§1.3.1函数的单调性（1）
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．
2．f(x) = -2x+1
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．
3．f(x) = x2
在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
新教学课
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
三例题讲解
例1（P29例1） 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
例2：（P29例2）物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
例3．写出f(x)=|x|的单调区间及其图像的对称轴，观察：在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点
解：递减区间是，递增区间是，对称轴是轴，函数在对称轴两侧的单调性相反。
四、巩固练习：
1.在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ C ）
A、y=2x-1; B、y=3x2-1; C、y=; D、y=2x2+x+1;
2、设函数f(x)是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R, 则 （ D ）
A、f(a)>f(2a); B、f(a2)3.若函数在上单调递减，且，则实数的取值范围是
4.已知函数，当时，有正值也有负值，求实数的取值范围 或
5.求证f(x)＝x＋的(0,1)上是减函数，在[1,+∞]上是增函数。过程略
6已知在区间上为增函数，且恒有，求证函数在区间上是减函数。
五、小结：
判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且xy
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
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11.3.1 单调性与最值（3）
教学目标： 1.使学生理解函数最大（小）值及其几何意义；
2.使学生掌握函数最值与函数单调性的关系；
3.使学生掌握一些单调函数在给定区间上的最值的求法；
4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；
5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点：函数最值的含义
教学难点：单调函数最值的求法
教学方法：讲授法
1．函数最大值与最小值的含义
①定义：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。
那么，我们称是函数的最大值（maximum value）.
②几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标。
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimum value）吗？并说明几何意义？
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得。
那么，我们称是函数的最小值（minimum value）.
几何意义：函数的最大值是图象最低点的纵坐标。
2．最值的求法
①配凑法：研究二次函数的最大（小）值，若给定区间是，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值。若给定区间是，则必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值（见下列例题）。（此处顺带说出求值域的方法——配方法）
②单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.
③数形结合法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.
3．例题分析（讲解最值求解方法时带出值域）
例1．教材第30页例题3。
例2．1、求函数在下列各区间上的最值：
（1） （2）[1，4] （3） （4） （5）
2、求函数的最大值.
解：配方为，由，得.
例3．求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值（教材第31页例4）。
分析：先判定函数在区间[2，6]上的单调性，然后再求最大值和最小值。
变式：若区间为呢？
例4. 求下列函数的最大值和最小值：
（1）； （2）.
解：（1）二次函数的对称轴为，即.
画出函数的图象，由图可知，当时，； 当时，.
所以函数的最大值为4,最小值为.
（2）.
作出函数的图象，由图可知，. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.
点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.直接观察得到。
随堂巩固：
1、指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？
， ；，
2、函数在区间[2，4]上的最大值，最小值是（ ）
A．1、 B. 、1 C. 、 D. 、
3函数的最大值
4若，那么的最小值
5、函数的最大值是
能力提升
1已知函数，求函数的最大值和最小值。
2已知函数
（1）当时，求的最值-5,37.
（2）求实数的取值范围，使在上的单调函数
3已知函数，若对任意，恒成立，试求实数的取值范围
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11.3.2函数的单调性和奇偶性（2）
教学目标
熟练掌握判断函数奇偶性的方法，能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．
教学重点、难点
综合利用函数的奇偶性和单调性解决问题．
教学过程
一．问题情境
1．问题：
（1）若函数的图象关于原点对称，则实数应满足的条件是 ；
（2）判断函数的奇偶性．
2．回忆函数奇偶性的有关概念、结论及证明函数奇偶性的基本步骤．
二．数学运用
1．例题
例1．已知奇函数在上是增函数，求证：在上也是增函数．
证明：设，则，∵在上是增函数，
∴，∵是奇函数，∴，，
∴，∴，∴在上也是增函数．
说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．
例2．已知是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式，并写出的单调区间．
解：设，则，由已知得，
∵是奇函数，∴，
∴当时，；
又是定义域为的奇函数，∴．
综上所述：
的单调增区间为，单调增区间为和．
说明：一般情况下，若要求在区间上的解析式，就在区间上设．
例3．定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，
求实数的取值范围．
解：原不等式化为，∵是奇函数，∴，
∴原不等式化为，∵是减函数，∴，
∴． ①
又的定义域为，∴，解得， ②
由①和②得实数的取值范围为．
说明：要重视定义域在解题中的作用．
例4．已知函数，常数、，且，则 ．
略解：法一：设，则，且是奇函数，，
∴，∴．
法二：，
∴．
说明：审题要重视问题的特征．
三、巩固练习
1. 定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. （ A ）
Ａ．（０，１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．［０，１］ Ｄ．［－２，１］
2. 已知函数ｆ（ｘ）是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（ A ）
Ａ． Ｂ．［１，２］ Ｃ．［－１，０］ Ｄ．（）
3.设f(x)是定义在（0,+）上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,求使不等式f(x)+f(x-3)2成立的取值范围.
