人教版 七年级（上）数学讲义 2.1 整式的概念 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 七年级（上）数学讲义 2.1 整式的概念 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 152.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-13 10:03:17 | ||
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文档简介
69532585725
第 5 讲 整式的概念
0329565
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，理解单项式系数及次数的概念； 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
0137160
知识梳理
讲解用时：20分钟
4191055245单项式
单项式
4191050801.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
32385119380（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
-2476570485多项式
多项式
-24765292101.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
-4381511430整式
整式
3238529845单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
-8572547625 课堂精讲精练
【例题1】
下列代数式中：，2x+y，，，，0，整式有 个．
【答案】4
【解析】
解：整式有：2x+y，a2b，，0，故有4个．
讲解用时：3分钟
解题思路：分母不含字母的式子即为整式．
教学建议：讲解整式的概念，注意π不是字母.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1.1】
在代数式π，x2+，x+xy，3x2+nx+4，﹣x，3，5xy，中，整式共有 个
【答案】6
【解析】
解：在代数式π（单项式），x2+（分式），x+xy（多项式），3x2+nx+4（多项式），﹣x（单项式），3（单项式），5xy（单项式），（分式）中，整式共有6个
讲解用时：3分钟
解题思路：根据多项式与单项式统称为整式，判断即可．
教学建议：弄清整式的定义是解本题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.1】
指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
，，，10，，，，，，
【答案】
单项式有：，10，，；
多项式有：，，，；
整式有：，，，10，，，，．
【解析】
解：单项式有：，10，，；
多项式有：，，，；
整式有：，，，10，，，，．
讲解用时：3分钟
解题思路：不是整式，因为分母中含有字母； 也不是多项式，因为不是单项式．
教学建议：弄清整式的定义是解本题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题2】代数式﹣的系数是 ，次数为 ．
【答案】﹣，3．
【解析】
解：根据单项式系数、次数的定义，代数式﹣的数字因数﹣即系数，所有字母的指数和是1+2=3，故次数是3．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
教学建议：理解单项式的定义，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
单项式﹣5x2y的次数是 ．
【答案】3
【解析】
解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和是2+1=3，故次数是3．
讲解用时：2分钟
解题思路：根据单项式次数的定义来求解．所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
教学建议：确定单项式的次数时，找准所有字母的指数，是确定单项式的次数的关键．指数是1时，不要忽略．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
多项式是a3﹣2a2﹣1是 次 项式．
【答案】三、三．
【解析】
解：多项式是a3﹣2a2﹣1是三次三项式．
讲解用时：2分钟
解题思路：利用每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案．
教学建议：掌握多项式的次数与系数的确定方法，正确把握定义是解题关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习3.1】
代数式﹣+4x﹣3的二次项系数是
【答案】﹣．
【解析】
解：代数式﹣+4x﹣3的二次项系数是：﹣．
讲解用时：2分钟
解题思路：直接利用多项式中各项系数确定方法分析得出答案．
教学建议：理解多项式中的系数、次数和项的概念.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
若3xmyn是含有字母x和y的5次单项式，求mn的最大值．
【答案】9
【解析】
解：因为3xmyn是含有字母x和y的五次单项式
所以m+n=5
所以m=1，n=4时，mn=14=1；
m=2，n=3时，mn=23=8；
m=3，n=2时，mn=32=9；
m=4，n=1时，mn=41=4，
故mn的最大值为9．
讲解用时：4分钟
解题思路：根据单项式的概念即可求出答案，注意分类讨论思想的运用.
教学建议：复习单项式的概念以及有理数的乘方，引导学生利用分类讨论分析
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
【答案】﹣9或27
【解析】
解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
∴，
解得：，
则当a=﹣3，b=﹣2时，a2﹣3ab=9﹣18=﹣9；
当a=3，b=﹣2时，a2﹣3ab=9+18=27．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．
教学建议：强调单项式的概念及次数
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
关于x，y的多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，求6m﹣2n+2的值．
【答案】4
【解析】
解：∵多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4=（6m﹣1）x2+（4n+2）xy+2x+y+4不含二次项，
即二次项系数为0，
即6m﹣1=0，
∴m=；
∴4n+2=0，
∴n=﹣，把m、n的值代入6m﹣2n+2中，
∴原式=6×﹣2×（﹣）+2=4．
讲解用时：5分钟
解题思路：由于多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，即二次项系数为0，在合并同类项时，可以得到二次项为0，由此得到故m、n的方程，即6m﹣1=0，4n+2=0，解方程即可求出n，m，然后把m、n的值代入6m﹣2n+2，即可求出代数式的值．
教学建议：根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
已知多项式x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，单项式6x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求m+n的值．
【答案】5
【解析】
解：∵多项式x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，
∴2+m+1=6，
∴m=3，
∵单项式26x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，
∴2n+5﹣m=6，
∴2n=1+3=4，
∴n=2．
∴m+n=3+2=5．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据已知得出方程2+m+1=6，求出m=3，根据已知得出方程2n+5﹣m=6，求出方程的解即可．
教学建议：强调多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习5.2】
已知多项式．
(1)求多项式各项的系数和次数．
(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．
【答案】
（1）第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．
（2）m＝2.
