人教版 七年级（上）数学讲义 4.3.3 余角和补角 （含解析）

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第14讲 余角和补角
0329565
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习余角和补角以及方位角的概念及应用，掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
381033020余角和补角
余角和补角

-57151905(1)余角和补角的概念：
①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；
②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
(2)性质：
余角的性质：同角(等角)的余角相等．
用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.
补角的性质：同角(等角)的补角相等．
用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.
(1)余角和补角的概念：
①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；
②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
(2)性质：
余角的性质：同角(等角)的余角相等．
用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.
补角的性质：同角(等角)的补角相等．
用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.





















3810143510方位角
方位角


13335118745在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．




















-110490252095对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．
若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．
对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．
若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．
-34290116205钟表问题
钟表问题










-8572547625 课堂精讲精练

【例题1】
一个角的余角比这个角的少30°，请你计算出这个角的大小．
【答案】80°．
【解析】
解：设这个角的度数为x，则它的余角为（90°﹣x），
由题意得：x﹣（90°﹣x）=30°，
解得：x=80°．
答：这个角的度数是80°．

讲解用时：5分钟
解题思路：设这个角的度数为x，根据互余的两角的和等于90°表示出它的余角，然后列出方程求解即可．
教学建议：考查余角的定义，要求学生熟记概念并能列出方程
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无







【练习1.1】
已知∠A与∠B互余，若∠A=20°15′，则∠B的度数为　　．
【答案】69.75°．
【解析】
解：∵∠A与∠B互余，∠A=20°15′，
∴∠B=90°﹣20°15′=69°45′=69.75°．
故答案为：69.75°．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据余角定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，直接解答，然后化为用度表示即可．
教学建议：理解互余的概念，根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余列式计算．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无






【例题2】
如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为多少度？
【答案】36°．
【解析】
解：设这个角为x，则它的补角为180°﹣x，
由题意得，180°﹣x=4x，
解得：x=36°．
答：这个角为36°．
讲解用时：6分钟
解题思路：：设这个角为x，则它的补角为180°﹣x，根据题意可得出方程，解出即可．
教学建议：考查补角及一元一次方程的应用，要求学生掌握互为补角的两角之和为180°．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无









【练习2.1】
一个角等于它的补角的5倍，则这个角是　　°．
【答案】150°．
【解析】
解：设这个角为x°，补角为（180°﹣x），
由题意知x=5（180°﹣x），
解得：x=150°
讲解用时：5分钟
解题思路：首先根据补角的定义，设这个角为x°，补角为（180°﹣x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解
教学建议：考查补角的概念，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的补角列出代数式和方程求解．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无



【练习2.2】
下列叙述错误的是（　　）
A．等角的补角相等
B．所有的有理数都可用数轴上的点表示
C．两点之间，线段最短
D．无理数包括正无理数，0，负无理数
【答案】D．
【解析】
解：A、等角的补角相等，所以A选项正确；
B、所有的有理数都能在数轴上找到对应的点，所以B选项正确；
C、两点之间，线段最短，所以C选项正确；
D、无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以D选项错误．
故选：D．
讲解用时：5分钟
解题思路：A．根据补角的定义对A进行判断；
B．根据所有的有理数都能在数轴上找到对应的点对B进行判断；
C．根据线段公理对C进行判断；
D．根据无理数的分类对D进行判断．
教学建议：能够熟练利用所学概念进行判断．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
已知∠1与∠2互为余角，∠1的补角等于∠2的余角的2倍，求∠1和∠2的度数．
【答案】78°42′47′′
【解析】
解：设∠2=x，则∠1=90°﹣x，由题意得
180°﹣（90°﹣x）=2（90°﹣x）
解得：x=30°，
则90°﹣x=60°，
所以∠1=60°，2=30°．
讲解用时：6分钟
解题思路：设∠2=x，则∠1=90°﹣x，根据∠1的补角等于∠2的余角的2倍，列出方程解答即可．
教学建议：考查余角和补角的意义．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180°．重点是能准确的找出角之间的数量关系．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无






