4.3.2 空间两点间的距离公式
一、基础过关
1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为
( )
A.
B．25
C．5
D.
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为
( )
A．9
B.
C．5
D．2
3．已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于
( )
A.
B.
C.
D.
4．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足
( )
A．x＋y＋z＝－1
B．x＋y＋z＝0
C．x＋y＋z＝1
D．x＋y＋z＝4
5．若点P(x，y，z)到平面xOz与到y轴距离相等，则P点坐标满足的关系式为____________．
6．已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.
7．在yOz平面上求与三个已知点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点的坐标．
8.
如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．
二、能力提升
9．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是
( )
A．A、B、C三点可以构成直角三角形
B．A、B、C三点可以构成锐角三角形
C．A、B、C三点可以构成钝角三角形
D．A、B、C三点不能构成任何三角形
10．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为
( )
A．19
B．－
C.
D.
11．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
12.
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．
三、探究与拓展
13．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
答案
1．C 2.B 3.B 4．B
5．x2＋z2－y2＝0 6.0或－4
7．解 设P(0，y，z)，由题意
所以
即，所以，
所以点P的坐标是(0,1，－2)．
8．解 由题意得B(0，－2,0)，C(0,2,0)，
设D(0，y，z)，则在Rt△BDC中，∠DCB＝30°，
∴BD＝2，CD＝2，z＝，y＝－1.
∴D(0，－1，)．又∵A(，，0)，
∴|AD|
＝＝.
9．A 10．C
11．(0，－1,0)
12．解 如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，
D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)，
∵N为CD1的中点，∴N.
M是A1C1的三等分点且靠近A1点，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得|MN|
＝
＝.
13．解 ∵点M在直线x＋y＝1(xOy平面内)上，∴可设M(x,1－x,0)．
∴|MN|＝
＝≥，
当且仅当x＝1时取等号，
∴当点M的坐标为(1,0,0)时，
|MN|min＝.4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、基础过关
1．已知两点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于
( )
A．9π
B．8π
C．4π
D．π
2．已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是
( )
A．6－2
B．8
C．4
D．10
3．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为
( )
A.
B．－
C.
D．－
4．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是
( )
A．3－
B．3＋
C．3－
D.
5．已知圆x2＋y2＝9的弦PQ的中点为M(1，2)，则弦PQ的长为________．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
7．已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．
8.
如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4.过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
二、能力提升
9．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是
( )
A．[－3，3]
B．[－3,3]
C．(－3,3]
D．[－3，3)
10．台风中心从A地以每小时20
km的速度向东北方向移动，离台风中心30
km的地区为危险区，城市B在A地正东40
km处，则城市B处于危险区内的时间是
( )
A．0.5
h
B．1
h
C．1.5
h
D．2
h
11．一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽为______米．
12．等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|＝|BC|，|CE|＝|CA|，AD、BE相交于点P，求证：AP⊥CP.
三、探究与拓展
13．有一种商品，A、B两地均有售且价格相同，但某居住地的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地运费的3倍．已知A、B相距10
km，问这个居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)
答案
1．C 2．B 3．A 4．A
5．4
6．(－13,13)
7．解 (1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，显然当5－m>0，即m<5时，方程C表
示圆．
(2)圆的方程化为
(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
圆心C(1,2)，半径r＝，
则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离d＝＝.
∵|MN|＝，∴|MN|＝.
根据圆的性质有
r2＝d2＋2，
∴5－m＝2＋2，得m＝4.
8．解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则
O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2.
又∵两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1
＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
9．C
10．B
11．2
12．证明 以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段BC长的为单位长，建立平面直角坐标系．则A(3,3)，B(0,0)，C(6,0)．由已知，得D(2,0)，E(5，)．直线AD的方程为y＝3(x－2)．
直线BE的方程为y＝(x－5)＋.
解以上两方程联立成的方程组，
得x＝，y＝.
所以，点P的坐标是(，)．
直线PC的斜率kPC＝－.
