22.1.3 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中正确的是( )
A．其图象的开口方向是向上
B．当x＜－1时，y随x的增大而增大
C．其图象的顶点坐标是(－2，3)
D．其图象的对称轴是直线x＝－2
2．图中有可能是函数y＝ax2＋a(a≠0)的图象的是( )
图
3．如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx＋a的图象大致是( )
4．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，则下列说法中正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2
D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
5．对于任何实数k，抛物线y＝2x2＋k与y＝2x2一定( )
A．开口方向相同
B．顶点相同
C．最小值相同
D．都有最大值
6．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位长度得到的
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
7．在同一平面直角坐标系中，作二次函数y＝－x2，y＝－x2＋3，y＝2x2的图象，则它们( )
A．都关于y轴对称
B．开口方向相同
C．都经过原点
D．互相可以通过平移得到
8．对于抛物线y＝x2＋1和y＝－x2－1在同一平面直角坐标系中的位置，下列说法错误的是( )
A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称
D．两条抛物线没有交点
9．用min{a，b}表示a，b两数中的较小数，若函数y＝min{x2－1，1－x2}，则y的图象为图中的( )
10.如图，坐标平面内有一透明片，透明片上有一拋物线及一点P，且拋物线为二次函数y＝x2的图象，点P的坐标为(2，4)．若将此透明片向右、向上移动后，得拋物线的顶点坐标为(7，2)，则此时点P的坐标为( )
A．(9，4)
B．(9，6)
C．(10，4)
D．(10，6)
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长度为________．
12．若max[x，y]表示x，y两个数中的较大值，例如max[－1，0]＝0，max[3，3]＝3，max[5，12]＝12，则关于x的函数y＝max[x2－1，x2＋1]可表示为____________．
13．如图，将二次函数y＝x2－4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新图象(图中的实线)．根据新图象回答问题：
(1)当x＝________时，函数y有最小值；
(2)当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______________；
(3)当a＜4时，探究一次函数y＝2x＋a的图象与新图象公共点的个数情况．
14．已知抛物线y＝ax2经过点(2，－8)．
(1)将上述抛物线向下平移3个单位长度，求所得抛物线的解析式；
(2)若A为抛物线y＝ax2上一点，直线AB⊥x轴，AB＝5，沿y轴平移抛物线y＝ax2，使之过点B，求平移后所得抛物线的解析式．
15．如图，抛物线y＝ax2＋4经过x轴上的一点A(－2，0)，抛物线的顶点为C，P是抛物线上的一动点(不与点A，B重合)．过点P作x轴的垂线，垂足为M.若△AMC为等腰三角形，求点P的坐标．
答案
1．B 2．D 3．C
4．D 5．A 6
.D
7．A 8．C 9．A 10．B
11．6
12．y＝x2＋1 .
13．解：(1)∵由函数图象可知，当x＝－2或2时，y有最小值，为0，
∴当x＝－2或2时，函数y有最小值．
(2)∵由函数图象可知当－2＜x＜0或x＞2时，y随x的增大而增大，
∴x的取值范围是－2＜x＜0或x＞2.
(3)当a＜－4时，一次函数y＝2x＋a的图象与新图象没有公共点；当a＝－4时，一次函数
y＝2x＋a的图象与新图象有1个公共点；当－4＜a＜4时，一次函数y＝2x＋a的图象与新图象有2个公共点．
14．解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(2，－8)，
∴－8＝4a，解得a＝－2，
故抛物线的解析式为y＝－2x2，
则抛物线y＝－2x2向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝－2x2－3.
(2)根据题意可得出：图象相当于向上或向下平移5个单位长度，
故平移后所得抛物线的解析式为y＝－2x2＋5或y＝－2x2－5.
15．解：∵抛物线y＝ax2＋4经过x轴上的一点A(－2，0)，∴4a＋4＝0，解得a＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4.
令x＝0，则y＝4，∴点C的坐标为(0，4)，
∴OC＝4.
由勾股定理，易得AC＝2
.
①当AC＝AM时，点M的横坐标为2
－2或－2
－2.
∵PM⊥x轴，
∴点P的纵坐标为－(2
－2)2＋4＝－20＋8
或－(－2
－2)2＋4＝－20－8
，
∴点P的坐标为(2
－2，－20＋8
)或(－2
－2，－20－8
)．
②当AC＝CM时，OA＝OM，此时点B，M重合，不符合题意．
③当AM＝CM时，设M(m，0)，
∴(m＋2)2＝42＋m2，解得m＝3，
∴点M的横坐标为3.
