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第3讲 有理数的乘除
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知识定位
讲解用时:3分钟
A、适用范围:人教版初一,基础一般;
B、知识点概述:本讲义主要用于人教版初一新课,本节课我们要学习有理数乘除法运算法则;核心部分是有理数乘除法运算法则的运用。
0137160
知识梳理
讲解用时:20分钟
4191055245有理数的乘法
有理数的乘法
3238514605有理数的乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同0相乘,都得0.
要点诠释: (1) 不为0的两数相乘,先确定符号,再把绝对值相乘.
(2)当因数中有负号时,必须用括号括起来,如-2与-3的乘积,应列为(-2)×(-3),不应该写成-2×-3.
2. 有理数的乘法法则的推广:(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数的个数有偶数个时,积为正;
(2)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.
要点诠释:(1)在有理数的乘法中,每一个乘数都叫做一个因数.
(2)几个不等于0的有理数相乘,先根据负因数的个数确定积的符号,然后把各因数的绝对值相乘.
(3)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之,如果积为0,那么至少有一个因数为0.
有理数的乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
(2)任何数同0相乘,都得0.
要点诠释: (1) 不为0的两数相乘,先确定符号,再把绝对值相乘.
(2)当因数中有负号时,必须用括号括起来,如-2与-3的乘积,应列为(-2)×(-3),不应该写成-2×-3.
2. 有理数的乘法法则的推广:(1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数的个数有偶数个时,积为正;
(2)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.
要点诠释:(1)在有理数的乘法中,每一个乘数都叫做一个因数.
(2)几个不等于0的有理数相乘,先根据负因数的个数确定积的符号,然后把各因数的绝对值相乘.
(3)几个数相乘,如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之,如果积为0,那么至少有一个因数为0.
32385927103. 有理数的乘法运算律:
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即:ab=ba.
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.即:abc=(ab)c=a(bc).
(3)乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即:a(b+c)=ab+ac.
要点诠释:
(1)在交换因数的位置时,要连同符号一起交换.
(2)乘法运算律可推广为:三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中的几个因数相乘.如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.如a(b+c+d)=ab+ac+ad.
(3)运用运算律的目的是“简化运算”,有时,根据需要可以把运算律“顺用”,也可以把运算律“逆用”.
3. 有理数的乘法运算律:
(1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即:ab=ba.
(2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.即:abc=(ab)c=a(bc).
(3)乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即:a(b+c)=ab+ac.
要点诠释:
(1)在交换因数的位置时,要连同符号一起交换.
(2)乘法运算律可推广为:三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中的几个因数相乘.如abcd=d(ac)b.一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.如a(b+c+d)=ab+ac+ad.
(3)运用运算律的目的是“简化运算”,有时,根据需要可以把运算律“顺用”,也可以把运算律“逆用”.
3810167640有理数的除法
有理数的除法
-152401092201.倒数的意义: 乘积是1的两个数互为倒数.
要点诠释:
“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是,-2和是互相依存的;
(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数;
(3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数;
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).
2. 有理数除法法则:
法则一:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即.
法则二:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
要点诠释:(1)一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些.
因为0没有倒数,所以0不能当除数.
(3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值.
1.倒数的意义: 乘积是1的两个数互为倒数.
要点诠释:
“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是,-2和是互相依存的;
(2)0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数;
(3)倒数的结果必须化成最简形式,使分母中不含小数和分数;
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数).
2. 有理数除法法则:
法则一:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即.
法则二:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.
要点诠释:(1)一般在不能整除的情况下应用法则一,在能整除时应用法则二方便些.
因为0没有倒数,所以0不能当除数.
(3)法则二与有理数乘法法则相似,两数相除时先确定商的符号,再确定商的绝对值.
1333570485有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算
-7239041275由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果.
由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果.
0169545
课堂精讲精练
【例题1】
对于有理数a,b,定义运算:“※”,a※b=a·b-a-b-2.
(1)计算(-2)※3的值;
(2)填空:4※(-2) (-2)※4(填“>”、“=”或“<”);
(3)我们知道:有理数的加法运算和乘法运算满足交换律.那么,由(2)计算的结果,你认为这种运算“※”是否满足交换律?请说明理由.
【答案】(1)-9;(2)=;
(3)满足,理由是:∵a※b=a·b-a-b-2,
又∵b※a=b·a-b-a-2=a·b-a-b-2,
∴a※b=b※a.
