列方程解应用题的基本思路为：问题false方程false解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
列方程解应用题的基本思路为：问题false方程false解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
5143562865常见列方程解应用题的几种类型
常见列方程解应用题的几种类型
514353721101．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
13335844555．利润问题
（1）false
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
6.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
7.存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×false
5．利润问题
（1）false
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
6.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
7.存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×false
-47625381000
课堂精讲精练
【例题1】
2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？
【答案】生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．
【解析】
解：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8﹣x）亿立方米．
依题意，得5.8﹣x=3x+0.6，
解得：x=1.3，
∴5.8﹣x=5.8﹣1.3=4.5（亿立方米）．
答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．
讲解用时：3分钟
解题思路：等量关系为：居民家庭用水=生产运营用水的3倍+0.6．
教学建议：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．本题也可根据“生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米”来列等量关系．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.1】
某集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问该集团第二个季度销售冰箱多少台？
【答案】400
【解析】
解：设该集团第二个季度销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：
x+2x+4x=2800，
解得：x=400，
答：该集团第二个季度销售冰箱400台．
讲解用时：3分钟
解题思路：设该集团第二个季度销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，根据三个季度共销售冰箱2800台，列出方程，然后求解即可．
教学建议：读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题2】
小明从A地到B地，如果每小时走4千米，那么走到预定时间，离B地还有0.5千米；如果他每小时走5千米，那么比预定时间少用0.5小时就可到达B地．求预定时间是多少？
【答案】3小时
【解析】
解：设预定时间为x小时，
则：4x+0.5=5（x﹣0.5）
解得：x=3，
答：预定时间是3小时．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据路程相等作为相等关系列方程即可求解．
教学建议：要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
汽车在一段坡路上往返行驶，上坡速度为每小时10km，下坡速度是每小时20km，求汽车的平均速度．
【答案】false千米/时
【解析】
解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为false小时，下坡行驶的时间为false小时．依题意，得：false，
化简得： false．
显然a≠0，解得false
答：汽车的平均速度为false千米/时．
讲解用时：4分钟
解题思路：设斜坡的长为a千米，先表示出上坡与下坡的时间，然后利用总路程不变，建立等量关系，即可得到汽车的平均速度．
教学建议：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案】false小时
【解析】
解：设甲经过x小时与乙相遇，则乙经过（x﹣1）小时．
23x+21（x﹣1）=100，
23x+21x﹣21=100，
44x=121，
x=false．
答：甲经过false小时与乙相遇．
讲解用时：4分钟
解题思路：可设甲经过x小时与乙相遇，则乙经过（x﹣1）小时，根据等量关系：A、B两地相距100km，列出方程求解即可．
教学建议：寻找到等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习3.1】
已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲、乙的速度．
【答案】甲的速度为5千米每小时，则乙的速度为6千米每小时．
【解析】false小时，false千米
解：设甲的速度为false千米每小时，则乙的速度为false千米每小时，
由题意可得：false，解得：false
答：甲的速度为5千米每小时，则乙的速度为6千米每小时．
讲解用时：4分钟
解题思路：甲的速度为false千米每小时，则乙的速度为false千米每小时，根据等量关系：甲乙所走的路程=甲乙两地间的距离，列出方程，求解即可．
教学建议：相遇问题的关键点是甲、乙的时间相等．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/小时的速度前进，从学校走了18分钟时，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/小时的速度按原路追上去，通讯员用多长时间可以追上学生队伍？通讯员追上学生队伍时，他们已经行进了多长的路程？
【答案】false
【解析】false小时，false千米
解：设通讯员需x小时可以追上学生队伍．
由题意得：5×+5x=14x，
解得：x=false，
5×+5x=5×+5×=false
答：通讯员需false小时可以追上学生队伍，通讯员追上学生队伍时，他们已经行进了false千米的路程．
讲解用时：4分钟
解题思路：可设通讯员需x小时可以追上学生队伍，根据等量关系为：通讯员所走的路程=学生所走的路程，列出方程，求解即可．
教学建议：本题找到“学生所用的时间”是难点，关键是找到相应的等量关系．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
一队学生从学校步行去博物馆，他们以5km/h的速度行进需要40分钟，他们出发24分钟后，一名教师骑自行车以15km/h的速度按原路追赶学生队伍，问这名教师能否在学生到达之前追上他们？
【答案】这名教师能在学生到达之前追上他们.