【练习3.1】
已知一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，求这个角的度数等于　 　°．
【答案】60．
【解析】
解：设这个角的余角为∠A，则这个角的为90°﹣∠A，
这个角的补角为180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A，
则180°﹣∠A=（90°+∠A）+90°，
解得∠A=30°．
所以90°﹣∠A=60°．
故答案为：60．
讲解用时：5分钟
解题思路：互补即两角的和为180°，互余的两角和为90°，设这个角的余角为∠A，则这个角的为90°﹣∠A，根据题意解方程即可．
教学建议：考查余角和补角，把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决，有一定的综合性．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无









【练习3.2】
一个锐角的余角加上90°，就等于（　　）
A．这个锐角的两倍 B．这个锐角的余角
C．这个锐角的补角 D．这个锐角
【答案】C．
【解析】
解：设这个锐角是x度，则它的余角是（90﹣x）度．
那么90﹣x+90=180﹣x．
而x+（180﹣x）=180．
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：相加等于90°的两角互为余角，相加等于180度的两角互为补角，因而可以设这个锐角是x度，再用含x的代数式表示出所求的量，从而得出结果．
教学建议：考查补角，余角的定义，需熟练掌握相关概念
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无








3838575297180【例题4】
如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．
（1）求射线OC的方向；
（2）若射线OE平分∠COD，求∠AOE的度数．
【答案】（1）北偏东70°；（2）∠AOE=90°．
【解析】
解：（1）∵OB的方向是北偏西40°，OA的方向是北偏东15°，
∴∠NOB=40°，∠NOA=15°，
∴∠AOB=∠NOB+∠NOA=55°，
∵∠AOB=∠AOC，
∴∠AOC=55°，
∴∠NOC=∠NOA+∠AOC=70°，
∴OC的方向是北偏东70°；

（2）∵∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，
∴∠BOC=110°．
又∵射线OD是OB的反向延长线，
∴∠BOD=180°．
∴∠COD=180°﹣110°=70°．
∵∠COD=70°，OE平分∠COD，
∴∠COE=35°．
∵∠AOC=55°．
∴∠AOE=90°．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）先求出∠AOB=55°，再求得∠NOC的度数，即可确定OC的方向；
（2）根据∠AOB=55°，∠AOC=∠AOB，得出∠BOC=110°，进而求出∠COD的度数，根据射线OE平分∠COD，即可求出∠COE=35°再利用∠AOC=55°求出答案即可．
教学建议：考查方向角的表达，方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无

【练习4.1】
如图，点B，O，D在同一条直线上，若OA的方向是北偏东70°，则OD的方向是　　．
【答案】南偏东40°．
【解析】
解：∵点B，O，D在同一条直线上，
且由图可知OB与正西方向的夹角为50°，
由对顶角的性质可知：OD与正东方向的夹角为50°，
∴OD与正南方向的夹角为40°，
故OD的方向为南偏东40°，
故答案为：南偏东40°．
讲解用时：8分钟
解题思路：由于点B，O，D在同一条直线上，且由图可知OB与正西方向的夹角为50°，由对顶角的性质可知：OD与正东方向的夹角为50°，从而可求出OD的方向．
教学建议：考查方位角的概念，涉及角度计算．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无






【例题5】
钟面上的角的问题．
（1）3点45分，时针与分针的夹角是多少？
（2）在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？
【答案】C．
【解析】
解：（1）∵由3点到3点45分，分针转了270°，时针转了270°×，
∴时针与分针的夹角是：180°﹣270°×=157.5°；
（2）设分针转的度数为x，则时针转的度数为，
得①90°+x﹣=100°，
解得，x=°，
°÷6°=（分）；
②90°+﹣（x﹣180°）=100°，
解得，x=°，
°÷6°=（分）；
∴9点过或分钟时，时针与分针成100°的角．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）由图知，由3点到3点45分，分针转了270°，时针转了270°×，180°减去时针转的度数，即为夹角；
（2）设分针转的度数为x，则时针转的度数为，可根据关系式，①90°+x﹣=100°，②90°+﹣（x﹣180°）=100°，求得x值，根据分针走1分，其转动6°，可得到时间；
教学建议：考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无