∴这种运算“※”满足交换律.
【解析】(1)(-2)※3=(-2)×3-(-2)-3-2=-9.
(2)4※(-2)=4×(-2)-4-(-2)-2=-12;
(-2)※4=(-2)×4-(-2)-4-2=-12.故填=.
(3)答:这种运算“※”满足交换律.
理由是:∵a※b=a·b-a-b-2,
又∵b※a=b·a-b-a-2=a·b-a-b-2,
∴a※b=b※a.
∴这种运算“※”满足交换律.
讲解用时:3分钟
解题思路:(1)将a=-2,b=3代入运算公式a※b=a·b-a-b-2,即可得到代数式(-2)※3的值;
(2)运用运算公式分别计算出4※(-2)和(-2)※4的值即可比较大小;
(3)是否满足交换律关键是利用公式分别计算出a※b和b※a的结果,再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等.
教学建议:第(3)题中说明该运算满足交换律时不能用特殊值法,这样证明不全面.
难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无
【练习1.1】
算式(﹣1)×(﹣3)×的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:原式=××= .故选D
讲解用时:2分钟
解题思路:根据有理数的乘法法则,先确定符号,然后把绝对值相乘即可.
教学建议:掌握乘法法则是解题的关键,计算时,先确定符号,然后把绝对值相乘.
难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无
【例题2】
计算:(1);
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0.
【答案】(1);(2);(2)0.
【解析】解: (1);
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20);
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0=0.
讲解用时:4分钟
解题思路:几个不等于零的数相乘,首先确定积的符号,然后把绝对值相乘.因数是小数的要化为分数,是带分数的通常化为假分数,以便能约分.几个数相乘,有一个因数为零,积就为零.
教学建议:强调几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,与正因数的个数无关.当因数中有一个数为0时,积为0.
难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无
【练习2.1】
【答案】
【解析】
解:
讲解用时:2分钟
解题思路:掌握有理数乘法法则,正确运用法则,一是要体会并掌握乘法的符号规律,二是细心、稳妥、层次清楚,即先确定积的符号,后计算绝对值的积.
教学建议:强调先确定结果的符号,再运算
难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无
【例题3】
运用简便方法计算:
【答案】
【解析】解:
(分配律)
讲解用时:3分钟
解题思路:根据题目特点,可以把折成,再运用乘法分配律进行计算.
教学建议:引导学生观察几个因数之间的关系和特点.适当运用“凑整法”进行交换和结合.
难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无
【练习3.1】
运用简便方法计算:
【答案】
【解析】解:
(逆用乘法的分配律)
讲解用时:3分钟
解题思路:逆用乘法分配律:ab+ac=a(b+c).
教学建议:引导学生观察几个因数之间的关系和特点.适当运用运算律简化运算量
难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无
【例题4】
﹣2的倒数是 ,相反数是 ,绝对值是 .
【答案】 ,2,2
【解析】解:﹣2的倒数是﹣,相反数是 2,绝对值是 2,
讲解用时:3分钟
解题思路:根据乘积为1的两个数互为倒数,可得一个数的倒数,根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得一个数的相反数,根据绝对值的意义,可得一个数的绝对值.
教学建议:强调倒数的概念,复习相反数和绝对值的概念.
难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无
【练习4.1】
已知﹣的倒数是p,且m、n互为相反数,则p+m+n= .
【答案】﹣36.
【解析】解:依题意的:p=﹣,m+n=0,
所以p+m+n=﹣.
故答案是:﹣.
讲解用时:4分钟
解题思路:用相反数,倒数的定义求出m+n,p的值,代入计算即可得到结果.
教学建议:引导学生复习基础概念.
难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无
【例题5】
已知a,b,c都不等于零,且,根据a,b,c的不同取值,x有 个不同的值.
【答案】3
【解析】解:(1)四项都为正.(2)四项都为负.(3)二正二负.
可知x有3个不同取值.
讲解用时:3分钟
解题思路:根据题意,,,分别都可取±1,讨论这四项的取值情况可得出答案.
教学建议:运用有理数的除法,难点在于讨论各项的正负情况
难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无
【练习5.1】
被除数是﹣5,除数是﹣,则商是 .
【答案】6.
【解析】解:﹣5=﹣×(﹣)=6,
故答案为:6.
讲解用时:3分钟
解题思路:根据题意列出算式,根据有理数的除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数进行计算即可.