【解析】
解：∵40分钟=小时．24分钟=小时
设这名教师追上学生需要的时间为x小时，由题意，得
×5+5x=15x，
解得：x=，
∵=12分钟＜16分钟，
∴这名教师能在学生到达之前追上他们．
讲解用时：4分钟
解题思路：设这名教师追上学生需要的时间为x小时，根据追击问题的数量关系建立方程求出x的值，再比较x的值与40﹣24=16分钟的大小，就可以得出结论．
教学建议：本题考查了追击问题在解实际问题是的运用，慢者走的路程=快者走的路程的运用，解答时注意进行单位换算，根据条件建立方程是关键.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?
【答案】用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．
【解析】
解：设做上衣需要xm，则做裤子为(750-x)m，做上衣的件数为false件，做裤子的件数为false，则有：
false
解得：x＝450，
x＝750-450＝300(m)，
false（套）
答：用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．
讲解用时：5分钟
解题思路：每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣false 件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．
教学建议：用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
甲乙两运输队，甲队原有32人，乙队原有28人，若从乙队调走一些人到甲队，那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍，问从乙队调走了多少人到甲队？
【答案】8人．
【解析】
设从乙队调走了x人到甲队．
则；32+x=2×（28﹣x），
解得：x=8．
答：从乙队调走了8人到甲队．
讲解用时：4分钟
解题思路：等量关系为：甲队原有人数+调来的人数=2×（乙队原有人数﹣调走的人数），把相应数值代入即可求解．
教学建议：可以引导利用表格的形式找到等量关系．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
某商店买入100个整理箱，进价为每个40元，卖出时每个整理箱的标价为60元．当按标价卖出一部分整理箱后，剩余的部分以标价的九折出售．所有整理箱卖完时，该商店获得的利润一共是1880元，求以九折出售的整理箱有多少个？
【答案】20个
【解析】
解：设以九折出售的整理箱有x个．
则按标价出售的整理箱有（100﹣x）个．
依题意得 60（100﹣x）+60×0.9x=100×40+1880．
去括号，得 6000﹣60x+54x=5880．
移项，合并，得﹣6x=﹣120．
系数化为1，得 x=20．
答：以九折出售的整理箱有20个．
讲解用时：4分钟
解题思路：可设以九折出售的整理箱有x个，根据该商店获得的利润一共是1880元这个等量关系列方程求解．
教学建议：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
学校计划购买40支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）．甲、乙两家文具店的标价都是钢笔10元/支，笔记本2元/本，甲店的优惠方式是钢笔打9折，笔记本打8折；乙店的优惠方式是每买5支钢笔送1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打7.5折，试问如何购买笔记本在甲、乙两店所花费用一样？
【答案】280
【解析】
解：设购买笔记本数x（x＞40）在甲、乙两店所花费用一样，依题意有
10×0.9×40+2×0.8x=10×40+2×0.75（x﹣8），
解得x=280．
答：购买笔记本数280在甲、乙两店所花费用一样．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题的等量关系是：甲店购买的钢笔的金额+购买的笔记本的金额=到乙店购买的钢笔的金额+购买的笔记本的金额，依此列出方程求解即可．
教学建议：总结利润问题常见处理方法.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
某公司向银行贷款40万元，用于生产新产品，已知该贷款的年利率为15%（还款时，每年利息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税款为销售额的10%，如果每年生产该产品20万个，并把所得利润用来还贷款，问需要几年后才能一次性还清贷款？（利润=销售额﹣成本﹣应纳税款）
【答案】2年
【解析】
解：设x年能够还清贷款，则
false，
化简得1.3x=2+0.3x，
解得x=2．
答：需要2年后才能一次性还清贷款．
讲解用时：4分钟
解题思路：设x年能够还清贷款，根据某公司向银行贷款40万元，用于生产新产品，已知该贷款的年利率为15%（还款时，每年利息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税款为销售额的10%，如果每年生产该产品20万个，并把所得利润用来还贷款，可列方程求解．
教学建议：本题考查理解题意的能力，知道利润=销售额﹣成本﹣应纳税款，根据利润和贷款相等可列方程求出解．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
某公司从银行贷款20万元生产某种产品，已知贷款年利率是15%（不计复利）每个产品成本3.2元，售5元，应纳税为销售款的10%，如果每年生产10万个，并把利润用来偿还贷款，问几年后能一次性还清？（用方程解答）
菁优网版【答案】2年
【解析】
解：设x年后能一次性还清，根据题意可得：
20+20×15%x=（5﹣3.2﹣5×10%）×10x，
整理得：20+3x=13x，
故20=10x，
解得：x=2．
答：2年后能一次性还清．
讲解用时：4分钟
解题思路：利用已知表示出x年后需要还款的总额，进而得出等式求出即可
教学建议：引导学生根据还款总额相等的等量关系列方程求解
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
小敏和另两位同学去春游，买了三瓶矿泉水和两瓶可乐，可乐的价格是矿泉水的1.5倍，一共花去了12.6元，求每瓶矿泉水的价格．
【答案】2.1元
【解析】
解：设每瓶矿泉水的价格为false元，则可乐的价格是每瓶false元，
则由题意可列方程为：false，解得：false
答：每瓶矿泉水的价格为2.1元．
讲解用时：3分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需利息5万元．甲种贷款年利率为14%，乙种贷款年利率为12%，那么该厂申请甲种贷款多少万元？