∵PM⊥x轴，
∴点P的纵坐标为－32＋4＝－5，
∴点P的坐标为(3，－5)．
综上所述，点P的坐标为(2
－2，－20＋8
)或(－2
－2，－20－8
)或(3，－5)．22.1.3 第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
1．二次函数y＝2(x＋1)2的大致图象是图中的( )
2．关于抛物线y＝2(x＋3)2，以下说法正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝－3
C．顶点坐标是(0，0)
D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
3．下列抛物线中，对称轴为直线x＝的是( )
A．y＝x2
B．y＝x2＋1
C．y＝(x＋)2
D．y＝(x－)2
4．抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标和对称轴分别是( )
A．(－1，0)，直线x＝－1
B．(1，0)，直线x＝1
C．(0，1)，直线x＝1
D．(0，1)，直线x＝0
5．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x－3)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移3个单位长度
B．向右平移3个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向下平移3个单位长度
6．顶点是(－3，0)，开口方向、形状与函数y＝x2的图象相同的抛物线为( )
A．y＝(x－3)2
B．y＝(x＋3)2
C．y＝－(x＋3)2
D．y＝－(x－3)2
7．把二次函数y＝－(x＋3)2的图象经过翻折、平移得到二次函数y＝(x－3)2的图象，下列对此过程描述正确的是( )
A．先沿y轴翻折，再向右平移6个单位长度
B．先沿y轴翻折，再向左平移6个单位长度
C．先沿x轴翻折，再向左平移6个单位长度
D．先沿x轴翻折，再向右平移6个单位长度
8．若A(－，y1)，B(－，y2)，C(，y3)为二次函数y＝(x－2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为____________．
9．已知抛物线y＝a(x－h)2的顶点坐标为(－4，0)，且经过点(2，1)，则代数式4a＋2h的值为________．
10．若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2(x－h)2的图象，则
h＝________.
11．已知二次函数y＝a(x－h)2，当x＝2时，函数有最大值，则当x为何值时，y随x的增大而减小？
12．有一个二次函数y＝a(x－k)2的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：开口向上；
乙：对称轴是直线x＝2；
丙：与y轴的交点到原点的距离为2.
请你写出满足上述全部特点的二次函数的解析式．
13．如图，抛物线y＝a(x－4)2上的点A，B与x轴上的点D(3，0)，C(7，0)构成平行四边形，直线AB与y轴交于点E(0，8)．求常数a的值及点A，B的坐标．
14．已知二次函数y＝a(x＋m)2的图象的顶点坐标为(－1，0)，且过点A(－2，－)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点B(2，－2)在这个函数的图象上吗？
(3)你能通过左右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案．
15．设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．
(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一平面直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；
(2)根据图象，写出你发现的一条结论；
(3)将函数y2的图象向左平移4个单位长度，得到函数y3的图象，求当x＝5时，函数y3的值．
16．如图，抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位长度得到抛物线y2，回答下列问题：
(1)抛物线y2的顶点坐标是什么？
(2)阴影部分的面积S＝________；
(3)若再将抛物线y2沿x轴翻折得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．
答案
1．B 2.B 3.D 4.A
5．B
6．B
7．D
8．y1＞y2＞y3
9．－7 .
10．－2
11．解：∵二次函数y＝a(x－h)2有最大值，∴该函数图象的开口方向向下．又∵当x＝2时，函数有最大值，∴函数图象的对称轴是直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小．
12．解：∵二次函数y＝a(x－k)2的图象开口向上，∴a＞0.
∵对称轴为直线x＝2，∴k＝2，
∴二次函数y＝a(x－k)2的解析式为y＝a(x－2)2.
∵与y轴的交点到原点的距离为2，
∴与y轴交于点(0，2)或(0，－2)．把(0，2)代入y＝a(x－2)2得2＝4a，∴a＝；把(0，－2)代入y＝a(x－2)2得－2＝4a，∴a＝－(舍去)，∴二次函数的解析式为y＝(x－2)2.
13．解：∵D(3，0)，C(7，0)，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4.
∵抛物线y＝a(x－4)2的顶点坐标为(4，0)，
直线AB与y轴交于点E(0，8)，
∴A(2，8)，B(6，8)．
∵点A(2，8)在抛物线y＝a(x－4)2上，
∴8＝a×(2－4)2，∴a＝2.
14．解：(1)∵二次函数y＝a(x＋m)2的图象的顶点坐标为(－1，0)，
∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2.
把A(－2，－)代入，得a＝－，
则二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2.
(2)把x＝2代入y＝－(x＋1)2，得y＝－≠－2，
∴点B(2，－2)不在这个函数的图象上．
(3)能．根据题意，设平移后的二次函数的解析式为y＝－(x＋1＋m)2，把B(2，－2)代入，得－2＝－(2＋1＋m)2，解得m＝－1或m＝－5，
∴将原函数图象向右平移1个单位长度或5个单位长度，即可过点B.
15．解：(1)如图：
(2)函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)的图象始终经过点(1，0)．(答案不唯一)
(3)∵y2＝(x－1)2，
∴将函数y2的图象向左平移4个单位长度，得到函数y3的图象，则函数y3的解析式为
y3＝(x＋3)2.当x＝5时，y3＝64.
16．解：(1)抛物线y2的顶点坐标为(1，2)．
(2)2
(3)抛物线y1＝－x2＋2向右平移1个单位长度得到抛物线y2＝－(x－1)2＋2.因为点(1，2)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2)，所以将抛物线y2＝－(x－1)2＋2沿x轴翻折得到抛物线y3＝(x－1)2－2.
