(共26张PPT)
第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本性质
1.两个实数大小的比较
(1)a>b?a-b>0;(2)a=b?a-b=0;(3)a
2.不等式的基本性质
(1)如果a>b,那么bb.即a>b?b(2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c?a>c.
(3)如果a>b,那么a+c>b+c.
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
名师点拨不等式的其他性质:
(1)同向不等式的可加性,若a>b,c>d,则a+c>b+d.
(2)非负同向不等式的可乘性,若a>b>0,c>d>0,则ac>bd.
(3)不等式的倒数性质,
做一做1 若a>b,则下列结论中一定成立的是( )?
C.2-a>1-b
D.(a-b)c2≥0
解析：因为a>b,所以a-b>0.
又c2≥0,所以(a-b)c2≥0.
答案：D
做一做2 已知-2解析：因为-2又-2答案：(-6,1)
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在一个不等式的两边同时乘一个非零实数,不等式仍然成立.
( )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性.
( )
(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.
( )
(4)在某一范围内,一个数越大,它的倒数不一定就越小.
( )
(5)当x>-3时,一定有
.
( )
×
×
×
√
×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
不等式的基本性质的应用?
【例1】
(1)(2017江西模拟)对于任意实数a,b,c,d,以下四个说法:
①若ac2>bc2,则a>b;
②若a>b,c>d,则a+c>b+d;
③若a>b,c>d,则ac>bd;
其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
分析：利用不等式的基本性质,并注意列举反例进行推理判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)因为c>d,所以-d>-c,因此当a>b时能够推出a-d>b-c,但不一定有a-c>b-d,例如:a=3,b=2,c=4,d=1.
但当c>d,且a-c>b-d时,必有a>b,所以“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分条件.
答案：(1)B (2)B
解析：(1)①若ac2>bc2,则a>b正确,由不等式的性质可得.
②若a>b,c>d,则a+c>b+d正确,由不等式的可加性可得.
③若a>b,c>d,则ac>bd错误,如当a=-1,b=0,c=2,d=1时,ac探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断与不等式有关的命题真假的基本方法
1.直接运用不等式的基本性质,把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑,先找到与命题相近的性质,再进行推理判断.
2.利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性.当直接利用不等式性质不能比较大小时,可以结合利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断.
3.取特殊值,即根据要比较的几个式子中涉及的变量,取一些特殊值进行比较、判断.
注意:说明一个命题为假时,可以举反例说明.而说明一个命题为真时,只能用所学知识进行严格证明,不能取特殊值判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 下列命题为真命题的是 .(填序号)?
答案：②③
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用作差法比较大小?
【例2】
若实数a≠1,试比较a+2与
的大小.
分析：首先对两式作差,然后变形进行比较,但要注意对参数a的取值范围进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟作差法比较大小的基本步骤
1.作差,有的可以直接作差,有的需转化后才可以作差.
2.变形,目的是判断差的符号,通常进行通分、分解因式、配方、分子(分母)有理化等变形,有时还要根据字母的取值范围进行分类讨论来判断差的符号.
3.判断,若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a4.获得结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 比较a3+b3与a2b+ab2的大小关系,其中a,b均为负数.?
解：a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b).
因为a,b均为负数,所以a+b<0,(a-b)2≥0,
所以(a-b)2(a+b)≤0.
故a3+b3≤a2b+ab2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用不等式的性质证明不等式?
【例3】
已知ad>0,m<0,求证
分析：由已知条件中的不等式并结合不等式的性质进行推理,直至推出欲证不等式.
证明：因为a-b>0.
又c>d>0,所以c-a>d-b>0.
反思感悟利用不等式的性质证明不等式的注意点:
(1)注意观察欲证结论与已知条件之间的联系,选择相应的不等式的性质进行证明.
(2)注意不等式的性质的成立条件,在进行变形时,要做到等价变形.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 设a>b,c>d,m>0,求证d-am证明：因为a>b,m>0,所以am>bm,所以-am<-bm.
又c>d,所以d-am探究一
探究二
探究三
思维辨析
误用不等式的性质而致错
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得利用不等式的性质求代数式的取值范围时,应严格依据不等式的性质和运算法则进行运算.如果是由两个变量的范围求其差的范围,那么一定不能直接作差,而要转化为同向不等式后求和.此外,还要注意范围中“等号”能否取到.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 若1解析：因为1又3所以-13<2a-3b<-3.