【解析】
解：(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．
(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据多项式中项与各项系数次数的概念，可以使问题得到解决
教学建议：对于单项式的次数为3m+1的认识会不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，…﹣37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式．
【答案】（1）（﹣1）n（2n﹣1）；（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数；（3）（﹣1）n（2n﹣1）xn （4）4031x2016，﹣4033x2017
【解析】
解：（1）这组单项式的系数依次为：﹣1，3，﹣5，7，…系数为奇数且奇次项为负数，故单项式的系数的符号是：（﹣1）n，
绝对值规律是：2n﹣1；
（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．
（3）第n个单项式是：（﹣1）n（2n﹣1）xn．
（4）第2016个单项式是4031x2016，第2017个单项式是﹣4033x2017．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；
（2）根据已知数据次数得出变化规律；
（3）根据（1）（2）中数据规律得出即可；
（4）利用（3）中所求即可得出答案．
教学建议：本例是数字变化规律问题，得出次数与系数的变化规律是解题关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…
（1）按此规律写出第9个单项式；
（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
【答案】（1）256x9y；（2）（﹣1）n+12n﹣1xny，（﹣1）n+12n﹣1，n+1
【解析】
解：（1）∵当n=1时，xy，
当n=2时，﹣2x2y，
当n=3时，4x3y，
当n=4时，﹣8x4y，
当n=5时，16x5y，
∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y．
（2）∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n﹣1，
∴当n为奇数时的单项式为2n﹣1xny，
该单项式为（﹣1）n+12n﹣1xny
它的系数是（﹣1）n+12n﹣1，次数是n+1．
讲解用时：8分钟
解题思路：通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为（n﹣1），由此可解出本题；
根据单项式的系数是指单项式的数字因数，次数是所有字母指数的和解答即可．
教学建议：根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
某市出租车收费标准为：起步价10元，3千米后每千米1.8元（超过部分不足一公里的路程按一公里算）．
①如果有人乘计程车行驶了x公里（x＞3），那么他应付多少车费？（列代数式）
②某游客乘计程车从甲地到乙地，付了车费37元，试估算从甲地到乙地大约有多少公里？
【答案】①4.6+1.8x；②18公里
【解析】解：①有人乘计程车行驶了x公里（x＞3），那么他应付车费为：10+1.8×（x﹣3）=4.6+1.8x；
②设从甲地到乙地大约有x公里，由①中代数式可得：
4.6+1.8x=37，
解得：x=18（公里）．
讲解用时：6分钟
解题思路：①：计程车行驶了x公里（x＞3）时，应付费=起步价+3千米后加费金额，据此列出代数式即可．
②：根据①中代数式，设行驶了x公里，据代数式=37得到方程，求解即可．
教学建议：引导学生读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
已知：我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过五公里的一律收费5元；乘车里程超过5公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.2元计费．
（1）如果有人乘计程车行驶了x公里（ x＞5），那么他应付多少车费？（列代数式）
（2）某乘客准备坐出租车从A市到B市，距离35公里，他身上带了40元钱，够不够车费，说明理由．
【答案】（1）5+1.2（x﹣5）；
（2）不够．
理由：因为距离为35公里时，5+1.2×（35﹣5）=41，41＞40．所以不够．
【解析】解：（1）不超过5公里的付费5元，超过5公里的应付费：1.2×（5﹣x），所以他应付多少车费：5+1.2（x﹣5）；
（2）不够．
理由：因为距离为35公里时，5+1.2×（35﹣5）=41，41＞40．所以不够．
讲解用时：6分钟
解题思路：（1）超过5公里的部分为（x﹣5），根据乘车里程超过5公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.2元计费可列出应付的车费．
（2）根据（1）的表达式，将x的值代入即可计算出40元的车费够不够．
教学建议：重点分析分段表示代数表达式
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
多项式3xm+（n﹣5）x﹣2是关于x的二次三项式，则m，n应满足的条件是 ．
【答案】m=2，n≠5．
【解析】
解：∵多项式3xm+（n﹣5）x﹣2是关于x的二次三项式，
∴m=2，n﹣5≠0，
即m=2，n≠5．
故答案为：m=2，n≠5．
讲解用时：3分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
已知多项式
(1)这个多项式是几次几项式？
(2)这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？
【答案】
(1)七次四项式；（2）最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.
