人教版 七年级（上）数学讲义 1.2 有理数的意义 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 七年级（上）数学讲义 1.2 有理数的意义 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 133.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-13 10:00:11 | ||
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文档简介
69532585725
有理数的概念
0329565
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，本节课我们要学习正负数、数轴、相反数、绝对值的概念；核心部分是相反数的概念、数轴和绝对值性质的运用。
0137160
知识梳理
讲解用时：20分钟
4191055245正数、负数
正数、负数
419101936751、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
2.要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.
1、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
2.要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.
1333555245数轴
数轴
41910342901、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
-2476584455要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如false.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如false.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
-110490184151.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
1333555245相反数
相反数
4191055245绝对值
绝对值
419101936751.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
false
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
false
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
51435118110有理数的大小比较
有理数的大小比较
419102971801.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
-24765844554. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
0169545
课堂精讲精练
【例题1】
体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
这8名男生有百分之几达到标准？
他们共做了多少引体向上？
【答案】（1）62.5%；（2）56个
【解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
讲解用时：3分钟
解题思路：解题时要注意对正负数的意义准确理解
教学建议：一定要先引导学生弄清“基准”是什么.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.1】
中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．
故选：C．
讲解用时：2分钟
解题思路：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
教学建议：解题关键是引导学生理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题2】
如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )
A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.
讲解用时：3分钟
解题思路：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
教学建议：对学生强调数轴的三要素
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．
【答案】±5； 5个.
【解析】画出数轴，即可观察出离原点5个单位长度的点表示的数是±5，同时可以数出-3与3之间的整数有5个
讲解用时：2分钟
解题思路：准确画出数轴，即可得出答案
教学建议：熟练掌握数轴的画法及数轴的三要素
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，
∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．故选A．
讲解用时：3分钟
解题思路：考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．
教学建议：引导学生观察总结互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习3.1】
﹣的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣ D.-5
【答案】B
【解析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案为B
讲解用时：3分钟
解题思路：解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.
教学建议：熟练掌握相反数的定义.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
当a≠0时，请解答下列问题：
（1）求的值；
（2）若b≠0，且，求的值．
【答案】 （1）false；（2）false.
【解析】解：（1）当a＞0时，=1；
当a＜0时，=﹣1；
（2）∵，
∴a，b异号，
当a＞0，b＜0时，=﹣1；
当a＜0，b＞0时，=﹣1；
讲解用时：3分钟
解题思路：（1）利用绝对值的代数意义化简即可求出值；
（2）根据有理数的乘法法则和绝对值的代数意义化简即可求出值；
教学建议：利用绝对值的代数意义化简是解本题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
计算：已知|x|=，|y|=，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．
【答案】﹣36．
【解析】解：∵|x|=，|y|=，且x＜y＜0，
∴x=﹣，y=﹣，
∴6÷（x﹣y）=6÷（﹣+）
=﹣36．
讲解用时：4分钟
解题思路：直接利用绝对值的性质结合有理数混合运算法则计算得出答案．
教学建议：利用绝对值的性质和有理数混合运算，正确得出x，y的值是解题关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
【答案】2c
【解析】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，
因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．
∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．
讲解用时：3分钟
解题思路：由数轴可知：c＞0，a＜b＜0，所以可知：a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．根据负数的绝对值是它的相反数可求值．
教学建议：此题主要是考查学生对数轴和绝对值的理解，要求学生要对这些概念性的东西牢固掌握．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值．
【答案】0或﹣12．
【解析】解：∵|a﹣1|=9，|b+2|=6，
∴a=﹣8或10，b=﹣8或4，
∵a+b＜0，
∴a=﹣8，b=﹣8或4，
当a=﹣8，b=﹣8时，a﹣b=﹣8﹣（﹣8）=0，
当a=﹣8，b=4时，a﹣b=﹣8﹣4=﹣12．
综上所述，a﹣b的值为0或﹣12．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．
教学建议：引导学生掌握绝对值的性质，熟记运算法则和性质并判断出a、b的对应情况是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【答案】（1）＜，＜，＞；(2)﹣2b．
【解析】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
故答案为：＜，＜，＞；
（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
=﹣2b．
讲解用时：3分钟
解题思路：（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；
（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．
教学建议：必须让学生熟记三种位置角的形状.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
已知a、b、c都是负数，且false，则x + y + z______0．（填“>”、“<”、“=”）．
【答案】<
【解析】利用绝对值的非负性，可得出x=a，y=b，z=c，则x+y+z=a+b+c<0
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查了绝对值的性质，准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．
教学建议：利用绝对值的非负性去掉绝对值符号是解此题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
已知：a=3，|b|=2，求（a+b）3的值．
【答案】125或1．
【解析】解：∵|b|=2，∴b=±2，
当b=2时，（a+b）3=（3+2）3=125；
当b=﹣2时，（a+b）3=（3﹣2）3=1，
综上所述，（a+b）3的值为125或1．
讲解用时：3分钟
解题思路：利用绝对值的代数意义求出b的值，代入原式计算即可求出值．
教学建议：熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 | ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|=5，则满足条件的所有整数x的是 ．