答案：(-13,-3)
1
2
3
4
5
1.若x>1>y,则下列不等式不成立的是( )
A.x-1>1-y
B.x-1>y-1
C.x-y>1-y
D.1-x>y-x
解析：利用不等式的性质易得选项B,C,D均成立,只有选项A不成立.
答案：A
1
2
3
4
5
2.使x+y<4成立的一个充分不必要条件是( )
A.x<2或y<2
B.x<2,且y<2
C.x<2,且y>2
D.x<2或y>2
解析：由不等式的性质知,当x<2,且y<2时,必有x+y<4;但当x+y<4时,不一定有x<2,且y<2.
答案：B
1
2
3
4
5
3.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( )
A.-2<α-β<0
B.-2<α-β<-1
C.-1<α-β<0
D.-1<α-β<1
解析：因为-1<α<β<1,所以-1<-β<1.
又α<β,所以-2<α-β<0.
答案：A
1
2
3
4
5
4.已知-2解析：因为-3又-2因为1答案：(0,2) (5,13)
1
2
3
4
5
5.(2017吉林松原模拟)已知12的取值范围.
解：∵15∴-36<-b<-15.
∴12-36∴-242.基本不等式
1.重要不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
2.基本不等式
(3)两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
名师点拨1.重要不等式与基本不等式的区别
2.基本不等式的常见变形
④
3.利用基本不等式求最值
对两个正实数x,y.
(1)如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积
P
取得最大值;
(2)如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和
S
取得最小值.
名师点拨利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即
(1)各项或各因式为正;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式能取得相等的值.
做一做2 若x>0,y>0,且x+y=
,则xy的最大值为( )?
答案：D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对于任意的实数x,y,都有x2+y2≥2xy.
( )
√
×
×
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
运用基本不等式求最值或取值范围?
a+b与ab的关系,再利用解不等式消去ab建立关于a+b的不等式进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.运用基本不等式求最值的一些技巧:含有多个变量的条件求最值问题,一种方法是减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决.另一种方法是采用常值代换的方法,先对代数式变形后,再运用基本不等式进行求解.
2.两个正数的和与积的转化:基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或范围.在条件等式中,如果同时含有两个变量的和与积的形式,就可以先直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,再通过解关于“和式”或“积式”的不等式进行求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 (1)已知0(2)设x>0,y>0,且x+2y=1,则
的最小值为 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
运用基本不等式证明相关不等式?
分析：对于(1),因为m>0,所以可把
和6m分别看作基本不等式中的
a和b,直接利用基本不等式证明;对于(2),考虑到a+b+c=1,首先将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用基本不等式,然后根据不等式的性质证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用基本不等式证明不等式的方法与技巧
1.用基本不等式证明不等式时,首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构特点和使用条件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.
2.对含有条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出基本不等式.若两次(或两次以上)使用基本不等式的传递性,则应保证等号成立的条件一致.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
运用基本不等式解决实际问题?
【例3】
已知26辆货车以相同速度v(单位:km/h)由A地驶向400
km处的B地,每两辆货车的间距为d
km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20时,d=1.
(1)写出d关于v的函数关系式;
(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车的速度为多少?
分析：对于(1),可由已知数据代入求得;对于(2),首先列出时间与速度的关系式,然后借助基本不等式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)由题意可设d=kv2,其中k为比例系数,k>0.
因为当v=20时,d=1,所以1=k·202,
(2)因为每两辆货车的间距为d
km,所以最后一辆货车与第一辆货车的间距是25d
km,所以最后一辆货车到达B地所需的时间为
故26辆货车都到达B地最少需要10
h,此时货车的速度为80
km/h.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用基本不等式求解实际问题的盲点:
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 某公司一年购买某种货物400
t,每次都购买x
t,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=
t.?
答案：20
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视基本不等式成立的条件而致错
典例若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案：C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得本题错解中忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致,从而出现错误.连续使用基本不等式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.因此尽量不要连续两次或两次以上使用基本不等式.若连续使用两次或两次以上时,应保证每次等号成立的条件都相等.此外,在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的办法是变量替换或常数值“1”的替换,即首先由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将待求最值的代数式乘“1”,最后对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练(2017吉林三模)已知x>0,y>0,x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值是
( )
令x+2y=t(t>0),则t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),因此x+2y≥4,即x+2y的最小值是4,故选B.