因为kADkPC＝3×(－)＝－1，
所以，AP⊥CP.
13．解 以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．
|AB|＝10，所以A(－5，0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，并设从B地运往P地的单位距离运费为a，即从B地运往P地的运费为|PB|·a，则A地的运费为|PA|·3a，当运费相等时，就是|PB|·a＝3a·|PA|，即3＝，
整理得(x＋)2＋y2＝()2.①
所以在①表示的圆周上的居民可任意选择在A地或B地购买，在圆内的居民应选择在A地购买，在圆外的居民应选择在B地购买．4.2.2 圆与圆的位置关系
一、基础过关
1．已知0
( )
A．外切
B．相交
C．外离
D．内含
2．若两圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0，x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是( )
A．(－2,39)
B．(0,81)
C．(0,79)
D．(－1,79)
3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有
( )
A．2条
B．3条
C．4条
D．0条
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.
6．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0
，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．
7．a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)内切．
8．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
二、能力提升
9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系式是
( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
10．若集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤16}，B＝{(x，y)|x2＋(y－2)2≤a－1}且A∩B＝B，则a的取值范围是
( )
A．a≤1
B．a≥5
C．1≤a≤5
D．a≤5
11．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
12．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1、C2：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
三、探究与拓展
13．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
答案
1．B
2．D 3．B 4．D
5．±1
6．3或7
7．解 将两圆方程写成标准方程，得(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝3＋2＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或2.
(2)当d＝3－2＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－1或－2.
8．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，
(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.
如图，C1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.
所以，
|C1C2|＝＝.
因此，|MN|的最大值是＋5.
9．B 10．D
11．4
12．解 对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切．
当|C1C2|＝|r1－r2|＝3，即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离．
(4)当|C1C2|<3，即013．解 设圆B的半径为r，因为圆B的圆心在直线l：y＝2x上，所以圆B的圆心可设为(t,2t)，
则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，
即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.①
因为圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，②
所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为
(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③
因为圆B平分圆A的周长，所以圆A的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，于是将x＝－1，y＝－1代入方程③并整理得r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，
所以当t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是
2＋2＝.4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是
( )
A．m≤2
B．m＜
C．m＜2
D．m≤
2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于
( )
A．1
B.
C.
D．2
3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0
B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0
D．2x＋y－6＝0
4．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0( )
A．圆内
B．圆外
C．圆上
D．圆上或圆外
5．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
8．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
二、能力提升
9．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是
( )
A．x－y＝0
B．x＋y＝0
C．x2＋y2＝0
D．x2－y2＝0
10．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为
( )
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
11．
已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
12．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
三、探究与拓展
13．已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
答案
1．B 2.D 3．B 4．B
5．(0，－1)
6．－2
7．解 设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
8．解 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
9．D 10．A
12．解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．
由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，
所以x＝，y＝，
于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，
所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝.
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.
13．解 设圆的方程为：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将P、Q的坐标分别代入①，
得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2
＝E2－4F＝48.⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得或.
故所求方程为：x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、基础过关
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是
( )
A．过圆心
B．相切
C．相离
D．相交
2．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为( )
A．y＝2x
B．y＝2x－2
C．y＝x＋
D．y＝x－
3．若圆C半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是
( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
4．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是
( )
A．在圆上
B．在圆外
C．在圆内
D．都有可能
5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
6．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．
7．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
8．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点．
二、能力提升
9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为
( )
A．1
B．2
C.
D．3
10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有
( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为__________________．
12．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明
理由．
三、探究与拓展
13．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
答案
1．D 2．A 3．A 4．B
5．4
6．(x－3)2＋y2＝4
7．解 设圆心坐标为(3m，m)，∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.
由半径、弦心距的关系得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
8．解 假设存在且设l为：y＝x＋m，圆C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．
解方程组
得AB的中点N的坐标N(－，)，
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
又|AN|＝＝，
|ON|＝.
所以9－＝2＋2，解得m＝1或m＝－4.