教学建议:此题主要考查了有理数的除法,关键是掌握有理数的除法法则.
难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无
【例题6】
计算:×(﹣4)÷1
【答案】
【解析】解:原式=.
讲解用时:3分钟
解题思路:根据有理数的除法计算即可.
教学建议:此题考查有理数的除法问题,关键是根据有理数的除法法则计算.
难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无
【练习6.1】
计算:÷(﹣1)×.
【答案】
【解析】解:原式=﹣××=﹣.
讲解用时:4分钟
解题思路:原式利用乘除法则计算即可求出值.
教学建议:引导学生复习有理数的乘除法运算法则.
难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无
【例题7】
小华在课外书中看到这样一道题:
计算:()+().
她发现,这个算式反映的是前后两部分的和,而这两部分之间存在着某种关系,利用这种关系,她顺利地解答了这道题
(1)前后两部分之间存在着什么关系?
(2)先计算哪部分比较简便?并请计算比较简便的那部分.
(3)利用(1)中的关系,直接写出另一部分的结果.
(4)根据以上分析,求出原式的结果.
【答案】﹣3.
【解析】解:(1)前后两部分互为倒数;
(2)先计算后一部分比较方便.
()=()×36=9+3﹣14﹣1=﹣3;
(3)因为前后两部分互为倒数,所以()=﹣;
(4)根据以上分析,可知原式==﹣3.
讲解用时:3分钟
解题思路:(1)根据倒数的定义可知:()与()互为倒数;
(2)利用乘法的分配律可求得()的值;
(3)根据倒数的定义求解即可;
(4)最后利用加法法则求解即可.
教学建议:本题主要考查的是有理数的乘除运算,引导学生发现前后两项互为倒数是解题的关键.
难度: 3 适应场景:当堂例题 例题来源:无
【练习7.1】
请阅读下列材料:
计算:.
解法一:原式=;
解法二:原式=;
解法三:原式的倒数为
故原式=-.
上述得出的结果不同,肯定有错误的解法,你认为解法 是错误的,
在正确的解法中,你认为解法 最简便.
然后请计算:.
【答案】(1)解法一是错误的,解法二最简便;(2)﹣
【解析】解:解法一是错误的,解法二最简便.
原式=.
讲解用时:4分钟
解题思路:根据有理数除法的运算法则可以判断出上述解法的对错;解法二先把括号内化简再计算,可提高解题的效率.
教学建议:注意培养学生的巧算能力
难度: 3 适应场景:当堂练习 例题来源:无
0201930
课后作业
【作业1】
已知两个有理数a、b,如果ab<0,且a+b<0,那么( )
A.a>0,b<0 B.a<0,b>0
C.a、b异号 D.a、b异号且负数的绝对值较大
【答案】D
【解析】
依有理数乘法法则,异号为负,故a、b异号,又依加法法则,异号相加取绝对值较大数的符号,可得出判断.
解:由ab<0知a、b异号,又由a+b<0,可知异号两数之和为负,依加法法则得负数的绝对值较大,选D.
讲解用时:3分钟
难度: 2 适应场景:练习题 例题来源:无
【作业2】
计算:
(1); (2)-2.5÷÷(-4).
【答案】 (1);(2).
【解析】
解:(1)原式=.
(2)原式=.
讲解用时:4分钟
难度: 4 适应场景:练习题 例题来源:无
【作业3】
已知a,b,c为有理数.
(1)如果ab>0,a+b>0,试确定a,b的正负;
(2)如果ab>0,abc>0,bc<0,试确定a,b,c的正负.
【答案】 (1)a,b都为正数;(2)a,b为负数,c为正数.
【解析】解:(1)∵ab>0,∴a,b同号.又∵a+b>0,∴a,b都为正数.
(2)∵ab>0,∴a,b同号.又∵abc>0,∴c>0.
又∵bc<0,∴b,c异号,即b<0,故a<0.
∴a,b为负数,c为正数.
讲解用时:3分钟
难度: 3 适应场景:练习题 例题来源:无
【作业4】
计算:
(1);
(2).
【答案】(1);(2).
【解析】
(1).
(2)
=
=.
讲解用时:5分钟
难度: 3 适应场景:练习题 例题来源:无
【作业5】
用简便方法计算:
(1); (2);
【答案】(1)10000;(2)
【解析】
(1);
;
讲解用时:5分钟
难度: 3 适应场景:练习题 例题来源:无