四 课外作业
1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 （ C ）
4 2 0 不能确定
2．已知函数，且，则 -26 ．
3．已知偶函数在上是增函数，若，则必有（ C ）
4若都是奇函数，在上有最大值5，则f(x)在上有 （ ）
最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-1 D．最大值-3
5已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）
A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）
C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）
6．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7已知函数是奇函数，当时，，当时，等于
8设函数为奇函数，则 -1 。
9．已知函数是偶函数，求的单调增区间及最大值．
单调增区间 最大值是3
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- 1 -1.3.2函数的单调性和奇偶性（2）
教学目标
熟练掌握判断函数奇偶性的方法，能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．
教学重点、难点
综合利用函数的奇偶性和单调性解决问题．
教学过程
一．问题情境
1．问题：
（1）若函数的图象关于原点对称，则实数应满足的条件是 ；
（2）判断函数的奇偶性．
2．回忆函数奇偶性的有关概念、结论及证明函数奇偶性的基本步骤．
二．数学运用
1．例题
例1．已知奇函数在上是增函数，求证：在上也是增函数．
证明：设，则，∵在上是增函数，
∴，∵是奇函数，∴，，
∴，∴，∴在上也是增函数．
说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设．
例2．已知是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式，并写出的单调区间．
解：设，则，由已知得，
∵是奇函数，∴，
∴当时，；
又是定义域为的奇函数，∴．
综上所述：
的单调增区间为，单调增区间为和．
说明：一般情况下，若要求在区间上的解析式，就在区间上设．
例3．定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，
求实数的取值范围．
解：原不等式化为，∵是奇函数，∴，
∴原不等式化为，∵是减函数，∴，
∴． ①
又的定义域为，∴，解得， ②
由①和②得实数的取值范围为．
说明：要重视定义域在解题中的作用．
例4．已知函数，常数、，且，则 ．
略解：法一：设，则，且是奇函数，，
∴，∴．
法二：，
∴．
说明：审题要重视问题的特征．
三、巩固练习
1. 定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围. （ A ）
Ａ．（０，１） Ｂ．（－２，１） Ｃ．［０，１］ Ｄ．［－２，１］
2. 已知函数ｆ（ｘ）是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（ A ）
Ａ． Ｂ．［１，２］ Ｃ．［－１，０］ Ｄ．（）
3.设f(x)是定义在（0,+）上的单调递增函数，且对定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,求使不等式f(x)+f(x-3)2成立的取值范围.