⑤若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 ．
若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|．
【答案】① 3，4；② |x+2|，|5﹣x|；③ 4；④ ﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；⑤ 3，7；
【解析】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，
故答案为：|x+2|，|5﹣x|；
③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2，
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x+x+3=4，
当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|=x﹣1+x+3=2x+2，
在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，
故答案为：4；
④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|=﹣x﹣3+2﹣x=﹣2x﹣1=5，
解得：x=﹣3，
此时不符合x＜﹣3，舍去；
当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+2﹣x=5，
此时x=﹣3或x=﹣2或0或1或2；
当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+x﹣2=2x+1=5，
解得：x=2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x=0时，|x+3|+|x﹣2|=5；
当x=1时，|x+3|+|x﹣2|=5；
当x=﹣1时，|x+3|+|x﹣2|=5；
故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；
⑤∵设y=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，
i、当x≥5时，y=x+2+x﹣3+x﹣5=3x﹣6，
∴当x=5时，y最小为：3x﹣6=3×5﹣6=9；
ii、当3≤x＜5时，y=x+2+x﹣3+5﹣x=x+4，
∴当x=3时，y最小为7；
iii、当﹣2≤x＜3时，y=x+2+3﹣x+5﹣x=10﹣x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x＜﹣2时，y=﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x=6﹣x，
∴此时y最小接近8；
∴y的最小值为7．
故答案为：3，7．
讲解用时：4分钟
解题思路：①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；
④根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；
③首先将原式变形为y=|x﹣1|+|x+3|，然后分别从当x≥1时，当﹣3≤x＜1时，当x＜﹣3时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；
④当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤2时，当x＞2时，当x=﹣1，当x=1，当x=0去分析，根据一次函数的增减性，即可求得答案；
⑤当x≥5时，当3≤x＜5时，当﹣2≤x＜3时，当x＜﹣2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值．
教学建议：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的绝对值一定比0大
B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数
D. 最小的正整数是1
【答案】D
【解析】
A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
讲解用时：4分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】 108
【解析】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．
讲解用时：4分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|= ．
（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x= ．
【答案】 （1）7；（2）1.
【解析】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；
（2）由题意得：x﹣3+x+1=0，解得：x=1，故答案为：1；
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
有理数的概念
0329565
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，本节课我们要学习正负数、数轴、相反数、绝对值的概念；核心部分是相反数的概念、数轴和绝对值性质的运用。
0137160
知识梳理
讲解用时：20分钟
4191055245正数、负数
正数、负数
419101936751、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
2.要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.
1、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
2.要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.
1333555245数轴
数轴
41910342901、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
-2476584455要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如false.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如false.
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
-110490184151.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
1333555245相反数
相反数
4191055245绝对值
绝对值
419101936751.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
false
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
false
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
51435118110有理数的大小比较
有理数的大小比较
419102971801.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
-24765844554. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
0169545
课堂精讲精练
【例题1】
体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
这8名男生有百分之几达到标准？
他们共做了多少引体向上？
【答案】（1）62.5%；（2）56个
【解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
讲解用时：3分钟
解题思路：解题时要注意对正负数的意义准确理解
教学建议：一定要先引导学生弄清“基准”是什么.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.1】
中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．
故选：C．
讲解用时：2分钟
解题思路：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
教学建议：解题关键是引导学生理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题2】
如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )
A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.
讲解用时：3分钟
解题思路：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
教学建议：对学生强调数轴的三要素
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．
【答案】±5； 5个.
【解析】画出数轴，即可观察出离原点5个单位长度的点表示的数是±5，同时可以数出-3与3之间的整数有5个
讲解用时：2分钟
解题思路：准确画出数轴，即可得出答案
教学建议：熟练掌握数轴的画法及数轴的三要素
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，
∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．故选A．
讲解用时：3分钟
解题思路：考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．
教学建议：引导学生观察总结互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习3.1】
﹣的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣ D.-5
【答案】B
【解析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案为B
讲解用时：3分钟
解题思路：解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.
教学建议：熟练掌握相反数的定义.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
当a≠0时，请解答下列问题：
（1）求的值；
（2）若b≠0，且，求的值．
【答案】 （1）false；（2）false.
