第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征
一、基础过关
1．下列说法正确的是
( )
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
2．下列说法正确的是
( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆绕定直线旋转形成球体
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(1)(4)
D．(1)(5)
4．观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是
( )
A．a是棱台
B．b是圆台
C．c是棱锥
D．d不是棱柱
5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．
6．请描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称．
(1)由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等
的矩形；
(2)如右图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°.
7.
如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD二、能力提升
8．下列说法正确的个数是
( )
①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行．
A．0
B．1
C．2
D．3
9．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
10．已知球O
是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为________．
11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？
三、探究与拓展
12．如图所示，圆台母线AB长为20
cm，上、下底面半径分别为5
cm和10
cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
答案
1．C 2.D 3.D 4.C 5.圆锥
6．解 (1)特征：具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形．几何体为正五棱柱．
(2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球．
7．解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
8．A 9.B
10.
11．解 假设直角三角形ABC中，∠C＝90°.以AC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示．
当以BC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示．
当以AB边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示．
12．解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得＝，可求得OA＝20
cm.设∠BOB′＝α，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10
cm.扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40
cm，扇形OBB′所在圆的周长为2π×40＝80π
cm.所以扇形弧的长度20π为所在圆周长的.所以OB⊥OB′.所以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，
所以B′M＝50
cm，即所求绳长的最小值为50
cm.1.2.3 空间几何体的直观图
一、基础过关
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有
( )
A．①②
B．①④
C．③④
D．①③④
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于
( )
A．45°
B．135°
C．90°
D．45°或135°
3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是
( )
4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的
( )
5．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．
7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S.求梯形OABC的面积．
8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
二、能力提升
9．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是
( )
A．8
cm
B．6
cm
C．2(1＋)
cm
D．2(1＋)
cm
10．如图所示的是水平放置的△ABC在直角坐标系的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
12．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4
cm，CD＝2
cm，∠DAB＝30°，AD＝3
cm，试画出它的直观图．
三、探究与拓展
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
答案
1．B 2.D 3.C 4.C 5.①② 6.2.5
7．解 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.
过C′作C′D′⊥O′A′于D′，
则C′D′＝h.
由题意知C′D′(C′B′＋O′A′)＝S.
即h(C′B′＋O′A′)＝S.
又原直角梯形面积为S′＝·2h(C′B′＋O′A′)
＝h(C′B′＋O′A′)＝＝2S.
所以梯形OABC的面积为2S.
8．解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c.
9．A 10.2 11.
12．解 画法：步骤：
(1)如图a所示，在梯形ABCD中，
以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，
画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在图b中，
在x′轴上取A′B′＝AB＝4
cm，
A′E′＝AE＝≈2.598
cm；
过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75
cm，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2
cm.
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
13．解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′
＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.§1.3 空间几何体的表面积与体积
第1课时 柱体、锥体、台体的表面积
一、基础过关
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
A．8
B.
C.
D.
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为
( )
A.
B.
C.
D.
3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于
( )
A．6
B．6π
C．3π
D．6π
4．三视图如图所示的几何体的全面积是
( )
A．7＋
B.＋
C．7＋
D.
5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．
6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________cm2.
7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
8．长方体ABCD—A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值．
二、能力提升
9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于
( )
A．11∶8
B．3∶8
C．8∶3
D．13∶8
10．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
( )
A．372
B．360
C．292
D．280
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
12．有一根长为3π
cm，底面半径为1
cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．
三、探究与拓展
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．
答案
1．B 2．A 3．C 4.A 5.60° 6.12
800 7.2
8．解 把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.
由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为.
9．A 10．B
11．38
12．解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3π
cm，AB＝4π
cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．
AC＝＝5π
cm，
故铁丝的最短长度为5π
cm.
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1.
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36.
∴该几何体的表面积为36.§1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
一、基础过关
1．下列命题正确的是
( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图
( )
3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为
( )
5．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．
(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是______和________．
7．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．
8．画出如图所示的四棱锥和三棱柱的三视图．
二、能力提升
9．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )
10．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱
11．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是________．
12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．
三、探究与拓展
13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？
答案
1．D 2.C 3.D
4．C
5．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B 6.2 4
7．解 图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．
8．解 三视图如图所示：
9．A 10．D
11．6
12．解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．
13．解 由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．
而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
一、基础过关
1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的时，它的体积是原来的
( )
A.
B.
C.
D.
2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为
( )
A．1∶9
B．1∶27
C．1∶3
D．1∶1
3．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为
( )
A．a∶b
B．b∶a
C．a2∶b2
D．b2∶a2
4．若球的体积与表面积相等，则球的半径是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．将一钢球放入底面半径为3
cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4
cm，则钢球的半径是________
cm.
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3
cm，AA1＝2
cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为______
cm3.
7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．
8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．
二、能力提升
9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24π
cm2,12π
cm3
B．15π
cm2,12π
cm3
C．24π
cm2,36π
cm3
D．以上都不正确
10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为
( )
A．2π，6π
B．3π，5π
C．4π，6π
D．2π，4π
11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________
m3.
12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
三、探究与拓展
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
答案
1．C 2.A 3.B 4.C 5.3
6．6
7．(1)球 (2)球
8．解 ∵PA、PB、PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体．
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．
∴2R＝a，R＝a，
∴V＝πR3＝π(a)3＝πa3.
9．A 10.A 11.9π＋18
12．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，
而将球取出后，设容器内水的深度为h，
则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是
V′＝π·(h)2·h＝πh3，
由V＝V′，得h＝r.
即容器中水的深度为r.
13．解 设正方体的棱长为a.如图所示．
(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，
所以有2r1＝a，
r1＝，
所以S1＝4πr＝πa2.
(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，
过球心作正方体的对角面得截面，
2r2＝a，r2＝a，
所以S2＝4πr＝2πa2.
(3)中正方体的各个顶点在球面上，
过球心作正方体的对角面得截面，
所以有2r3＝a，r3＝a，
所以S3＝4πr＝3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.第一章 空间几何体
§1.1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
一、基础过关
1．下列说法中正确的是
( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图
C．正方体的各条棱长都相等
D．棱柱的各条棱长都相等
2．棱台不具备的特点是
( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
3.
如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是
( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2
B．1∶4
C．2∶1
D．4∶1
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60
cm，则每条侧棱长为________cm.
6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________(填序号)．
7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
8.
如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
二、能力提升
9．下图中不可能围成正方体的是( )
10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；
(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．
三、探究与拓展
12．正方体的截面可能是什么形状的图形？
答案
1．C 2.C 3.A 4.B 5.12 6.①②
7．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′.
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
8．解 过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1.
9．D 10.①③④⑤
11．解 (1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．
(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．
12．解 本问题可以有如下各种答案：
①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形；
②截面三角形是锐角三角形；
③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；
④截面可以是五边形；
⑤截面可以是六边形；
⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形．
截面图形举例