【答案】 该厂申请甲种贷款10万元．
【解析】
解：设该厂申请甲种贷款false万元，则该厂申请甲种贷款false万元，
由题意可得：false
去括号可得：false，移项整理得：false，
解得：false．
答：该厂申请甲种贷款10万元．
讲解用时：4分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时3队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用6小时，问甲队实际做了几小时？
【答案】 甲队实际做了3小时．
【解析】
解：设甲队实际做了false小时，
因为一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，
所以甲、乙、丙的工作效率分别为false
由题意可列方程为false，解得：false
答：甲队实际做了3小时．
讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业4】
轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时．若船速为26
千米/时，水速为2千米/时，那么A港和B港相距多少千米？
【答案】A港和B港相距504千米．
【解析】
解：设A港和B港相距false千米，
若船速为26千米/时，水速为2千米/时，则顺水速度为26+2=28千米每小时；
逆水速度为26-2=24千米每小时．
则由题意可列方程：false，解得：false
答：A港和B港相距504千米．
讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业5】
甲、乙两种零件共32个，每个甲种零件上钻5个孔，每个乙种零件上只钻1个孔，共钻100个孔，甲、乙两种零件各有多少个？
【答案】甲零件有17个，则乙零件有15个．
【解析】
解：设甲零件有false个，则乙零件有false个，
由题意可得：false，解得：false
答：甲零件有17个，则乙零件有15个．
讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
第9讲 一元一次方程的应用
0329565
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，本节课我们要学习利用一元一次方程解应用题；核心部分是熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路．
0137160
知识梳理
讲解用时：20分钟
5143555245一元一次方程解决实际问题的一般步骤
一元一次方程解决实际问题的一般步骤
3238514605列方程解应用题的基本思路为：问题false方程false解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
列方程解应用题的基本思路为：问题false方程false解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
5143562865常见列方程解应用题的几种类型
常见列方程解应用题的几种类型
514353721101．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
1．和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，
现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
2．行程问题
（1）三个基本量间的关系： 路程=速度×时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：
同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度－水流速度，
顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
3．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
4．调配问题
寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．
13335844555．利润问题
（1）false
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
6.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
7.存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×false
5．利润问题
（1）false
(2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
(3) 实际售价＝标价×打折率
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
6.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
7.存贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×false
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课堂精讲精练
【例题1】
2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？
【答案】生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．
【解析】
解：设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8﹣x）亿立方米．
依题意，得5.8﹣x=3x+0.6，
解得：x=1.3，
∴5.8﹣x=5.8﹣1.3=4.5（亿立方米）．
答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．
讲解用时：3分钟
解题思路：等量关系为：居民家庭用水=生产运营用水的3倍+0.6．
教学建议：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．本题也可根据“生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米”来列等量关系．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.1】
某集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问该集团第二个季度销售冰箱多少台？
