(共30张PPT)
12.3.1
两数和乘以这两数的差
数学华师版
八年级上
1、多项式乘以多项式的法则是？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分
别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2、多项式乘以多项式要注意什么？
a、两项相乘时，先定符号。
b、所得积的符号由这两项的符号来确定:
同号得正、异号得负。
c、最后的结果要合并同类项。
复习导入
复习导入
计算：
(1)(3x+9)(6x-8)=___________
(2)
(2x-3)(x+1)=__________
解：(1)原式=18x2-24x+54x-72
=18x2+30x-72；
(2)
原式=2x2+2x-3x-3
=
2x2-x-3
aa
(a+b)(a-b)
-bb
+ba
新知讲解
=
-ab
用多项式乘法法则计算:
(a+b)(a-b).
=
a2-b2
做一做
新知讲解
两数和与这两数差的乘法公式
（平方差公式）
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：
新知讲解
试一试
观察图12.
3.1，用等式表示下图中图形面积的运算:
=
_
b
a
b
a
___________
=
__________
-
_____
(a+b)(a-b)
a2
b2
图12.
3.1
b
新知讲解
例1
计算:
(1)
(a+3)(a-3)
;
(2)(2a+3b)(2a-3b)
;
(3)
(1+2c)(1-2c);
(4)
(-2x-y)(2x-y).
新知讲解
解:
(1)(a
+3)(a
-3)
=a2-32
=
a2
-9.
(2)
(2a
+
3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2
新知讲解
(3)
(1+2c)(1-2c)
=
12-(2c)2
=1-4c2.
(4)
(-2x
-y)(2x
-y)
=(-y-2x)(
-y
+2x)
=(-y)2-
(2x)
2
=
y
2
-4x
2
你还有其他
解法吗?
新知讲解
(4)
(-2x
-y)(2x
-y)
=-(2x+y)(2x-y
)
=-
[(2x)
2-
y2]
=
-(4x
2-y
2
)
=
y
2
-4x
2
新知讲解
变式
计算：
(1)(3x+2y)(2y-3x)；
(2)(-2m-3n)(2m-3n)；
(3)(a2+b2)(a2-b2)；
新知讲解
解：(1)(3x+2y)(2y-3x)
=(2y+3x)(2y-3x)，
=4y2-9x2；
(2)(-2m-3n)(2m-3n)
=(-3n-2m)(-3n+2m)，
=9n2-4m2；
(3)(a2+b2)(a2-b2)
=a4-b4
新知讲解
例2
计算
:
1998x2002.
解
1998x2002
=(2000-2)x(2000+2)
=
20002-22
=
4000000-4
=3999996.
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便!
新知讲解
例3
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2
米，东西向减少2米。改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
解
(a+2)(a-2)=a2-4.
答:改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
新知讲解
变式
如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长。
新知讲解
解：设原正方形的边长为a，
根据题意得：a2-(a-6)2=84，
即6(2a-6)=84，
解得：a=10，
则原正方形的边长为10．
平方差公式
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
条件：(1)二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论:
(1)
两项的平方差;
(2)
(完全相同项)2
-(互为相反项)2
新知讲解
课堂练习
1、下列整式的运算中：
?①(2m+n)(n-2m)
②(a2-4b)(4b-a2)
③(x+y)(-x-y)
④(3a+b)(-3a+b)
可以运用平方差公式计算的有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
课堂练习
解：①(2m+n)(n-2m)=n2-(2m)
2，能用平方差公式化简，
②(a2-4b)(4b-a2)
=-(a2-4b)
2，不能用平方差公式化简，
③(x+y)(-x-y)
=-(x+y)
2，不能用平方差公式化简，
④(3a+b)(-3a+b)=b2-(3a)
2，能用平方差公式化简，
则能用平方差公式计算的有2个．
课堂练习
2、用平方差公式进行计算：(1)103×97；
(2)1.02×0.98．
课堂练习
解：
(1)103×97
=(100+3)(100-3)
=1002-32
=10000-9
=9991
(2)
1.02×0.98
=(1+0.02)(1-0.02)
=1-0.022
=1-0.0004
=0.9996
拓展提高
3、【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______.(用含a，b的等式表示)
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
(1)已知4m2=12+n2，2m+n=4，则2m-n的值为__．
(2)计算：20192-2020×2018．
【拓展】
计算：1002-992+982-972+?+42-32+22-12
拓展提高
解：
【探究】图1中阴影部分面积a2-b2，
图2中阴影部分面积(a+b)(a-b)，
所以，得到乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
故答案为(a+b)(a-b)=a2-b2．
拓展提高
【应用】(1)由4m2=12+n2得，4m2-n2=12
∵(2m+n)?(2m-n)=4m2-n2
∴2m-n=3
(2)20192-2020×2018
=20192-
(2019+1)×(2019-1)
=20192-
(20192-1)
=20192-20192+1
=1
拓展提高
【拓展】
1002-992+982-972+?+42-32+22-12
=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+?+(4+3)×(4-3)+(2+1)×(2-1)
=100+99+98+97+?+4+3+2+1
=5050
课堂总结
平方差公式怎样表示？
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
条件：(1)二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论:
(1)
两项的平方差;
(2)
(完全相同项)2
-(互为相反项)2
板书设计
课题：12.3.1
两数和乘以这两数的差
?