四 课外作业
1．已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 （ C ）
4 2 0 不能确定
2．已知函数，且，则 -26 ．
3．已知偶函数在上是增函数，若，则必有（ C ）
4若都是奇函数，在上有最大值5，则f(x)在上有 （ ）
最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-1 D．最大值-3
5已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）
A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）
C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）
6．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7已知函数是奇函数，当时，，当时，等于
8设函数为奇函数，则 -1 。
9．已知函数是偶函数，求的单调增区间及最大值．
单调增区间 最大值是3
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- 1 -课题：函数的表示法（一）
课 型：新授课
教学目标：
（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
教学难点：分段函数的表示及其图象。
教学过程：
课前准备
（预习教材---，找出疑惑之处)
复习1.回忆函数的定义；
复习2.函数的三要素分别是什么？
二、新课导学：
（一）学习探究
探究任务：函数的三种表示方法
讨论：结合课本P15 给出的三个实例，说明 三种表示方法的适用范围及其优点
小结：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；
优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；
优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；
优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。
典型例题
例1．（课本P19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元），试用三种方法表示此实例中的函数。
反思：例1及变式的函数有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？
例2：（课本P20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 98 87 91 92 88 95
张城 90 76 88 75 86 80
赵磊 68 65 73 72 75 82
班级平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析
例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
图象（略）
变式：邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元，每封x克（）重的信应付邮资数y（元），试写出y关于x的函数解析式，并画出函数图象。
小结：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，
动手试试：
1.已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值
2．设函数，则 18 ，若，则= 4 。
归纳小结：
本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。
课题：函数的表示法（二）
课 型：新授课
教学目标：
（1）了解映射的概念及表示方法；
（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。
教学重点：求函数的解析式。
教学难点：对函数解析式方法的掌握。
教学过程：
课前准备：
（预习教材，找出疑惑之处）
复习：举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：
（1）对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
（2）对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
你还能找出一些其它的实例吗？
二、新课导学：
（一） 映射的概念：
定义：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。记作：
例1．（课本P22例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？
集合A={P | P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
集合A={P | P是平面直角坐标系中的点}，B= ，对应关系f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
集合A={x | x是新华中学的班级}，集合B={x | x是新华中学的学生}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。
反思：
（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；
（2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”表示A到B的映射，符号“f：B→A”表示B到A的映射，两者是不同的；
（3）集合A中的元素不可剩余，B中元素可剩余。
讨论：1函数与映射两者的联系与区别分别是什么？
2若用集合表示两者的关系，应怎样表示？
（二）求函数的解析式：
学习探究：常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。
（待定系数法）
例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法）
例5．已知函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式。（消去法）
复合函数求解析式：.
例7 已知函数=4x+3，g(x)=x, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．
：
（四）动手试试：
1．课本P23练习4；
2．已知 ，求函数f(x)的解析式。
3．已知，求函数f(x)的解析式。
4．已知，求函数f(x)的解析式。
归纳小结：
本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。
课题：函数的表示法（三）
课 型：新授课
教学目标：
（1）进一步了解分段函数的求法；
（2）掌握函数图象的画法。
教学重点：函数图象的画法。
教学难点：掌握函数图象的画法。。
教学过程：
课前准备：
1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。
2. 讨论：函数图象有什么特点？
二、讲授新课：
例1．画出下列各函数的图象：
（1） （2）；
例2．（课本P21例5）画出函数的图象。
例3．设，求函数的解析式，并画出它的图象。
变式1：求函数的最大值。
变式2：解不等式。
能力提高（选做）：当m为何值时，方程有4个互不相等的实数根。
变式：不等式对恒成立，求m的取值范围。
（三）当堂检测：
1．课本P23练习3；
2．画出函数的图象。
归纳小结：
函数图象的画法。课题：§1.3.2函数的奇偶性（1）
教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学过程：
新课教学
（一）函数的奇偶性定义
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称．
（三）典型例题
1．判断函数的奇偶性
例1．1、判断下列函数是否具有奇偶性。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
例2．判断函数的奇偶性
解：（略）
说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．
2．利用函数的奇偶性求解析式
例2已知函数为偶函数，且当时，，则，的解析式。
3．函数的奇偶性与单调性的关系
例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
巩固练习
1.判断下列函数是否具有奇偶性？
（1）； 偶 （2）；偶
（3）；非奇非偶 （4）非奇非偶
（5）；非奇非偶 （6）偶
2、(1)对于定义域R上的任何奇函数f(x)都有 （ ）
(A) f (x)－ f (－x)<0（x）； (B) f (x)－ f (－x)0 （x）；
(C) f (x)· f (－x)0（x）； （D）f (x)·f (－x)>0（x）。
（2）设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )
(A)是奇函数 (B)是奇函数
(C) 是偶函数 (D) 是偶函数
2.知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是（ D ）
Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3.已知f(x)是奇函数，定义域为{x|xR且x0},又f(x)在（0，+）上是增函数，且f(-1)=0,则满足f(x)>0的x取值范围是(-1,0)(1,+) .