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的．
9．C 10．C
11．x2＋y2＝4
12．解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为(x，－2－x)．
圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋(1＋2＋x)2＝(x＋1)2＋9.
所以当x＝－时，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，
所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则有
整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．
13．(1)证明 ∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l过的交点M(3,1)．
又∵M到圆心C(1,2)的距离为d＝＝<5，
∴点M(3,1)在圆内，∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)解 ∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|min＝4.
此时，kCM＝－，kl＝－.
∵l⊥CM，∴·＝－1，
解得m＝－.
∴当m＝－时，取到最短弦长为4.第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为
( )
A．(－1,2)，2
B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4
D．(1，－2)，4
2．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
( )
A．在圆内
B．在圆外
C．在圆上
D．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是
( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为
( )
A.
B.
C．1
D.
5．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．
6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．
7．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
二、能力提升
9．方程y＝表示的曲线是
( )
A．一条射线
B．一个圆
C．两条射线
D．半个圆
10．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．
12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
三、探究与拓展
13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
答案
1．A 2.B 3.B
4．A
5．5＋
6.2＋2＝1
7．解 (1)圆的半径r＝|CP|＝＝5，
圆心为点C(8，－3)，
∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵点P、Q在所求圆上，依题意有
?
∴所求圆的方程是
x2＋2＝.
8．解 由题意知线段AB的垂直平分线方程为3x＋2y－15＝0，
∴由，
解得
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝.
∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
9．D 10.D
11．[0,2]
12．解 能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入有
解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)代入上式圆的方程，得
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上．
13．解 设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.§4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
一、基础过关
1．点P(5,0，－2)在空间直角坐标系中的位置是
( )
A．y轴上
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．x轴上
2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为
( )
A．垂直于xOz平面的一条直线
B．平行于xOz平面的一条直线
C．垂直于y轴的一个平面
D．平行于y轴的一个平面
3．已知空间直角坐标系中有一点M(x，y，z)满足x>y>z，且x＋y＋z＝0，则M点的位置是
( )
A．一定在xOy平面上
B．一定在yOz平面上
C．一定在xOz平面上
D．可能在xOz平面上
4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为
( )
A．(－3,4,5)
B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5)
D．(－3,4，－5)
5．在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为________．
6．点P(－3,2,1)关于Q(1,2，－3)的对称点M的坐标是________．
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标．
8.
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心为坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，
－1)，求其它7个顶点的坐标．
二、能力提升
9．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是
( )
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
10．如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝|BD′|，则P点的坐标为
( )
A.
B.
C.
D.
11．连接平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的线段P1P2的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点M的坐标为_________．
12.
如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．
三、探究与拓展
13.
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．
答案
1．C 2．A 3．D 4．A
5.(1，－2,3) 6.(5,2，－7)
7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，F，G.
8．解 长方体的对称中心为坐标原点O，因为顶点坐标A(－2，－3，－1)，所以A关于原点的对称点C1的坐标为(2,3,1)．
又因为C与C1关于坐标平面xOy对称，
所以C(2,3，－1)．
而A1与C关于原点对称，所以A1(－2，－3,1)．
又因为C与D关于坐标平面xOz对称，所以D(2，－3，－1)．
因为B与C关于坐标平面yOz对称，所以B(－2,3，－1)．
B1与B关于坐标平面xOy对称，所以B1(－2,3,1)．
同理D1(2，－3,1)．
综上可知长方体的其它7个顶点坐标分别为：C1(2,3,1)，C(2,3，－1)，A1(－2，－3,1)，B(－2,3，－1)，B1(－2,3,1)，D(2，－3，－1)，D1(2，－3,1)．
9．C 10．D
11.
12．解 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB＝AC＝6，BC是圆O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，BC＝6.
以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0,0,0)、A(0，－3，0)、B(3，0,0)、C(－3，0,0)、D(0，－3，8)、E(0,0,8)、F(0,3，0)．
13．解 如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直
线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，
C(，，0)，D(，，0)，P(0,0,2)，
E(1，，0)．