人教版 九年级上册数学讲义： 第二十四章圆的综合应用（Word版 含解析）

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第14讲 圆的综合应用
0329565
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要复习与圆有关的性质、定理及其推论，着重复习圆心角、弧、弦的关系，理解圆周角与圆心角的关系，作为圆的重点内容之一，垂径定理及其推论以及与圆有关的位置关系需要重点掌握，最后复习切线的性质与判定以及多边形与圆的关系。圆作为中考的重点难点内容之一，需要各位同学认真学习，扎实基础，务必对圆的性质、定理及其推论有着比较清晰的理解。

0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
-43815173355圆心角、弧、弦的关系

圆心角、弧、弦的关系


-3429045720定理
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧；
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②所对的弧相等；③所对的弦相等；三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
定理
在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧；
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等；②所对的弧相等；③所对的弦相等；三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。














-571545720圆周角定理

圆周角定理

3810118110（1）定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
（2）推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；（3）注意
①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化；
②圆周角和圆周角的转化可 利用其“桥梁”——圆心角转化；
③定理成立的条件是“同一条弧所对的” 两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角 与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。
（1）定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；
（2）推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；（3）注意
①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化；
②圆周角和圆周角的转化可 利用其“桥梁”——圆心角转化；
③定理成立的条件是“同一条弧所对的” 两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角 与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。

















1333553340垂径定理及其推论
垂径定理及其推论

22860118110 （1）垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论
①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
②如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；③如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；
④如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
⑤如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
（1）垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论
①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
②如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；③如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；
④如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
⑤如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。



















2286030480与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系

41910100965（1）点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有3种，判断点和圆的位置关系：
①点P在圆外?d＞r
②点P在圆上?d=r
①点P在圆内?d＜r
（2）直线与圆的位置关系
直线和圆的位置关系有3种，判断直线和圆的位置关系：
①直线l和⊙O相交?d＜r
②直线l和⊙O相切?d=r
③直线l和⊙O相离?d＞r
（3）圆与圆的位置关系
圆和圆的位置关系有5种，判断圆和圆的位置关系：
①两圆外离?d＞R+r；
②两圆外切?d=R+r；
③两圆相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切?d=R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含?d＜R﹣r（R＞r）．

　　 　　　　　　　　　　　　
（1）点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有3种，判断点和圆的位置关系：
①点P在圆外?d＞r
②点P在圆上?d=r
①点P在圆内?d＜r
（2）直线与圆的位置关系
直线和圆的位置关系有3种，判断直线和圆的位置关系：
①直线l和⊙O相交?d＜r
②直线l和⊙O相切?d=r
③直线l和⊙O相离?d＞r
（3）圆与圆的位置关系
圆和圆的位置关系有5种，判断圆和圆的位置关系：
①两圆外离?d＞R+r；
②两圆外切?d=R+r；
③两圆相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切?d=R﹣r（R＞r）；
⑤两圆内含?d＜R﹣r（R＞r）．

　　 　　　　　　　　　　　　


























41910180975切线的性质与判定
切线的性质与判定


4254545720（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径；
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
①无交点，作垂线段，证半径；
②有交点，作半径，证垂直
　　 　　　　　　　　　　　　
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径；
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
①无交点，作垂线段，证半径；
②有交点，作半径，证垂直
　　 　　　　　　　　　　　　











1333522860正多边形与圆
正多边形与圆

1333583820（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
（3）正多边形的有关计算公式
①多边形内角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n为整数）
②多边形的外角和等于360°
③正多边形内角等于false
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
（3）正多边形的有关计算公式
①多边形内角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n为整数）
②多边形的外角和等于360°
③正多边形内角等于false
