4．的奇偶性，并作出图像。
5、（选做题）判断函数的奇偶性
四 作业布置
1课后思考：
已知是定义在R上的函数，
设，
试判断的奇偶性；
试判断的关系；
由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
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11.2.1 函数的概念（第一课时）
课 型：新授课
教学目标：
（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的三要素；
（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程：
一、问题链接：
1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？
2．回顾初中函数的定义：
在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。
表示方法有：解析法、列表法、图象法.
二、合作探究展示：
探究一：函数的概念：
思考1：（课本P15）给出三个实例：
A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。
B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）
C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）
讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？
归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都与唯一确定的y和它对应，记作：
函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：
其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。
注意：
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
思考2：构成函数的三要素是什么？
答：定义域、对应关系和值域
小试牛刀．1下列四个图象中，不是函数图象的是（ B ）.
2．集合，，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（ B ）.
归纳：（1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R；
（2）二次函数 (a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域；当a﹤0时，值域。
（3）反比例函数的定义域是，值域是。
探究二：区间及写法：
设a、b是两个实数，且a满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为
。
小试牛刀：
用区间表示R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0}
（学生做，教师订正）
（三）例题讲解：
例1．已知函数，
求的值；
当a>0时，求的值。
（答案见P17例一）
练习．已知函数f(x)=x2+2,求f(-2),f(-a),f(a+1), f(f(x)).
答案:f(-2)=6 f(-a)=a2+2 f(a+1)=a2+2a+3 f(f(x))=x4+4x2+6
【例2】已知函数.
（1）求的值；（2）计算：.
解：（1）由.
（2）原式
点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.
（四）随堂检测：
1． 用区间表示下列集合：
2． 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)的值；
3． 课本P19练习2。
4．已知＝＋x＋1，则＝__3+____；f［］＝_57_____．
5．已知，则= —1 .
归纳小结：
函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示
作业布置：
习题1.2A组，第4，5，6；
1.2.1函数的概念（第二课时）
课 型：新授课
教学目标：
（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
（2）掌握复合函数定义域的求法；
（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。
教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。
教学难点：复合函数定义域的求法。
教学过程：
一、问题链接：
1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝x是不是同一个函数？为什么？
2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax＋bx＋c（a≠0）、y＝(k≠0)的定义域与值域。
二、合作探究展示：
探究一：函数定义域的求法：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域
① ；② ；③ .
解：①∵x-2=0，即x=2时，分式无意义，
而时，分式有意义，∴这个函数的定义域是.
②∵3x+2<0，即x<-时，根式无意义，
而，即时，根式才有意义，
∴这个函数的定义域是{|}.
③∵当，即且时，根式和分式 同时有意义，
∴这个函数的定义域是{|且}
另解：要使函数有意义，必须：
∴这个函数的定义域是： {|且}
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
探究二：复合函数的定义域求法：
（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；
求法：由a（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；
求法：由a例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。
答案：
练习．已知函数的定义域为，则的定义域为（ C ）.
A． B． C． D．
例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。
答案：
巩固练习：
1．求下列函数定义域：
（1）； （2）
答案：（1） （2）
2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
答案：（1） （2）
探究三：求函数的值域
已知函数求
（1）
（2）x
（3）x
答案：（1）（2）（3）
探究四：函数相同的判别方法：
例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）； （2）；
（3）； （4） 。
分析：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：⑴＝（）,，定义域不同且值域不同，不是；
⑵＝（）,，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶＝||=,；值域不同，不是同一个函数。
（4） 定义域不同，不是同一个函数。
练习1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）.