【练习5.1】
下列说法中正确的是（　　）
A．8时45分，时针与分针的夹角是30°
B．6时30分，时针与分针重合
C．3时30分，时针与分针的夹角是90°
D．3时整，时针与分针的夹角是90°
【答案】D．
【解析】
解：A、8时45分时，时针与分针间有个大格，其夹角为30°×=7.5°，故8时45分时时针与分针的夹角是7.5°，错误；
B、6时30分时，时针在6和7的中间，分针在6的位置，时针与分针不重合，错误；
C、3时30分时，时针与分针间有2.5个大格，其夹角为30°×2.5=75°，故3时30分时时针与分针的夹角不为直角，错误；
D、3时整，时针与分针的夹角正好是30°×3=90°，正确；
故选：D．
讲解用时：6分钟
解题思路：画出图形，利用钟表表盘的特征解答．分别计算出四个选项中时针和分针的夹角，进行判断即可．
教学建议: 考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习5.2】
某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了 分钟．
【答案】40分钟．
【解析】
解：设此人外出购物共用了x分钟，则
（6﹣0.5）x=110+110
5.5x=220
x=40．
答：此人外出购物共用了40分钟．
讲解用时：8分钟
解题思路：这是一个追及问题，分针走一分走了6度，即分针的角速度是：6度/分，时针一分走0.5度，即角速度是：0.5度/分；由于开始时分针在时针后面110度，后来是分针在时针前面110度，依此列出方程求解即可．
教学建议: 考查钟表时针与分针的夹角．重难点是根据两个时刻的夹角找到等量关系建立方程求解．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
如图，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，∠MON=56°．
（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
（2）求∠BOC的度数；
（3）求∠AOB与∠AOC的度数．
【答案】（1）∠COD=∠AOB；（2）112°；（3）146°．
【解析】
解：（1）∠COD=∠AOB．理由如下：
如图∵点O在直线AD上，
∴∠AOC+∠COD=180°，
又∵∠AOC与∠AOB互补，
∴∠AOC+∠AOB=180°，
∴∠COD=∠AOB；
（2）∵OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，
∴∠AOM=∠COM，∠AON=∠BON，
∴∠BOC=∠BOM+∠COM，
=∠BOM+∠AOM，
=（∠MON﹣∠BON）+（∠MON+∠AON），
=2∠MON，
=112°；
（3）由（1）得：∠COD=∠AOB，
∵∠AOB+∠BOC++∠COD=180°，
∴∠AOB=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣112°）=34°，
∴∠AOC=180°﹣∠AOB=180°﹣34°=146°．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）根据补角的定义可得：∠AOC+∠AOB=180°，根据平角的定义可得：∠AOC+∠COD=180°，可得结论；
（2）先根据角平分线的定义得：∠AOM=∠COM，∠AON=∠BON，再由角的和与差可得：∠BOC=∠BOM+∠COM，可得结论；
（3）由（1）得：∠COD=∠AOB，先计算∠AOB=（180°﹣∠BOC）=34°，再由平角的定义可得∠AOC=180°﹣∠AOB=146°．
教学建议：考查角的计算，角平分线的定义，平角及补角的定义，重点是根据图形，正确找到角之间的关系．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无












【练习6.1】
∠α与∠β的度数分别是 2m﹣67和 68﹣m，且∠α与∠β都是∠γ 的补角，那么∠α与∠β的关系是（　　）
A．互余但不相等 B．互为补角 C．相等但不互余 D．互余且相等
【答案】C．
【解析】
解：∠α与∠β都是∠γ的补角，得
∠α=∠β，
即2m﹣67=68﹣m，
解得m=45，
2m﹣67=68﹣m=23．
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据补角的性质，可得∠α=∠β，根据解方程，可得答案．
教学建议：考查余角和补角，熟悉补角的性质：等角的补角相等．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无





