2019-2020学年陕西省西安市蓝田县高二下学期期末数学试卷（理科） （word解析版）

2019-2020学年西安市蓝田县高二第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．复数＝（　　）
A． B． C． D．
2．若函数f（x）在x＝1处的导数为2，则 ＝（　　）
A．2 B．1 C． D．6
3．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
4．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（3x）'＝3xlog3e D．（sin2x）'＝cos2x
6．若C﹣C＝C（n∈N*），则n等于（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．曲线y＝sinx?cosx+1在点（0，1）处的切线方程为（　　）
A．x﹣2y+2＝0 B．x+2y﹣2＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝0
8．将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（　　）
A．12种 B．9种 C．8种 D．6种
9．已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法正确的是（　　）
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A．变量x，y之间呈现正相关关系
B．可以预测，当x＝20时，
C．可求得表中m＝4.7
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
10．函数f（x）＝x3+2x2+mx+7是R上的单调函数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
12．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ex+ax（a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（2，+∞） D．（1，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有　 　种．
14．已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）＝0.2，则P（ξ≥﹣1）＝　 　．
15．2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲，乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法共有　 　种．
16．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＞0成立，则函数g（x）＝x2f（x）的零点个数是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣x2+bx，且f'（2）＝﹣3．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
18．已知m≠0，复数z＝（m﹣2）+（m2﹣9）i．
（Ⅰ）若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围；
（Ⅱ）若z的共轭复数与复数+5i相等，求m的值．
19．在（x+2）10的展开式中，求：
（Ⅰ）x8的系数；
（Ⅱ）如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值．
20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起．到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患有某种传染病的患者的相关信息，得到如表：
潜伏期（单位：天） [0，2] （2，4] （4，6] （6，8] （8，10] （10，12] （12，14]
人数 85 205 310 250 130 15 5
该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．
潜伏期不超过6天 潜伏期超过6天 总计
50岁以上（含50岁）