【解析】
解：（1）这个多项式是七次四项式；（2）最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.
讲解用时：3分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为
【答案】24
【解析】
观察图形得：
第1个图形有3+3×1=6个圆圈，
第2个图形有3+3×2=9个圆圈，
第3个图形有3+3×3=12个圆圈，
…
第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，
当n=7时，3×（7+1）=24，
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
（1）一组按规律排列的式子：false，false，false，false，…(false)，其中第false个式子是 ，第false个式子是 (false为正整数)．
（2）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②．图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.
① ② ③
【答案】（1）false；false；83.
【解析】
(1)由给出的规律可得：第7个式子是false，第n个式子是false；
(2)第一个帐篷需要17根钢管，第二个帐篷需要：17+11=28根
第三个帐篷需要：17+11+11=39根:所以第7帐篷需要：17+11×6=83根
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业4】
若多项式false是三次三项式，求false的值．
【答案】n=1或n=2
【解析】
解：false，或false，解得false或false。当false时，该多项式为false是
三次三项式；当false时，该多项式为false是三次三项式。综上，false或false.
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业5】
同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有 个
【答案】15
【解析】
解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15.
讲解用时：8分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
第 5 讲 整式的概念
0329565
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，理解单项式系数及次数的概念； 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．
0137160
知识梳理
讲解用时：20分钟
4191055245单项式
单项式
4191050801.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
1.单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．
（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；
32385119380（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）不能将数字的指数一同计算．
-2476570485多项式
多项式
-24765292101.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
-4381511430整式
整式
3238529845单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．
即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．
-8572547625 课堂精讲精练
【例题1】
下列代数式中：，2x+y，，，，0，整式有 个．
【答案】4
【解析】
解：整式有：2x+y，a2b，，0，故有4个．
讲解用时：3分钟
解题思路：分母不含字母的式子即为整式．
教学建议：讲解整式的概念，注意π不是字母.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1.1】
在代数式π，x2+，x+xy，3x2+nx+4，﹣x，3，5xy，中，整式共有 个
【答案】6
【解析】
解：在代数式π（单项式），x2+（分式），x+xy（多项式），3x2+nx+4（多项式），﹣x（单项式），3（单项式），5xy（单项式），（分式）中，整式共有6个
讲解用时：3分钟
解题思路：根据多项式与单项式统称为整式，判断即可．
教学建议：弄清整式的定义是解本题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.1】
指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
，，，10，，，，，，
【答案】
单项式有：，10，，；
多项式有：，，，；
整式有：，，，10，，，，．
【解析】
解：单项式有：，10，，；
多项式有：，，，；
整式有：，，，10，，，，．
讲解用时：3分钟
解题思路：不是整式，因为分母中含有字母； 也不是多项式，因为不是单项式．
教学建议：弄清整式的定义是解本题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题2】代数式﹣的系数是 ，次数为 ．
【答案】﹣，3．
【解析】
解：根据单项式系数、次数的定义，代数式﹣的数字因数﹣即系数，所有字母的指数和是1+2=3，故次数是3．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
教学建议：理解单项式的定义，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习2.1】
单项式﹣5x2y的次数是 ．
【答案】3
【解析】
解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和是2+1=3，故次数是3．
讲解用时：2分钟
解题思路：根据单项式次数的定义来求解．所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
教学建议：确定单项式的次数时，找准所有字母的指数，是确定单项式的次数的关键．指数是1时，不要忽略．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题3】
多项式是a3﹣2a2﹣1是 次 项式．
【答案】三、三．
【解析】
解：多项式是a3﹣2a2﹣1是三次三项式．
讲解用时：2分钟
解题思路：利用每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案．
教学建议：掌握多项式的次数与系数的确定方法，正确把握定义是解题关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习3.1】
代数式﹣+4x﹣3的二次项系数是
【答案】﹣．
【解析】
解：代数式﹣+4x﹣3的二次项系数是：﹣．
讲解用时：2分钟
解题思路：直接利用多项式中各项系数确定方法分析得出答案．
教学建议：理解多项式中的系数、次数和项的概念.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题4】
若3xmyn是含有字母x和y的5次单项式，求mn的最大值．
【答案】9
【解析】
解：因为3xmyn是含有字母x和y的五次单项式
所以m+n=5
所以m=1，n=4时，mn=14=1；
m=2，n=3时，mn=23=8；
m=3，n=2时，mn=32=9；
m=4，n=1时，mn=41=4，
故mn的最大值为9．
讲解用时：4分钟
解题思路：根据单项式的概念即可求出答案，注意分类讨论思想的运用.