答案：B
1
2
3
4
5
1.下列不等式中恒成立的是( )
答案：B
1
2
3
4
5
答案：C
1
2
3
4
5
答案：C
3.某公司要租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运输费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么要使这两项费用之和最小,待建仓库与车站的距离为( )
A.3千米
B.8千米
C.5千米
D.6千米
解析：设待建仓库与车站的距离为x千米.
为5千米时,每月土地占用费和每月库存货物的运输费之和最小.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5(共25张PPT)
3.三个正数的算术-几何平均不等式
1.三个正数的算术-几何平均不等式
(1)如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)定理3:如果a,b,c∈R+,那么
,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(3)三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
名师点拨1.不等式成立的条件:
2.不等式的变形及其应用:
做一做1 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( )?
A.a1+a2+a3≥2
B.a1+a2+a3≥6
答案：B
2.n个正数的算术-几何平均不等式
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即
,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对于任意的实数x,y,z,都有x3+y3+z3≥3xyz.
( )
×
×
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
运用三个正数的算术-几何平均不等式求最值?
【例1】
求解下列各题:
(1)若0(3)若x,y>0,且xy2=4,求x+2y的最小值.
分析：(1)应构造和为定值的形式;(2)应构造积为定值的形式;(3)应构造积为定值的形式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的方法与技巧
1.利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,可简记为“积定和最小,和定积最大”.
2.应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,仍然要满足三个条件,即“一正、二定、三相等”.其中定值条件决定着三个正数的算术-几何平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等.
3.拼凑定值是利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的关键,求代数式的和或者积的最值时,题目中的定值条件往往无法满足,此时可以将三个正数的算术-几何平均不等式的取等号的条件作为出发点,拼凑定和(或积),从而求得积(或和)的最大(或小)值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 (1)若x>0,则2x+
的最小值为 .?
(2)函数y=2cos2x·sin4x的最大值等于 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
运用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式?
【例2】
(1)已知a,b,c∈R+,
分析：(1)欲证不等式的右边为常数3,联想到不等式a+b+c≥
3
(a,b,c∈R+),故将所证不等式的左边进行恰当的变形;(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以不但要用一次三个正数的算术-几何平均不等式,而且还要用一次基本不等式.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟证明不等式的方法与技巧
观察式子的结构特点,分析题目中的条件,若具备“一正、二定、三相等”的条件,则直接应用该定理.若题目中不具备该条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用该定理证明.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 (1)已知x,y,z>0,求证(x+y+z)3≥27xyz.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
运用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题?
【例3】
制造容积为
立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米30元,用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元,若使材料成本最低,则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少?
分析：首先用底面半径和高表示出圆柱形桶的材料成本,其次由容积得到底面半径和高的关系,然后将圆柱形桶的材料成本表示为半径的函数,最后用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,并确定等号成立的条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：设此圆柱形桶的底面半径为r米,高为h米,则底面积为πr2平方米,侧面积为2πrh平方米.
设材料成本为y元,则y=30πr2+40πrh.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题的一般步骤
1.理解题意,设变量,设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数.
2.建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题.
3.在定义域内,利用三个正数的算术-几何平均不等式求出函数的最值.
4.验证不等式中等号成立的条件,得出结论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 在表面积等于18的长方体中,求其体积的最大值.?
解：设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a,b,c,则长方体的体积为V=abc,其表面积为S=2ab+2bc+2ca=18.
由三个正数的算术-几何平均不等式得
探究一
探究二
探究三
思维辨析
误用三个正数的算术-几何平均不等式而致错
纠错心得错解中虽然对代数式进行了变形与分解,也构造了定值,但等号成立的条件无法满足,因此所求最值是错误的.在利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值时,三个条件缺一不可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 若x>0,求y=x(1-x2)的最大值.?
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的是( )
解析：当a,b,c∈R时,a2,b2,c2≥0,由三个正数的算术-几何平均不等
a2=b2=c2时,等号成立),故选项C正确.
答案：C
1
2
3
4
5
答案：B
1
2
3
4
5
3.若a>0,b>0,且a+2b=1,则ab2的最大值等于( )
答案：A
1
2
3
4
5
4.若长方体的体积为8,则其表面积的最小值等于 .?
解析：设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a,b,c,则依题意有abc=8.
而长方体的表面积
当且仅当a=b=c=2时,等号成立,即长方体的表面积的最小值为24.
答案：24
1
2
3
4
5
解：甲先到达B地,理由如下.
设A,B两地间的距离为s(s>0),甲从A到B所用的时间为t1,乙从A到B所用的时间为t2,