A. B.
C. D.
2 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
① （定义域不同）
② （定义域不同）
③ （定义域、值域都不同）
（三）随堂检测：
1．课本 P19练习1，3；
2．求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。
归纳小结：
本堂课讲授了函数定义域值域的求法以及判断函数相等的方法。
作业布置：
习题1.2A组，第1，2；
A.
B.
C.
D.
x
y
0
-2
2
x
y
0
-2
2
2
x
y
0
-2
2
2
x
y
0
-2
2
2
A. B. C . D.1.3.1 单调性与最值（4）
教学目标： 1. 熟练运用求函数的最值（值域）的方法解决问题.
2. 培养学生数形结合、辩证思维的能力；
3.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
教学重点：求函数最值（值域）常见的方法.
教学难点：求函数最值（值域）的换元法,判别式法
教学方法：讲授法
一、观察法（数形结合法）：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法。
例1、求函数的值域。
练习：求函数的值域。
求函数的值域
二、配凑法：
例2、 （2）。
练习：求函数的值域。
三、分离常量法：
例3、求函数的值域。
解：
练习：1.求函数 的值域 （1，）
2. 求函数 的值域 [-1，1]
四、换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。
例5、求函数的值域。
练习：求函数的值域
五、反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。
例4、求函数的值域。
练习：求函数的值域。
六、判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。
求函数的定义域。
函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：
1）分子分母的最高次为二次的分式函数；2）分子分母无公约数；3）未限定自变量的取值范围。
练习：求函数的值域。
作业：
一、求下列函数的值域：
(1) (2) (3)
(4) (5)
(6)
二、已知二次函数的定义域和值域都为 [1 , b] (b>1) ,求b的值.
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1§1.3.1函数单调性（2）
教学目标：1、进一步理解函数单调性概念，学会用函数单调性概念来讨论函数的单调区间；
2、掌握复合函数单调性的判定方法；
3、培养逆向思维和综合运用知识来分析问题、解决问题的能力.
教学过程：
一【预习导引】
1.已知函数若则 （ A）
（A） （B）
（C） （D）与的大小不能确定
2.已知函数在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程=0在区间[a,b]内 （ D）
（A）至少有一实根 （B）至多有一实根
（C）没有实根 （D）必有唯一的实根
3、已知定义域为R的函数在区间(-∞,5)上是单调递减，对任意实数t，都有f(5+t)=f(5-t)，那么下列式子成立的是（ D ）
A. f(-1)C. f(9)【典例练讲】
例1. 讨论f(x)=x－2x的单调性。
探究： 函数的单调区间
例2. 讨论函数的单调区间
想一想：在其定义上是单调函数吗？为什么
探究：的图象与的关系
判断函数在区间[2，6] 上的单调性并证明。
例3.讨论函数的单调区间
探究复合函数单调性的判定方法：同增异减
例4.（备选题）定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
三、巩固练习：
1、若函数f(x)是区间[a,b]上的增函数，也是区间[b,c]上的增函数，则在区间[a,c]上（ C ）
A、必为增函数； B、必为减函数； C、可能为增函数； D、不是增函数；
2、若函数f(x)=∣x-a∣在区间内为减函数，则a的范围是 (A)
A、a≥1; B、a=1; C、a≤1; D、0≤a≤1;
3．函数f(x)是定义在（-1，1）上的增函数，且f(a-2)-f(4-a2)<0, 那么a的取值范围为____________;
4.函数y=x∣x-2∣的单调递增区间为___________;
5已知函数在区间上减函数，求实数的取值范围。
6函数y=4x2-mx+5在区间上是增函数，在区间上是减函数，则m的值为________;
7函数f(x)=ax2-(5a-2)x-4在上是增函数, 则a的取值范围是______________.