100
50岁以下 55

总计

200
（Ⅰ）请将列联表补充完整；
（Ⅱ）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关？
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010
k0 3.841 5.024 6.635
21．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立．
（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，g（x）＝x2，a∈R．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
解：因为复数＝＝＝i；
故选：B．
2．若函数f（x）在x＝1处的导数为2，则 ＝（　　）
A．2 B．1 C． D．6
【分析】根据导数的定义即可得解．
解：＝f'（1）＝2，
故选：A．
3．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可．
解：∵这组样本数据的所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，
∴这组样本数据完全相关，
即说明这组数据的样本完全负相关，其相关系数是﹣1．
故选：A．
4．袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别求出取两次球时，第一次是黑球的取法数，第一次黑球、第二次白球的取法数，然后由古典概率公式计算即可．
解：在这两次摸球过程中，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到白球”．
则n（A）＝，，
所以P（B|A）＝．
故选：C．
5．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（3x）'＝3xlog3e D．（sin2x）'＝cos2x
【分析】由导数的运算法则分别求导，再逐一判断．
解：对于A，（x+）′＝1﹣，错误；
对于B，（log2x）′＝，正确；
对于C，（3x）′＝3xln3，错误；
对于D，（sin2x）′＝2cos2x，错误；
故选：B．
6．若C﹣C＝C（n∈N*），则n等于（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据题意，结合组合数的性质，可得，再结合组合数的性质，从而得到关于n的方程，解方程即可．
解：根据题意，变形可得，；
由组合性质可得，；即
则可得到n+1＝6+7?n＝12；
故选：B．
7．曲线y＝sinx?cosx+1在点（0，1）处的切线方程为（　　）
A．x﹣2y+2＝0 B．x+2y﹣2＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝0
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．
解：由y＝sinx?cosx+1，得y′＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，
∴y′|x＝0＝cos0＝1．
∴曲线y＝sinx?cosx+1在点（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
即x﹣y+1＝0．
故选：D．
8．将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，不同的分配方案有（　　）
A．12种 B．9种 C．8种 D．6种
【分析】根据题意，分析可得每名志愿者有2种选择，即有2种情况，由分步计数原理计算可得答案．
解：根据题意，将3名防控新冠疫情志愿者全部分配给2个不同的社区服务，每名志愿者有2种选择，即有2种情况，
则3名志愿者共有2×2×2＝8种不同的分配方案；
故选：C．
9．已知在最小二乘法原理下，具有相关关系的变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的相关数据如表所示，则下列说法正确的是（　　）
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A．变量x，y之间呈现正相关关系
B．可以预测，当x＝20时，
C．可求得表中m＝4.7
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
【分析】由x与y的线性回归方程中x系数的正负可判断选项A；把x＝20代入回归直线方程算出的值可判断选项B；先根据表格中的数据求出样本中心点，再将其代入线性回归方程，解之即可得m的值，从而判断选项C；由选项C中的结论可判断选项D．
解：由x与y的线性回归方程可知，∵﹣0.7＜0，∴变量x，y之间呈现负相关关系，即A错误；
当x＝20时，＝﹣0.7×20+10.3＝﹣3.7，即B错误；
由表中数据可知，，，
根据样本中心点必在线性回归方程上，有，解得m＝5，即C错误；
∵m＝5，∴，∴样本中心点为（9，4），即D正确．
故选：D．
10．函数f（x）＝x3+2x2+mx+7是R上的单调函数，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．
解：若函数y＝x3+2x2+mx+7是R上的单调函数，
只需y′＝3x2+4x+m≥0恒成立，
即△＝16﹣12m≤0，
∴m≥．
故m的取值范围为[，+∞）．
故选：A．
11．李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据题意逐一得到四家需要配送的日期，进而可得其无需配送的天数．
【解答】解，由题得，甲超市需配送日期为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31；
乙超市为：1，5，9，13，17，21，25，29；
丙超市为：1，7，13，19，25，31；
丁超市为：1，8，15，22，29，
故无需配送日期为：2，3，6，11，12，14，18，20，23，24，26，27，30，共13天，
故选：B．
12．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ex+ax（a为常数）有两个不同极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（2，+∞） D．（1，+∞）
【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）＝0在R上有两个不同根，结合函数的性质可求．
解：由题意可得，f′（x）＝﹣e﹣x﹣ex+a＝0有2个不同的实数根，即a＝ex+e﹣x有2个不同的实数根，
令g（x）＝ex+e﹣x，则g′（x）＝ex﹣e﹣x在R上单调递增且g（0）＝0，
故当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，且g（0）＝2，
故a＞2．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有　9　种．
【分析】根据题意，分析可得一共有9本不同书籍，由组合数公式分析可得答案．
解：根据题意，有某同学从4本不同的科普杂志、3本不同的文摘杂志、2本不同的娱乐新闻杂志，
共4+3+2＝9本不同的书，
从中任选1本，有C91＝9种选法；
故答案为：9．
14．已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）＝0.2，则P（ξ≥﹣1）＝　0.8　．
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x＝1，且P（ξ＞3）＝0.2，依据正态分布对称性，即可求得答案．
解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），
∴曲线关于x＝1对称，
∵P（ξ＞3）＝0.2，∴P（ξ≤﹣1）＝P（ξ＞3），
∴P（ξ≥﹣1）＝1﹣P（ξ＞3）＝1﹣0.2＝0.8．
故答案为：0.8
15．2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲，乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法共有　90　种．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6人平均分成3组，②将分好的三组对应甲乙丙三个贫困县，由分步计算原理计算可得答案．
解：根据题意，分2步进行分析：
①将6人平均分成3组，有＝15种分组方法，
②将分好的三组对应甲乙丙三个贫困县，有A33＝6种情况，
则有15×6＝90种派出方法；
故答案为：90
16．已知函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＞0成立，则函数g（x）＝x2f（x）的零点个数是　1　．
【分析】分析可得g（x）为R上连续的奇函数，且在R上为增函数，说明函数g（x）＝x2f（x）只有1个零点，可得选项．
解：g（x）＝x2f（x），函数f（x）是定义在R上连续的奇函数，
则函数g（x）＝x2f（x），其定义域为R，
则g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣g（x），则g（x）为R上连续的奇函数，
g（x）＝x2f（x），则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[xf'（x）+2f（x）]，
又由当x＞0时，xf'（x）+2f（x）＞0，则有g′（x）＞0，即函数g（x）为（0，+∞）上的增函数，
又由g（x）为R上连续的奇函数，且g（0）＝0，
则g（x）为R上的增函数，
故函数g（x）＝x2f（x）只有1个零点，
故答案为：1．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）＝x3﹣x2+bx，且f'（2）＝﹣3．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）根据f'（2）＝﹣3，直接求出b即可；
（Ⅱ）对f（x）求导，根据f'（x）＞0得单调增区间，f'（x）＜0得单调减区间．
解：（Ⅰ）由已知f'（x）＝x2﹣2x+b，
∴f'（2）＝4﹣4+b＝﹣3，∴b＝﹣3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）＝x2﹣2x﹣3，
解f'（x）＞0，得x＜﹣1或x＞3，
解f'（x）＜0，得﹣1＜x＜3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调递减区间为（﹣1，3）．
18．已知m≠0，复数z＝（m﹣2）+（m2﹣9）i．
（Ⅰ）若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围；
（Ⅱ）若z的共轭复数与复数+5i相等，求m的值．
【分析】（1）由实部与虚部均大于0联立不等式组求解；
（2）写出，再由复数相等的条件列方程组求解．
解：（1）由题意，，解得m＞3；
（2）由z＝（m﹣2）+（m2﹣9）i，得，
又与复数+5i相等，∴，解得m＝﹣2．
19．在（x+2）10的展开式中，求：
（Ⅰ）x8的系数；
（Ⅱ）如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值．
【分析】先求出展开式的通项．
（Ⅰ）令通项中x的指数为8，求出k的值即可；
（Ⅱ）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r的值．
解：（Ⅰ）二项式展开式的通项如下：
Tr+1＝?2r?x10﹣r，由已知令10﹣r＝8，
所以r＝2．所以含x8项的系数为 ?22＝180．
（Ⅱ）第4r项与第r+2项的二项式系数相等，
则 ＝，即4r﹣1＝r+1或4r﹣1+r+1＝10．
解得r＝2，（ r＝舍）．
故r的值为2．
20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起．到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患有某种传染病的患者的相关信息，得到如表：
潜伏期（单位：天） [0，2] （2，4] （4，6] （6，8] （8，10] （10，12] （12，14]
人数 85 205 310 250 130 15 5
该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．
潜伏期不超过6天 潜伏期超过6天 总计
50岁以上（含50岁）