教学建议：复习单项式的概念以及有理数的乘方，引导学生利用分类讨论分析
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习4.1】
已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
【答案】﹣9或27
【解析】
解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
∴，
解得：，
则当a=﹣3，b=﹣2时，a2﹣3ab=9﹣18=﹣9；
当a=3，b=﹣2时，a2﹣3ab=9+18=27．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．
教学建议：强调单项式的概念及次数
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题5】
关于x，y的多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，求6m﹣2n+2的值．
【答案】4
【解析】
解：∵多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4=（6m﹣1）x2+（4n+2）xy+2x+y+4不含二次项，
即二次项系数为0，
即6m﹣1=0，
∴m=；
∴4n+2=0，
∴n=﹣，把m、n的值代入6m﹣2n+2中，
∴原式=6×﹣2×（﹣）+2=4．
讲解用时：5分钟
解题思路：由于多项式6mx2+4nxy+2x+2xy﹣x2+y+4不含二次项，即二次项系数为0，在合并同类项时，可以得到二次项为0，由此得到故m、n的方程，即6m﹣1=0，4n+2=0，解方程即可求出n，m，然后把m、n的值代入6m﹣2n+2，即可求出代数式的值．
教学建议：根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
已知多项式x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，单项式6x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，求m+n的值．
【答案】5
【解析】
解：∵多项式x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，
∴2+m+1=6，
∴m=3，
∵单项式26x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，
∴2n+5﹣m=6，
∴2n=1+3=4，
∴n=2．
∴m+n=3+2=5．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据已知得出方程2+m+1=6，求出m=3，根据已知得出方程2n+5﹣m=6，求出方程的解即可．
教学建议：强调多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习5.2】
已知多项式．
(1)求多项式各项的系数和次数．
(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．
【答案】
（1）第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．
（2）m＝2.
【解析】
解：(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．
(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．
讲解用时：5分钟
解题思路：根据多项式中项与各项系数次数的概念，可以使问题得到解决
教学建议：对于单项式的次数为3m+1的认识会不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4，…﹣37x19，39x20，…写出第n个单项式，为了解这个问题，特提供下面的解题思路．
（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？
（2）这组单项式的次数的规律是什么？
（3）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（4）请你根据猜想，写出第2016个，第2017个单项式．
【答案】（1）（﹣1）n（2n﹣1）；（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数；（3）（﹣1）n（2n﹣1）xn （4）4031x2016，﹣4033x2017
【解析】
解：（1）这组单项式的系数依次为：﹣1，3，﹣5，7，…系数为奇数且奇次项为负数，故单项式的系数的符号是：（﹣1）n，
绝对值规律是：2n﹣1；
（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．
（3）第n个单项式是：（﹣1）n（2n﹣1）xn．
（4）第2016个单项式是4031x2016，第2017个单项式是﹣4033x2017．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）根据已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；
（2）根据已知数据次数得出变化规律；
（3）根据（1）（2）中数据规律得出即可；
（4）利用（3）中所求即可得出答案．
教学建议：本例是数字变化规律问题，得出次数与系数的变化规律是解题关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习6.1】
观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…
（1）按此规律写出第9个单项式；
（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
【答案】（1）256x9y；（2）（﹣1）n+12n﹣1xny，（﹣1）n+12n﹣1，n+1
【解析】
解：（1）∵当n=1时，xy，
当n=2时，﹣2x2y，
当n=3时，4x3y，
当n=4时，﹣8x4y，
当n=5时，16x5y，
∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y．
（2）∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n﹣1，
