11.1.2
三角形的高、中线与角平分线学情评价
一、选择题
1.
△ABC的角平分线AD是( )
A.
射线AD
B.
射线DA
C.
直线AD
D.
线段AD
2．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，若△ABC的面积是18，则△ABC的面积是
A．9
B．6
C．
D．4
3．如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（
）
A．30°
B．60°
C．90°
D．45°
4.
小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )
A
B
C
D
5．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AC,AB的中点,BD,CE相交于点O,连接O在AO上取一点F,使得OF=AF若S△ABC
=12,则四边形OCDF的面积为（
）
A．2
B．
C．3
D．
6．已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（
）
A．2cm
B．7cm
C．5cm
D．6cm
7．如图，△ABC的平分线AD与中线BE交于点O，有下列结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线，下列说法正确的是(
)
A．①②都正确
B．①不正确，②正确
C．①②都不正确
D．①正确，②不正确
二、填空题
8．如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=________．
9.
如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有
个.
10．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，Q是射线OM上的一个动点，若P、Q两点距离最小为8，则PA＝____．
11．如图所示，D
是
BC
的中点，E
是
AC
的中点，若
S△ADE＝1，则
S△ABC＝__________
三、解答题
12．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1)
若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C
＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.
13.
如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，S△ABC＝24cm2，求S△ABE.
14．（1）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AD⊥l于点D，作BE⊥l于点E.求证：DE=AD+BE.
（2）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°.用尺规作图法作出△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）若AB=10，CD=3，求△ABD的面积.
15.
有一块肥沃的三角形土地ABC，其中一边与灌渠相邻，如图，政府要将这块地按人口数分给甲、乙、丙三家，若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案.
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，已知AB＝6，AD＝5，BC＝4，求CE的长．
答案
1.
D
2．
C
3．
D
4.
C
5．
B
6．
D
7．
D
8．
3
9.
6
10．
8
11．
4
12．
解：(1)在△ABC中,∵∠B=50°,∠C=60°,
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°.
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=35°.
又∵AE是BC上的高,
∴∠AEC=90°.
在△CAE中,∠CAE=90°-∠C=90°-60°=30°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°.
（2）∠
DAE
=(∠C-∠B).
证明如下：
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=90°-∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠DAC=(180°-∠B-∠C)
，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC
=(180°-∠B-∠C)
-
(90°-∠C)
=(∠C-∠B)
13.
解：由D，E分别是BC，AD的中点，且等底同高的三角形面积相等，得S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×24＝12(cm2).同理，S△ABE＝S△DBE＝S△ABD＝×12＝6(cm2).
14．
解：（1）证明：∵∠ACB=90?
∴∠ACD+∠BCE=90?
∵
AD⊥l
∴∠ACD+∠CAD=90?
∴∠CAD=∠BCE
∵BE⊥l，AD⊥l
∴∠ADC=∠BEC=90?
∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE
∴AD=CE，CD=BE
∵DE=
CD+
CE，∴DE=AD+BE．
（2）如图所示，
（3）解：过点D作DE⊥AB于E
∵DC⊥AC，DE⊥AB
∴DE=DC=3
∴S△ABD=?AB?DE=×10×3=15．
15.
解：因为人口数分别为3，3，6，且3＋3＝6，所以先找△ABC的边BC上的中线AD，AD将△ABC分成面积相等的两部分：△ABD和△ADC.若将△ADC分给丙家，则将△ABD分给甲、乙两家，由于甲、乙两家人口数相等，因此找△ABD的边BD上的中线AE，AE将△ABD分成面积相等的两部分：△ABE和△AED，可将△ABE分给甲家，△AED分给乙家.如图所示.
16．
解∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴S△ABC＝BC?AD＝AB?CE，
即×4×5＝×6?CE，
解得CE＝．11.1.2
三角形的高、中线与角平分线基础练习
一、选择题
1．已知AD，BE分别是△ABC的两条中线，若△ABC的面积为10，则△BCE的面积为
A．5
B．10
C．15
D．20
2．如图，在中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（
）
A．6
B．12
C．24
D．30
3．下列四个图形中，线段是的高的是（
）
A．
B．
C．
D．
4.
下列说法不正确的是( )
A.
三角形的中线在三角形的内部
B.
三角形的角平分线在三角形的内部
C.
三角形的高在三角形的内部
D.
三角形必有一高线在三角形的内部
5．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（
）
A．18m
B．24m
C．28m
D．30m
6．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为(
)
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
7.