100
50岁以下 55

总计

200
（Ⅰ）请将列联表补充完整；
（Ⅱ）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关？
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010
k0 3.841 5.024 6.635
【分析】（Ⅰ）1000名患者中潜伏期不超过6天的人数为600人，于是200名患者中潜伏期不超过6天的人数为120人，
进而得50岁以上（含50岁）且潜伏期不超过6天的人数为65人，再补充完整2×2列联表即可；
（Ⅱ）根据K2的参考公式计算出其观测值，并与附录中的数据进行对比即可得解．
解：（Ⅰ）1000名患者中潜伏期不超过6天的人数为85+205+310＝600人，
∴200名患者中潜伏期不超过6天的人数为600×＝120人，
∴50岁以上（含50岁）且潜伏期不超过6天的人数为120﹣55＝65人．
补充完整的2×2列联表如下：
潜伏期不超过6天 潜伏期超过6天 总计
50岁以上（含50岁） 65 35 100
50岁以下 55 45 100
总计 120 80 200
（Ⅱ）K2＝＝≈2.083＜3.841，
故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．
21．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立．
（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望．
【分析】（Ⅰ）从正面考虑，分三种情况：甲乙均命中、甲中乙未中、甲未中乙中，再求出三种情况的概率和即可；（或从反面考虑，先求出甲乙均未中的概率，在利用对立事件的概率求解即可）；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则ξ～B（），然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望，也可以根据二项分布的性质求数学期望．
解：（Ⅰ）设“至少有一人命中目标”为事件A，则P（A）＝．
（或设“两人都没命中目标”为事件B，P（B）＝，“至少有一人命中目标”为事件A，则P（A）＝1﹣P（B）＝．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则ξ～B（），
∴P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝．
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P



∴数学期望..
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，g（x）＝x2，a∈R．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值的关系对a进行分类讨论即可求解；
（2）由已知不等式分离参数后转化为求解相应函数的范围，构造函数，结合导数可求．
解：（1），x＞0，
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，没有极值点；
当a＞0时，易得当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x时，f′（x）＜0，函数单调递减，
故当x＝为函数的极大值点，没有极小值点；
（2）由f（x）≤g（x）恒成立可得lnx﹣ax≤x2，x＞0，
所以a≥在x＞0时恒成立，
设h（x）＝，x＞0，则＝，
令m（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，则m（x）在（0，+∞）上单调递减且m（1）＝0，
故当x＞1时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，当0＜x＜1时，m（x）＞0，即h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
故当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝﹣1，
所以a≥﹣1
故a的范围[﹣1，+∞）