∴当n为奇数时的单项式为2n﹣1xny，
该单项式为（﹣1）n+12n﹣1xny
它的系数是（﹣1）n+12n﹣1，次数是n+1．
讲解用时：8分钟
解题思路：通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为（n﹣1），由此可解出本题；
根据单项式的系数是指单项式的数字因数，次数是所有字母指数的和解答即可．
教学建议：根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
某市出租车收费标准为：起步价10元，3千米后每千米1.8元（超过部分不足一公里的路程按一公里算）．
①如果有人乘计程车行驶了x公里（x＞3），那么他应付多少车费？（列代数式）
②某游客乘计程车从甲地到乙地，付了车费37元，试估算从甲地到乙地大约有多少公里？
【答案】①4.6+1.8x；②18公里
【解析】解：①有人乘计程车行驶了x公里（x＞3），那么他应付车费为：10+1.8×（x﹣3）=4.6+1.8x；
②设从甲地到乙地大约有x公里，由①中代数式可得：
4.6+1.8x=37，
解得：x=18（公里）．
讲解用时：6分钟
解题思路：①：计程车行驶了x公里（x＞3）时，应付费=起步价+3千米后加费金额，据此列出代数式即可．
②：根据①中代数式，设行驶了x公里，据代数式=37得到方程，求解即可．
教学建议：引导学生读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
已知：我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过五公里的一律收费5元；乘车里程超过5公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.2元计费．
（1）如果有人乘计程车行驶了x公里（ x＞5），那么他应付多少车费？（列代数式）
（2）某乘客准备坐出租车从A市到B市，距离35公里，他身上带了40元钱，够不够车费，说明理由．
【答案】（1）5+1.2（x﹣5）；
（2）不够．
理由：因为距离为35公里时，5+1.2×（35﹣5）=41，41＞40．所以不够．
【解析】解：（1）不超过5公里的付费5元，超过5公里的应付费：1.2×（5﹣x），所以他应付多少车费：5+1.2（x﹣5）；
（2）不够．
理由：因为距离为35公里时，5+1.2×（35﹣5）=41，41＞40．所以不够．
讲解用时：6分钟
解题思路：（1）超过5公里的部分为（x﹣5），根据乘车里程超过5公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.2元计费可列出应付的车费．
（2）根据（1）的表达式，将x的值代入即可计算出40元的车费够不够．
教学建议：重点分析分段表示代数表达式
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
0201930
课后作业
【作业1】
多项式3xm+（n﹣5）x﹣2是关于x的二次三项式，则m，n应满足的条件是 ．
【答案】m=2，n≠5．
【解析】
解：∵多项式3xm+（n﹣5）x﹣2是关于x的二次三项式，
∴m=2，n﹣5≠0，
即m=2，n≠5．
故答案为：m=2，n≠5．
讲解用时：3分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
已知多项式
(1)这个多项式是几次几项式？
(2)这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？
【答案】
(1)七次四项式；（2）最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.
【解析】
解：（1）这个多项式是七次四项式；（2）最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.
讲解用时：3分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业2】
下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为
【答案】24
【解析】
观察图形得：
第1个图形有3+3×1=6个圆圈，
第2个图形有3+3×2=9个圆圈，
第3个图形有3+3×3=12个圆圈，
…
第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，
当n=7时，3×（7+1）=24，
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业3】
（1）一组按规律排列的式子：false，false，false，false，…(false)，其中第false个式子是 ，第false个式子是 (false为正整数)．
（2）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②．图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.
① ② ③
【答案】（1）false；false；83.
【解析】
(1)由给出的规律可得：第7个式子是false，第n个式子是false；
(2)第一个帐篷需要17根钢管，第二个帐篷需要：17+11=28根
第三个帐篷需要：17+11+11=39根:所以第7帐篷需要：17+11×6=83根
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业4】
若多项式false是三次三项式，求false的值．
【答案】n=1或n=2
【解析】
解：false，或false，解得false或false。当false时，该多项式为false是
三次三项式；当false时，该多项式为false是三次三项式。综上，false或false.
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无
【作业5】
同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有 个
【答案】15
【解析】
解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15.
讲解用时：8分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无