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0169545
课堂精讲精练

【例题1】
4486275426720如图，已知⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE=BE，那么弦CD所对的圆心角是　　度。
【答案】120
【解析】此题考查圆心角、弧、弦的关系，
连接OC，BC，OD，
4400550268605∵直径AB平分弦CD，OE=BE，
∴OC=BC=OB，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
即弦CD所对的圆心角是120°
讲解用时：3分钟
解题思路：连接OC，BC，OD，利用等边三角形的判定得出△OCB是等边三角形，进而得出∠COB=60°，进而解答即可
教学建议：关键是根据等边三角形的判定得出△OCB是等边三角形。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：静安区二模
440055081280A
B
C
O
A
B
C
O
【练习1】
如图，在△ABC中，∠A=70°，圆O截△ABC的三边所得的弦长都相等，求∠BOC的度数。
【答案】125°
【解析】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理、角平分线的逆定理及三角形的内角和，
作OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥AC，
3905250216535A
B
C
O
E
F
G
A
B
C
O
E
F
G
∵false截△ABC的三边所得的弦长都相等，
∴OE=OF=OG，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，
∴∠OBC+∠OCB=false（∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BOC=180°-55°=125°．
讲解用时：5分钟
解题思路：作OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥AC，则OE=OF=OG，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-false（∠ABC+∠ACB）=180°-false=125°．
教学建议：注意根据题意作出图形是关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：无

【例题2】
4248150569595如图，在⊙O中，OA⊥BC于E，∠AOB=50°，则∠ADC的大小是（　　）。
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【解析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，
连接OB，
∵OA⊥BC于E，
451485059055∴，∴∠ADC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，∴∠ADC=25°．
故选：A．
讲解用时：3分钟
解题思路：首先连接OB，根据题意即可推出∠ADC=∠AOB，即可求出∠ADC的大小。
教学建议：本题关键在于求证。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：高碑店市一模
【练习2】
如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠OBC的度数为　 。
476250040005【答案】40°
【解析】本题考查了圆周角定理、垂径定理，
∵OA⊥BC，∴=，
∴∠AOB=2∠CDA=2×25°=50°，
∴∠OBC=90°﹣50°=40°．
讲解用时：2分钟
解题思路：先根据垂径定理由OA⊥BC得到=，再根据圆周角定理得∠AOB=2∠CDA=50°，然后利用互余求∠OBC的度数。
教学建议：本题关键在于求证。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：天心区校级模拟


【例题3】
4648200440055如图，⊙O中，直径CD=10cm，弦AB⊥CD于点M，OM：MD=3：2，则AB的长是（　　）。
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】D
【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，
连接OA，如图所示：
3981450219075∵AB⊥CD，
∴∠OMA=90°，AM=BM=AB，
∵CD=10cm，OM：MD=3：2，
∴OA=OD=5cm，OM=3cm，
∴AM===4（cm），
∴AB=2AM=8cm．
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：连接OA，由垂径定理得出AM=BM=AB，由已知条件得出OA=OD=5cm，OM=3cm，由勾股定理求出AM，即可得出结果。
教学建议：熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AM是解决问题的突破口。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：秦淮区期末 秋

【练习3】
4552950417195如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，CM：MD=9：4，则⊙O的半径为（　　）
A．6.5 B．10 C．13 D．
【答案】A
【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，
连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴AM=AB=6，
∵CM：MD=9：4，∴设CM=9x，DM=4x，
∴OA=OD=6.5x，∴OM=2.5x，
在Rt△AOM中，∵OA2=AM2+OM2，
∴（6.5x）2=62+（2.5）2，解得x=1或﹣1（舍弃），
∴⊙O的半径为6.5，
故选：A．
讲解用时：3分钟
解题思路：接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设CM=9x，DM=4x，得到OA=OD=6.5x，根据勾股定理求出x即可。
教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：北仑区期末 秋


【例题4】
4800600508635如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC的大小是（　　）。
A．70° B．40° C．50° D．20°
【答案】D
【解析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和定理，
连接BC，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
42386255715∴∠OAP=∠OBP=90°；
而∠P=40°（已知），
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
∴∠BOC=40°，
∴∠BAC=∠BOC=20°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：连接BC，OB，四边形内角和定理和切线的性质求得圆心角∠AOB=140°，进而求得∠BOC的度数；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”可以求得∠BAC=∠BOC。
教学建议：见切线，连交点，作垂直。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：重庆模拟