【练习6.2】
如图，平面内∠AOB=∠COD=90°，∠AOE=∠DOE，点E，O，F在一条直线上，下列结论：
①∠AOC=∠BOD；
②∠AOD与∠BOC互补；
③OF平分∠BOC；
④∠AOD﹣∠BOF=90°．
其中正确结论的有　 　（把所有正确结论的序号都选上）
【答案】C．
【解析】
解：①∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
②∵∠AOD+∠BOC=90°+∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOD与∠BOC互补，故②正确；
③∵∠AOE=∠DOE，∠AOC=∠BOD，
∴∠BOF=∠COF，
∴OF平分∠BOC，故③正确；
④∵∠AOD﹣∠BOF=∠AOC+90°﹣∠BOF，没有∠AOC≠∠BOF，
故④不正确．
故答案为：①②③．
讲解用时：8分钟
解题思路：由∠AOB=∠COD=90°根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，即可判断①正确；
由∠AOD+∠BOC=90°+∠AOC+∠BOC，而∠AOC+∠BOC=90°，即可判断②正确；
由∠AOE=∠DOE，∠AOC=∠BOD，根据平角的定义可得∠BOF=∠COF，即可判断③正确；
由∠AOD﹣∠BOF=∠AOC+90°﹣∠BOF，没有∠AOC≠∠BOF，即可判断④不正确．
教学建议：考查角度的计算：1平角=180°，等角的余角相等．也考查了角平分线的定义．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无




【例题7】
如图所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线BC滚动一周，B点转动的角度是　 　．
【答案】210°.
【解析】
解：从①到②B点转动的角度为∠BCA=90°，
从②到③B点转动的角度为180°﹣∠BAC=180°﹣（90°﹣30°）=120°，
从③到④B点转动的角度为0°，
故B点转动的角度=90°+120°+0°=210°．
故答案为：210°
讲解用时：5分钟
解题思路：将整个滚动过程分成三部分，根据三角板的边角关系可分别找出三部分B点转动的角度，将其相加即得出结论．
教学建议：考查角的计算，解题的关键是将整个滚动过程分成三部分，求出三部分中B点转动的角度后相加即可．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无





【练习7.1】
将一副直角三角尺如图放置，若∠BOC=160°，则∠AOD的大小为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B．
【解析】
解：∵∠COB=∠COD+∠AOB﹣∠AOD，
∴90°+90°﹣∠AOD=160°，
∴∠AOD=20°．
故选：B．
讲解用时：5分钟
解题思路：依据∠COB=∠COD+∠AOB﹣∠AOD求解即可．
教学建议：考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．
【答案】∠2＝50°.
【解析】
解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，
所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.
又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，
所以∠DOF＝∠1＝40°.
所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.
讲解用时：6分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无



【作业2】
计算： 4时15分时针与分针的夹角.
【答案】37.5°．
5086350241300【解析】
解：如图（1），设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4+0.5°×15，
分针转过的角度为：6°×15，
所以∠α＝30°×4+0.5°×15-6°×15＝37.5°．

讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无






【作业3】
如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.
(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；
(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；
(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；
【答案】(1)北偏东70°；(2)南偏东40°；(3)南偏西50°；(4)160°.
【解析】
364172586360解：(1)∵OB的方向是西偏北50°，
∴∠1＝90°－50°＝40°，
∴∠AOB＝40°＋15°＝55°.[来源:学,科,网]
∵∠AOC＝∠AOB，
∴∠AOC＝55°，
∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，
∴OC的方向是北偏东70°.
(2)∵OB的方向是西偏北50°，[来源:学&科&网]
∴∠1＝40°，
∴∠DOH＝40°，
∴OD的方向是南偏东40°.
(3)∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠DOE＝90°.
∵∠DOH＝40°，
∴∠HOE＝50°，
∴OE的方向是南偏西50°.
(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，
∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.
∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，
∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.
讲解用时：8分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无