【答案】400
【解析】
解：设该集团第二个季度销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：
x+2x+4x=2800，
解得：x=400，
答：该集团第二个季度销售冰箱400台．
讲解用时：3分钟
解题思路：设该集团第二个季度销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，根据三个季度共销售冰箱2800台，列出方程，然后求解即可．
教学建议：读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题2】
小明从A地到B地，如果每小时走4千米，那么走到预定时间，离B地还有0.5千米；如果他每小时走5千米，那么比预定时间少用0.5小时就可到达B地．求预定时间是多少？
【答案】3小时
【解析】
解：设预定时间为x小时，
则：4x+0.5=5（x﹣0.5）
解得：x=3，
答：预定时间是3小时．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据路程相等作为相等关系列方程即可求解．
教学建议：要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
汽车在一段坡路上往返行驶，上坡速度为每小时10km，下坡速度是每小时20km，求汽车的平均速度．
【答案】false千米/时
【解析】
解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为false小时，下坡行驶的时间为false小时．依题意，得：false，
化简得： false．
显然a≠0，解得false
答：汽车的平均速度为false千米/时．
讲解用时：4分钟
解题思路：设斜坡的长为a千米，先表示出上坡与下坡的时间，然后利用总路程不变，建立等量关系，即可得到汽车的平均速度．
教学建议：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案】false小时
【解析】
解：设甲经过x小时与乙相遇，则乙经过（x﹣1）小时．
23x+21（x﹣1）=100，
23x+21x﹣21=100，
44x=121，
x=false．
答：甲经过false小时与乙相遇．
讲解用时：4分钟
解题思路：可设甲经过x小时与乙相遇，则乙经过（x﹣1）小时，根据等量关系：A、B两地相距100km，列出方程求解即可．
教学建议：寻找到等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习3.1】
已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲、乙的速度．
【答案】甲的速度为5千米每小时，则乙的速度为6千米每小时．
【解析】false小时，false千米
解：设甲的速度为false千米每小时，则乙的速度为false千米每小时，
由题意可得：false，解得：false
答：甲的速度为5千米每小时，则乙的速度为6千米每小时．
讲解用时：4分钟
解题思路：甲的速度为false千米每小时，则乙的速度为false千米每小时，根据等量关系：甲乙所走的路程=甲乙两地间的距离，列出方程，求解即可．
教学建议：相遇问题的关键点是甲、乙的时间相等．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/小时的速度前进，从学校走了18分钟时，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/小时的速度按原路追上去，通讯员用多长时间可以追上学生队伍？通讯员追上学生队伍时，他们已经行进了多长的路程？
【答案】false
【解析】false小时，false千米
解：设通讯员需x小时可以追上学生队伍．
由题意得：5×+5x=14x，
解得：x=false，
5×+5x=5×+5×=false
答：通讯员需false小时可以追上学生队伍，通讯员追上学生队伍时，他们已经行进了false千米的路程．
讲解用时：4分钟
解题思路：可设通讯员需x小时可以追上学生队伍，根据等量关系为：通讯员所走的路程=学生所走的路程，列出方程，求解即可．
教学建议：本题找到“学生所用的时间”是难点，关键是找到相应的等量关系．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
一队学生从学校步行去博物馆，他们以5km/h的速度行进需要40分钟，他们出发24分钟后，一名教师骑自行车以15km/h的速度按原路追赶学生队伍，问这名教师能否在学生到达之前追上他们？
【答案】这名教师能在学生到达之前追上他们.
【解析】
解：∵40分钟=小时．24分钟=小时
设这名教师追上学生需要的时间为x小时，由题意，得
×5+5x=15x，
解得：x=，
∵=12分钟＜16分钟，
∴这名教师能在学生到达之前追上他们．
讲解用时：4分钟
解题思路：设这名教师追上学生需要的时间为x小时，根据追击问题的数量关系建立方程求出x的值，再比较x的值与40﹣24=16分钟的大小，就可以得出结论．
教学建议：本题考查了追击问题在解实际问题是的运用，慢者走的路程=快者走的路程的运用，解答时注意进行单位换算，根据条件建立方程是关键.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?
【答案】用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．
【解析】
解：设做上衣需要xm，则做裤子为(750-x)m，做上衣的件数为false件，做裤子的件数为false，则有：
false
解得：x＝450，
x＝750-450＝300(m)，
false（套）
答：用450m做上衣，300m做裤子恰好配套，共能生产300套．
讲解用时：5分钟
解题思路：每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣false 件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量．
教学建议：用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
甲乙两运输队，甲队原有32人，乙队原有28人，若从乙队调走一些人到甲队，那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍，问从乙队调走了多少人到甲队？
【答案】8人．
【解析】
设从乙队调走了x人到甲队．
则；32+x=2×（28﹣x），
解得：x=8．
答：从乙队调走了8人到甲队．
讲解用时：4分钟
解题思路：等量关系为：甲队原有人数+调来的人数=2×（乙队原有人数﹣调走的人数），把相应数值代入即可求解．