464820042545【练习4】
如图所示，PM切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点E为圆上一点，若BE∥AO，∠EAO=30°，若⊙O的半径为1，则AP的长为　　。
【答案】
【解析】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及勾股定理等知识点，
∵BE∥AO，∠EAO=30°，
∴∠E=∠OAE=30°，
∴∠AOP=2∠E=60°，
∵PM切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，PO=2，
∴由勾股定理得AP=
讲解用时：4分钟
解题思路：根据平行线性质求出∠E，根据圆周角定理求出∠AOP=60°，然后求解30°特殊角的直角三角形即可。
教学建议：求出∠AOP=60°和∠PAO=90°是解此题的关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：鞍山一模

【例题5】
4210050438150如图，⊙O的内接正六边形的面积为6cm2，则⊙O的周长为（　　）
A．πcm B．B2πcm C．4πcm D．8πcm
【答案】C
【解析】此题主要考查了正六边形的性质以及等边三角形的性质，
连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于点E，
∵⊙O的内接正六边形的面积为6cm2，
∴等边△AOB的面积为：，
4733925144780∵OE⊥AB，
∴AE=BE，∠BOE=30°，
设BE=x，则BO=2x，EO=x，
故×x×2x=，解得：x=1，
则BO=2cm，
故⊙O的周长为2π×2=4π（cm）．
故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：直接利用正六边形的性质进而利用等边三角形的性质得出答案。
教学建议：正确得出△AOB是等边三角形是解题关键。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：贵阳模拟

【练习5】
4892675196215如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（　　）。
A．4 B．2 C．false D．false
【答案】A
【解析】本题考查了正多边形面积、勾股定理、垂径定理与直角三角形的性质，
过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，
4076700198120设OM=1，则OD=ON=2，
∵∠ODM=∠OBN=30°，
∴OB=4，DM=false，DE=2false，BN=2false，BC=4false，
∴S△ABC=false×4false×6=12false，
∴S△DEF=false×2false×3=3false，
∴=false，故选：A．
讲解用时：8分钟
解题思路：过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，再求得DE，BC的长，根据三角形的面积公式即可得出△DEF和△ABC的面积。
教学建议：明确边心距半径边长的一半正好组成直角三角形是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：河北模拟
4505325260985
【例题6】
如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB。
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长。
【答案】
（1）证明：连接OE，OC；如图所示：
∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°，
在△OBC和△OEC中，，
∴△OBC≌△OEC（SSS），
∴∠OBC=∠OEC=90°，
∴BC为⊙O的切线；
（2）CE=4
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及切线的判定与性质，
（1）证明：连接OE，OC；如图所示：
∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC=90°，
在△OBC和△OEC中，，
∴△OBC≌△OEC（SSS），
∴∠OBC=∠OEC=90°，
∴BC为⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于F；如图所示：设CE=x
∵CE，CB为⊙O切线，∴CB=CE=x，
4219575123825∵DE，DA为⊙O切线，
∴DE=DA=1，∴DC=x+1，
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°，
∴四边形ADFB为矩形，
∴DF=AB=4 BF=AD=1，∴FC=x﹣1，
在Rt△CDF中，根据勾股定理得：
（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，解得：x=4，
∴CE=4．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）由切线得出∠OEC=90°，证明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，证出BC为⊙O的切线；（2）作辅助线求出DF=AB=4，BF=AD=1，设CE=x，Rt△CDF中，根据勾股定理得：（x+1）2﹣（x﹣1）2=16，得出x=4即可。
教学建议：根据切线的性质利用勾股定理计算是解决问题的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：锡山区校级一模

【练习6】
4143375586740已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF。
（1）求证：OF⊥CE
（2）求证：EF是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长。
【答案】
（1）连接CE，
∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，∴OF⊥CE
（2）∵OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，即：∠OCE+∠FCE=90°，
∴∠OEC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；
（3）AD=3
【解析】本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，
证明：（1）如图，连接CE，
∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，∴OF⊥CE
（2）∵OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠0CE，
415290038100∵∠ACB=90°，即：∠OCE+∠FCE=90°，
∴∠OEC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；
（3）如图，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=3，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD=3，AC=6，
∴AD=3．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF∥AB，得出OF⊥CE；（2）得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论；（3）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果。
教学建议：熟练掌握定理是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：黄冈模拟