8 已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围。
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11.1.3 集合的基本运算
学习目标：
（1）理解交集与并集的概念；
（2）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；
（3）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；
（4）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯。
教学重点：交集和并集的概念
教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系
合作探究展示：
问题衔接
我们知道两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
思考（P8思考题），引入并集概念。
新课教学
并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
例题（P8-9例4、例5）
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。
交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例题（P9-10例6、例7）
拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
探索研究
A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A
归纳小结（略）
作业布置
书面作业：P12习题1.1，第6-8题
拓展提高：
题型一 已知集合的交集、并集求参数问题
例1 ( http: / / wxc. / ) 已知集合，若，
求实数的值 ( http: / / wxc. / )
解：∵，∴，而，
∴当，
这样与矛盾；
当符合
∴
练习1已知集合若求a的值
答案 a=-3
例2.已知若求的取值范围.
解（1）若此时
（2）若
综上所述，的取值范围是
练习2上题中若。
答案 ：不存在
题型二 交集、并集性质的运用
例3 设,其中,
如果，求实数的取值范围 ( http: / / wxc. / )
解：由，而，
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得
∴ ( http: / / wxc. / )
练习3设集合求实数的取值范围.
答案：
随堂检验：
1.满足 （ B ）
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
已知集合那么等于 （ B ）
(B) (C) (D)
已知集合那么 ( D )
(0,2)(1,1) (B) (C) (D)
已知集合
已知集合则 -4
已知集合若求实数的取值范围 x
A∪B
A
B
A
A B
A(B)
A
B
B
A
B A
4§1.1.1集合的含义与表示
一. 教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
(5)培养学生抽象概括的能力.
2. 过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3. 情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二. 教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
三. 学法与教学用具
1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2. 教学用具：投影仪.
四. 教学思路
(一)创设情景，揭示课题
1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗
引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.
2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢 这就是我们这一堂课所要学习的内容.
（二）研探新知
1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：
(1)1—20以内的所有质数；
(2)我国古代的四大发明；
(3)所有的正方形；
(4)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；
(5)到一个角的两边距离相等的所有的点；
(6)方程的所有实数根；
(7)不等式的所有解；
(8)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2．教师组织学生分组讨论：这8个实例的共同特征是什么
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出8个实例的特征，并给出集合的含义.
一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）(简称为集)。
4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母…表示.
(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维
1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点 并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.
2．教师组织引导学生思考以下问题：
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
(1)大于3小于11的偶数；
(2)我国的小河流.
让学生充分发表自己的建解.
3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.
4.教师提出问题，让学生思考
如果用A表示高—(3)班全体学生组成的集合，用表示高一(3)班的一位同学，是高一(4)班的一位同学，那么与集合A分别有什么关系 由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.
如果是集合A的元素，就说属于集合A，记作.
如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作.
5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.
6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：
(1)要表示一个集合共有几种方式
(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点 适用的对象是什么
(3)如何根据问题选择适当的集合表示法
使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
五．典例剖析
例1. 用例举法表示集合 答案：
例2.下列命题：若，则； 表示只有一个元素的集合；
方程的解的集合可表示成；其中正确的命题个数是（ ）答案：(2)
例3．已知,且，求实数的值。
解：或。或。但时，，与集合中元素的互异性矛盾，
六． 随堂练习
1．已知集合中的三个元素可成为的三边长，
那么一定不是 答案：D_
2．设都是非零实数，可能取的值组成的集合是
3．已知，且，则的值为
4．对于集合，若，则，那么的值为__或_
5．给出下面三个关系式：其中正确的个数是_
6．集合，则集合中元素的个数是
7．设集合，则下列关系是成立的是___
七．归纳整理，整体认识
在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：
1．本节课我们学习过哪些知识内容
2．你认为学习集合有什么意义？
3．选择集合的表示法时应注意些什么
八．承上启下，留下悬念
1．课后书面作业：第5页1，2题。
2. 元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示？