教师板演区
?
学生展示区
一、两数和乘以这两
数的差
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P32练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P32练习第3题中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学八年级上12.3.1两数和乘以这两数的差导学案
课题
12.3.1两数和乘以这两数的差
单元
第12章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、掌握两数和乘以这两数的差的结构特征;
.
2、正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义.
重点
难点
重点:掌握两数和乘以这两数的差的结构特征;
.
难点:正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、下列整式乘法中，能运用平方差公式进行运算的是
A.
B.
C.
D.
2、计算：_______；
合
作
探
究
探究一：
用多项式乘法法则计算:
(a+b)(a-b).
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：
两数和与这两数的差的乘法公式
（平方差公式）
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
两数和与这两数的差的积等于这两数的平方差．
观察图12.
3.1，用等式表示下图中图形面积的运算:
探究二：
例1
计算:
(1)
(a+3)(a-3)
;
(2)
(2a+3b)(2a-3b)
;
(3)
(1+2c)(1-2c);
(4)
(-2x-y)(2x-y).
例2
计算
:
1998×2002.
探究三：
例3
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2
米，东西向减少2米。改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
平方差公式：
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
条件：
二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论:
(1)
两项的平方差;
(2)
(完全相同项)2
-(互为相反项)2
当
堂
检
测
下列整式的运算中：?
①(2m+n)(n-2m)
②(a2-4b)(4b-a2)
③(x+y)(-x-y)
④(3a+b)(-3a+b)
可以运用平方差公式计算的有(
)
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
用平方差公式进行计算：
(1)103×97；
(2)1.02×0.98．
3、
【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形如图2所示，通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______用含a，b的等式表示
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
已知，，则的值为______．
计算：．
【拓展】
计算：．
课
堂
小
结
平方差公式怎样表示？
参考答案
自主学习：
1、解：，不符合平方差公式的条件，故不能运用平方差公式运算；
B.，符合平方差公式的条件，故能运用平方差公式运算；
C.，两项都互为相反数，不符合平方差公式的条件，故不能运用平方差公式运算；
D.，两项都互为相反数，不符合平方差公式的条件，故不能运用平方差公式运算；
故选B．
2、解：?，
故答案为：．
合作探究：
探究一：
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
探究二：
例1
解：(1)(a
+3)(a
-3)
=a2-32
=
a2
-9.
(2)
(2a
+
3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2
(3)
(1+2c)(1-2c)
=
12-(2c)2
=1-4c2.
(4)
(-2x
-y)(2x
-y)
=(-y-2x)(
-y
+2x)
=(-y)2-
(2x)
2
=
y
2
-4x
2
例2
解：1998x2002
=(2000-2)x(2000+2)
=
20002-22
=
4000000-4
=3999996.
探究三：
例3
解：
(a+2)(a-2)=a2-4.
答:改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
当堂检测：
1、解：①(2m+n)(n-2m)=n2-(2m)
2，能用平方差公式化简，
②(a2-4b)(4b-a2)
=-(a2-4b)
2，不能用平方差公式化简，
③(x+y)(-x-y)
=-(x+y)
2，不能用平方差公式化简，
④(3a+b)(-3a+b)=b2-(3a)
2，能用平方差公式化简，
则能用平方差公式计算的有2个．
2、解：
(1)103×97
=(100+3)(100-3)
=1002-32
=10000-9
=9991
(2)
1.02×0.98
=(1+0.02)(1-0.02)
=1-0.022
=1-0.0004
=0.9996
解：
【探究】图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，
所以，得到乘法公式
故答案为．
【应用】
由得，
∵
(2m+n)?(2m-n)=
故答案为3．
【拓展】
课堂小结：
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
条件：
(1)二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论:
(1)
两项的平方差;
(2)
(完全相同项)2
-(互为相反项)2
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精品试卷·第
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（共
2
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