陕西省商洛市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题（ Word版含答案）

1187450012509500商洛市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测
高二数学试卷（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．在复平面内，复数false对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．false的展开式中含false项的系数是（ ）
A．40 B．false C．80 D．false
4．已知双曲线的方程为false，其离心率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知向量false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．设各项均不相等的等比数列false的前n项和是false，若false，则false（ ）
A．27 B．false C．false D．36
7．高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为（ ）
A．15，43 B．15，42 C．14，42 D．14，43
8．已知抛物线false的焦点为F，点false在抛物线E上，若false，则false（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，在三棱柱false中，false平面false，四边形false为正方形，false为false的中点，则异面直线false与false所成角的余弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知函数false是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．在四棱锥false中，false，false，false，false，false，false，则三棱锥false外接球的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．等差数列false中，false，则false______．
14．函数false的图象的对称中心是______．
15．已知函数false是偶函数，且当false时，false，则false______．
16．函数false的最小值为_____．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在false中，角false所对的边分别为false．已知false．
（1）求A；
（2）若false，求false的面积．
18．（12分）
在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了一个抽奖环节，其规则如下：一个不透明的箱子中装有形状大小相同的两个红色和四个绿色的小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，一名优秀员工仅有一次抽奖机会．若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元．
（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；
（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额X的分布列和数学期望．
19．（12分）
如图，在多面体false中，平面false平面false，四边形false为矩形，E，F是以false为直径的半圆圆弧的两个三等分点，false．
（1）证明：平面false平面false．
（2）求二面角false的余弦值．
20．（12分）
如图，O为坐标原点，椭圆false的右顶点和上顶点分别为false，false，false的面积为1．
（1）求C的方程；
（2）若M，N是椭圆C上的两点，且false，记直线false的斜率分别为false，证明：false为定值．
21．（12分）
已知函数false．
（1）若false有三个不同的零点，求a的取值范围；
（2）当false时，不等式false恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系false中，曲线C的参数方程为false（false为参数），直线l的参数方程为false（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为false．
（1）求直线l与曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，求false的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数false．
（1）求不等式false的解集；
（2）若对false，不等式false恒成立，求a的取值范围．
商洛市2019~2020学年度第二学期期末教学质量检测
高二数学试卷参考答案（理科）
1．A 因为false，所以false．
2．B 因为false，所以复数false对应的点位于第二象限．
3．C false展开式的通项为false．令false，得false，则false，故false的展开式中含false项的系数是80．
4．D 由题意得双曲线的false，离心率false．
5．D 由题意可得false．因为false，所以false，解得false．
6．C 由已知得，公比false，所以false，知false，所以false或false，又等比数列false各项均不相等，所以false，所以false．
7．B 因为false，所以另两人的编号分别为false和false．
8．A 由题意可得false，解得false．
9．A 如图，过点D作false交false于点F，连接false，则false为异面直线false与false所成的角．由题意知false，false，false．故false．
10．C false，false，此时输出S，即判断框内可填入的条件是“false”．
11．B 由题意可得false解得false．
12．D 如图，取false的两个三等分点false，连接false，连接false，false．由题意可得false，则false是false的外接圆的圆心．因为false，所以false平面false，且false．设O为三棱锥false外接球的球心，连接false，过O作false，垂足为F，则外接球的半径R满足false，设false，则false，解得false，从而false，故三棱锥false外接球的表面积为false．
13．135 由已知得false，所以false，所以公差false，所以false．
14．false 令false，解得false，则false的图象的对称中心是false．
15．5 由题意可得false．
16．false 因为false，所以false在false上单调递减，在false上单调递增，故false．
17．解：（1）因为false，所以false， 1分
所以false，
所以false． 3分
因为false，所以false，
所以false． 4分
因为false，所以false，所以false， 5分
所以false，则false． 6分
（2）由余弦定理可得false， 7分
因为false，所以false， 8分
即false，解得false或false（舍去）． 10分
故false的面积为false． 12分
18．解：（1）记“小张获得2000元”为事件A，
取出两个小球共有false种情况， 2分
其中两个小球均为红色共有false种情况， 3分
所以false． 4分
（2）记“一名员工中奖1000元”为事件B，“一名员工不中奖”为事件C，
则false．
由题知，X所有可能的取值为0，1000，2000，3000，4000，
则false； 5分
false； 6分
false； 7分
false； 8分
false． 9分
随机变量X的分布列为
X
0
1000
2000
3000
4000
P
false
false
false
false
false
10分
故false． 12分
19．（1）证明：因为四边形false为矩形，所以false．
因为平面false平面false，平面false平面false，所以false平面false． 1分
因为false平面false，所以false． 2分
因为F是以false为直径的半圆圆弧上的一个三等分点，
所以false，即false． 3分
因为false，且false平面false平面false，所以false平面false. 4分
因为false平面false，所以平面false平面false． 5分
（2）解：以F为原点，false的方向分别为x，y轴的正方向，过点F作垂直平面false的直线，以向上的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系false．
因为false，所以false， 6分
则false，
故false． 8分
设平面false的法向量为false，
则false令false，得false． 9分
同理可求平面false的法向量为false． 10分
设二面角false为false，由图可知false为锐角，则false． 12分
20．（1）解：由题意知false 2分
由于false，解得false，故C的方程为false． 4分
（2）证明：由（1）得false，直线false的斜率为false．
（方法一）因为false，故可设false的方程为false．设false，
联立false消去y，得false， 6分
所以false，从而false． 7分
直线false的斜率false，直线false的斜率，false， 8分
所以false
false
false
false． 11分
故false为定值． 12分
（方法二）设false，则false． 6分
因为false，所以false的方程为false.. 7分
联立false消去y，得false， 8分
解得false（舍去）或false． 9分
所以点N的坐标为false， 10分
则false，即false为定值false． 12分
21．解：（1）令false，则false．
设false，则false， 1分
令false，得false；令false，得false或false，
则false在false和false上单调递减，在false上单调递增， 2分
故false． 4分
结合false的图象（图略）可知a的取值范围为false． 5分
（2）不等式false，即false，整理得false． 6分
设false，则false．因为false，所以false， 7分
所以false，则false． 8分
设false，则false． 9分
因为false，所以false，所以false， 10分
所以false在false上单调递减，所以false， 11分
故false，即a的取值范围是false． 12分
22．解：（1）因为直线l的参数方程为false（t为参数），
所以直线l的普通方程为false． 2分
因为曲线C的参数方程为false（false为参数），
所以曲线C的普通方程为false． 4分
（2）因为点M的极坐标为false，所以M的直角坐标为false，则点M在直线l上． 5分
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得false， 7分
则false， 8分
故false． 10分
23．解：（1）false 1分
false等价于false或false或false 2分
解得false或false或false． 4分
故不等式false的解集为． 5分
（2）因为false，所以false， 6分
则false对false恒成立等价于false对false恒成立， 7分
即false对false恒成立， 8分
则false 9分
因为false，所以false，即a的取值范围为false． 10分