教学建议：可以引导利用表格的形式找到等量关系．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
某商店买入100个整理箱，进价为每个40元，卖出时每个整理箱的标价为60元．当按标价卖出一部分整理箱后，剩余的部分以标价的九折出售．所有整理箱卖完时，该商店获得的利润一共是1880元，求以九折出售的整理箱有多少个？
【答案】20个
【解析】
解：设以九折出售的整理箱有x个．
则按标价出售的整理箱有（100﹣x）个．
依题意得 60（100﹣x）+60×0.9x=100×40+1880．
去括号，得 6000﹣60x+54x=5880．
移项，合并，得﹣6x=﹣120．
系数化为1，得 x=20．
答：以九折出售的整理箱有20个．
讲解用时：4分钟
解题思路：可设以九折出售的整理箱有x个，根据该商店获得的利润一共是1880元这个等量关系列方程求解．
教学建议：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
学校计划购买40支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）．甲、乙两家文具店的标价都是钢笔10元/支，笔记本2元/本，甲店的优惠方式是钢笔打9折，笔记本打8折；乙店的优惠方式是每买5支钢笔送1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打7.5折，试问如何购买笔记本在甲、乙两店所花费用一样？
【答案】280
【解析】
解：设购买笔记本数x（x＞40）在甲、乙两店所花费用一样，依题意有
10×0.9×40+2×0.8x=10×40+2×0.75（x﹣8），
解得x=280．
答：购买笔记本数280在甲、乙两店所花费用一样．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题的等量关系是：甲店购买的钢笔的金额+购买的笔记本的金额=到乙店购买的钢笔的金额+购买的笔记本的金额，依此列出方程求解即可．
教学建议：总结利润问题常见处理方法.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
某公司向银行贷款40万元，用于生产新产品，已知该贷款的年利率为15%（还款时，每年利息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税款为销售额的10%，如果每年生产该产品20万个，并把所得利润用来还贷款，问需要几年后才能一次性还清贷款？（利润=销售额﹣成本﹣应纳税款）
【答案】2年
【解析】
解：设x年能够还清贷款，则
false，
化简得1.3x=2+0.3x，
解得x=2．
答：需要2年后才能一次性还清贷款．
讲解用时：4分钟
解题思路：设x年能够还清贷款，根据某公司向银行贷款40万元，用于生产新产品，已知该贷款的年利率为15%（还款时，每年利息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税款为销售额的10%，如果每年生产该产品20万个，并把所得利润用来还贷款，可列方程求解．
教学建议：本题考查理解题意的能力，知道利润=销售额﹣成本﹣应纳税款，根据利润和贷款相等可列方程求出解．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
某公司从银行贷款20万元生产某种产品，已知贷款年利率是15%（不计复利）每个产品成本3.2元，售5元，应纳税为销售款的10%，如果每年生产10万个，并把利润用来偿还贷款，问几年后能一次性还清？（用方程解答）
菁优网版【答案】2年
【解析】
解：设x年后能一次性还清，根据题意可得：
20+20×15%x=（5﹣3.2﹣5×10%）×10x，
整理得：20+3x=13x，
故20=10x，
解得：x=2．
答：2年后能一次性还清．
讲解用时：4分钟
解题思路：利用已知表示出x年后需要还款的总额，进而得出等式求出即可
教学建议：引导学生根据还款总额相等的等量关系列方程求解
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
小敏和另两位同学去春游，买了三瓶矿泉水和两瓶可乐，可乐的价格是矿泉水的1.5倍，一共花去了12.6元，求每瓶矿泉水的价格．
【答案】2.1元
【解析】
解：设每瓶矿泉水的价格为false元，则可乐的价格是每瓶false元，
则由题意可列方程为：false，解得：false
答：每瓶矿泉水的价格为2.1元．
讲解用时：3分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需利息5万元．甲种贷款年利率为14%，乙种贷款年利率为12%，那么该厂申请甲种贷款多少万元？
【答案】 该厂申请甲种贷款10万元．
【解析】
解：设该厂申请甲种贷款false万元，则该厂申请甲种贷款false万元，
由题意可得：false
去括号可得：false，移项整理得：false，
解得：false．
答：该厂申请甲种贷款10万元．
讲解用时：4分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时3队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用6小时，问甲队实际做了几小时？
【答案】 甲队实际做了3小时．
【解析】
解：设甲队实际做了false小时，
因为一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，
所以甲、乙、丙的工作效率分别为false
由题意可列方程为false，解得：false
答：甲队实际做了3小时．
讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业4】
轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时．若船速为26
千米/时，水速为2千米/时，那么A港和B港相距多少千米？
【答案】A港和B港相距504千米．
【解析】
解：设A港和B港相距false千米，
若船速为26千米/时，水速为2千米/时，则顺水速度为26+2=28千米每小时；
逆水速度为26-2=24千米每小时．
则由题意可列方程：false，解得：false
答：A港和B港相距504千米．
讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业5】
甲、乙两种零件共32个，每个甲种零件上钻5个孔，每个乙种零件上只钻1个孔，共钻100个孔，甲、乙两种零件各有多少个？
【答案】甲零件有17个，则乙零件有15个．
【解析】
解：设甲零件有false个，则乙零件有false个，
由题意可得：false，解得：false
答：甲零件有17个，则乙零件有15个．
讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无