如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为( )
A.
9
B.
8
C.
7
D.
6
二、填空题
8．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____．
9.
如图，AD为△ABC的中线，AE⊥BC，若BC＝4cm，AB＝3cm，AE＝2cm，则点D到直线AB的距离为
.
10．如图，若BD＝DE＝EC，则AD是△______的中线，AE是△_______的中线．
11．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝_____．
三、解答题
12．如图，点D与点E分别是△ABC的边长BC、AC的中点，△ABC的面积是20cm.
（1）求△ABD与△BEC的面积；
（2）△AOE与△BOD的面积相等吗？为什么？
13.
如图所示，△ABC的高AD，BE，CF相交于点H，过F作FG⊥AC交AC于点G，请说出△ABH，△BCH，△ACH，△ACF中各边上的高.
14．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（0，b）在y轴上，点
C（m，b）是第四象限内一点，且满足，△ABC的面积是56；AC交x轴于点D，E是y轴负半轴上的一个动点.
(1)求C点坐标；
(2)如图2，连接DE，若DEAC于D点，EF为∠AED的平分线，交x轴于H点，且∠DFE＝90°，求证：FD平分∠ADO；
(3)如图3，E在y轴负半轴上运动时，连EC，点P为AC延长线上一点，EM平分
∠AEC，且PM⊥EM于M点，PN⊥x轴于N点，PQ平分∠APN，交x轴于Q点，则E在运动过程中，的大小是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由.
15.
如图所示，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，试分别画出△ABC三条边的中线，然后探究三条中线的位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么？
16．如图所示，已知△ABC：①过A画出中线AD；②画出角平分线CE；③作AC边上的高BF
17．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，
（1）求CD的长；
（2）若AE是BC边上的中线，求△ABE的面积．
答案
1．
B
2．
A
3．
D
4.
C
5．
C
6．
B
7.
A
8．
40°
9.
cm
10．
ABE；
ABC.
11．
2
12．
解：（1）可设点A到边BC的高为h，
则S△ABD=BD·h，S△ACD=CD·h，
∵点D是BC边的中点，
∴BD=CD.
∴S△ABD=S△ACD，
同理S△ABE=S△BCE，
∴S△ABD=S△BCE=S△ABC=×20=10（cm2）.
（2）△AOE与△BOD的面积相等，理由如下.
根据（1）可得：S△ABE=S△ABD，
∵S△ABE=S△ABO+S△AOE，S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴S△AOE=S△BOD.
13.
解：在△ABH中，HF是AB边上的高，AE是BH边上的高，BD是AH边上的高；在△BCH中，HD是BC边上的高，CE是BH边上的高，BF是CH边上的高；在△ACH中，HE是AC边上的高，CD是AH边上的高，AF是CH边上的高；在△ACF中，FG是AC边上的高，CF是AF边上的高，AF是CF边上的高.
14．
解：（1）∵
∴a-8=0，b+6=0，
解得a=8，b=-6，
∴A（3，0）、B（0，-4）．
∴OA=8，OB=6，AB=14．
∵S△ABC=×BC×AB=
×BC×14=56，
解得：
BC=8，
∵C在第四象限，BC⊥y轴，
∴C（8，-6）；
（2）∵EF为∠AED的平分线，∠DFE＝90°，DEAC
∴∠AEF＝∠DEF＝90°－∠FDE＝∠ADF
∠AEF＝90°－∠OHE＝90°－∠DHF＝∠ODF
∴∠ADF＝∠ODF，即FD平分∠ADO；
（3）设∠AEM＝∠CEM＝，设∠APQ＝∠NPQ＝，
∵PN∥AE
由“M形”易得：（∠MPQ+∠NPQ）+∠AEM＝∠M＝90°，
即∠MPQ＝90°－（+），∠CPN+∠CEA＝∠ECP＝180－∠ECA
，
即∠ECA＝180－2（+）
∴
15.
解：如图所示，由图中的信息可知：①三角形ABC的三条中线相交于一点；②三条中线交点到对边中点的距离等于它到对应顶点距离的一半.
16．
解
如图所示：
17．
解：(1)∵CD是AB边上的高，
∴△ABC的面积=AC?BC=AB?CD，
∴CD==cm；
(2)∵△ABC的面积=AC?BC=×5×12=30cm2，
∵AE是BC边上的中线，
∴△ABE的面积=
S△ABC=15cm2．