【解析】解：（1）当a＞0时，=1；
当a＜0时，=﹣1；
（2）∵，
∴a，b异号，
当a＞0，b＜0时，=﹣1；
当a＜0，b＞0时，=﹣1；
讲解用时：3分钟
解题思路：（1）利用绝对值的代数意义化简即可求出值；
（2）根据有理数的乘法法则和绝对值的代数意义化简即可求出值；
教学建议：利用绝对值的代数意义化简是解本题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
计算：已知|x|=，|y|=，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．
【答案】﹣36．
【解析】解：∵|x|=，|y|=，且x＜y＜0，
∴x=﹣，y=﹣，
∴6÷（x﹣y）=6÷（﹣+）
=﹣36．
讲解用时：4分钟
解题思路：直接利用绝对值的性质结合有理数混合运算法则计算得出答案．
教学建议：利用绝对值的性质和有理数混合运算，正确得出x，y的值是解题关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
【答案】2c
【解析】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，
因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．
∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．
讲解用时：3分钟
解题思路：由数轴可知：c＞0，a＜b＜0，所以可知：a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．根据负数的绝对值是它的相反数可求值．
教学建议：此题主要是考查学生对数轴和绝对值的理解，要求学生要对这些概念性的东西牢固掌握．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值．
【答案】0或﹣12．
【解析】解：∵|a﹣1|=9，|b+2|=6，
∴a=﹣8或10，b=﹣8或4，
∵a+b＜0，
∴a=﹣8，b=﹣8或4，
当a=﹣8，b=﹣8时，a﹣b=﹣8﹣（﹣8）=0，
当a=﹣8，b=4时，a﹣b=﹣8﹣4=﹣12．
综上所述，a﹣b的值为0或﹣12．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．
教学建议：引导学生掌握绝对值的性质，熟记运算法则和性质并判断出a、b的对应情况是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【答案】（1）＜，＜，＞；(2)﹣2b．
【解析】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
故答案为：＜，＜，＞；
（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
=﹣2b．
讲解用时：3分钟
解题思路：（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；
（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．
教学建议：必须让学生熟记三种位置角的形状.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
已知a、b、c都是负数，且false，则x + y + z______0．（填“>”、“<”、“=”）．
【答案】<
【解析】利用绝对值的非负性，可得出x=a，y=b，z=c，则x+y+z=a+b+c<0
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查了绝对值的性质，准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．
教学建议：利用绝对值的非负性去掉绝对值符号是解此题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
已知：a=3，|b|=2，求（a+b）3的值．
【答案】125或1．
【解析】解：∵|b|=2，∴b=±2，
当b=2时，（a+b）3=（3+2）3=125；
当b=﹣2时，（a+b）3=（3﹣2）3=1，
综上所述，（a+b）3的值为125或1．
讲解用时：3分钟
解题思路：利用绝对值的代数意义求出b的值，代入原式计算即可求出值．
教学建议：熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 | ．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为 ．
③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值= ．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|=5，则满足条件的所有整数x的是 ．
⑤若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为 ．
若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|．
【答案】① 3，4；② |x+2|，|5﹣x|；③ 4；④ ﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；⑤ 3，7；
【解析】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4，
故答案为：3，4；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，
故答案为：|x+2|，|5﹣x|；
③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2，
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x+x+3=4，
当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|=x﹣1+x+3=2x+2，
在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，
故答案为：4；
④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|=﹣x﹣3+2﹣x=﹣2x﹣1=5，
解得：x=﹣3，
此时不符合x＜﹣3，舍去；
当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+2﹣x=5，
此时x=﹣3或x=﹣2或0或1或2；
当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+x﹣2=2x+1=5，
解得：x=2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x=0时，|x+3|+|x﹣2|=5；
当x=1时，|x+3|+|x﹣2|=5；
当x=﹣1时，|x+3|+|x﹣2|=5；
故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；
⑤∵设y=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，
i、当x≥5时，y=x+2+x﹣3+x﹣5=3x﹣6，
∴当x=5时，y最小为：3x﹣6=3×5﹣6=9；
ii、当3≤x＜5时，y=x+2+x﹣3+5﹣x=x+4，
∴当x=3时，y最小为7；
iii、当﹣2≤x＜3时，y=x+2+3﹣x+5﹣x=10﹣x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x＜﹣2时，y=﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x=6﹣x，
∴此时y最小接近8；
∴y的最小值为7．
故答案为：3，7．
讲解用时：4分钟
解题思路：①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；
④根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；
③首先将原式变形为y=|x﹣1|+|x+3|，然后分别从当x≥1时，当﹣3≤x＜1时，当x＜﹣3时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；
④当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤2时，当x＞2时，当x=﹣1，当x=1，当x=0去分析，根据一次函数的增减性，即可求得答案；
⑤当x≥5时，当3≤x＜5时，当﹣2≤x＜3时，当x＜﹣2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值．
教学建议：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的绝对值一定比0大
B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数
D. 最小的正整数是1
【答案】D
【解析】
A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
讲解用时：4分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【答案】 108
【解析】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．
讲解用时：4分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|= ．
（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x= ．
【答案】 （1）7；（2）1.
【解析】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；
（2）由题意得：x﹣3+x+1=0，解得：x=1，故答案为：1；
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无