【例题7】
4236085411480如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点D为的中点，过点D作EF∥BC，EF交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F。
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OG⊥AD，BG平分∠ABC，试判断：①△BDG的形状；②线段AD与BD的数量关系，并说明理由。
【答案】
（1）证明：连接OD．
∵=，∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线．
（2）①△BDG是等腰直角三角形；②AD=2BD
【解析】本题考查切线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理等知识，
（1）证明：连接OD．
3838575236220∵=，∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：①△BDG是等腰直角三角形；
理由：∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵=，
∴GA平分∠BAC，GB平分∠ABC，
∴∠GAB+∠GBA=45°，
∴∠BGD=45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
40481259525②结论：AD=2BD．
理由：∵OG⊥AD，
∴AG=GD，
∵△BDG是等腰直角三角形，
∴DG=DB，∴AD=2BD．
讲解用时：12分钟
解题思路：（1）欲证明EF的切线，只要证明OD⊥EF；（2）①△BDG是等腰直角三角形；②线段AD=2BD；只要证明∠BGD=45°，∠BDG=90°即可解决问题。
教学建议：解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：泸县模拟

【练习7】
4676775567690如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD=OC。
（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；
（2）探究：
①当∠B=　30　°时，四边形OCAD是菱形；
②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由。
【答案】
（1）∵OA=OC，AD=OC，∴OA=AD，
∴∠OAC=∠OCA，∠AOD=∠ADO，
∵OD∥AC，∴∠OAC=∠AOD，
∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO，
∴∠AOC=∠OAD，∴OC∥AD，
∴四边形OCAD是平行四边形；
（2）①∠B=30°；②∠B=45°
【解析】本题考查了切线的性质、菱形的性质、平行四边形的判定、圆周角定理，
（1）∵OA=OC，AD=OC，∴OA=AD，
∴∠OAC=∠OCA，∠AOD=∠ADO，
∵OD∥AC，∴∠OAC=∠AOD，
∴∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO，
∴∠AOC=∠OAD，∴OC∥AD，
∴四边形OCAD是平行四边形；
（2）①∵四边形OCAD是菱形，∴OC=AC，
又∵OC=OA，∴OC=OA=AC，
∴∠AOC=60°，∴∠B=∠AOC=30°；
②∵AD与⊙O相切，∴∠OAD=90°，
∵AD∥OC，∴∠AOC=90°，
∴∠B=∠AOC=45°
讲解用时：12分钟
解题思路：（1）根据已知条件求得∠OAC=∠OCA=∠AOD=∠ADO，然后根据三角形内角和定理得出∠AOC=∠OAD，从而证得OC∥AD，即可证得结论；
（2）①若四边形OCAD是菱形，则AC=OC，从而证得OC=OA=AC，得出∠AOC=60°，即可求得∠B=∠AOC=30°；②若AD与⊙O相切，根据切线的性质得出∠OAD=90°，根据AD∥OC，内错角相等得出∠AOC=90°，从而求得∠B=∠AOC=45°。
教学建议：熟练掌握性质定理是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：内乡县一模
0201930
4905375198120课后作业
【作业1】
如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，CD交⊙O于点B，连接OB，若的度数为70°，则∠D的大小为（　　）
A．70° B．60° C．55° D．35°
【答案】C
【解析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及弧、圆心角、圆周角之间的关系，
∵AD是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，
∴AD⊥AC，即∠A=90°，
∵的度数为70°，∴∠AOB=70°，
∵∠C与∠AOB都对，
∴∠C=∠AOB=35°，
在Rt△ACD中，∠C=35°，∴∠D=55°，
故选：C．
讲解用时：4分钟
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：长春模拟

4495800156210【作业2】
如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA长。
【答案】 （cm）
【解析】此题主要考查了切线的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质，
连接OC，
3914775182880∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AC=BC=5，
在Rt△AOC中，
OA===（cm）
讲解用时：3分钟
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：顺德区模拟

【作业3】
439102532385如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE=　　。
【答案】6﹣
【解析】本题考查切线的性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，
如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
405765049530由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，
由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF=BH=x，ED=EM=8﹣x，FC=FM=8﹣2x，EF=16﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2=EH2+HF2，
∴42+x2=（16﹣3x）2，解得x=6﹣或6+（舍弃），
∴AE=6﹣
讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：成华区模拟