人教版 九年级上册数学讲义： 24.1.2 垂径定理（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版 九年级上册数学讲义： 24.1.2 垂径定理（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 314.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-13 15:33:16 | ||
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文档简介
109537547625
0396240第11讲 垂径定理
知识定位
讲解用时：3分钟
适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
32385129540垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
5143513335 （1）垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论
①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
②如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；③如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平
分这条弦所对的弧；
（1）垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论
①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
②如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；③如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平
分这条弦所对的弧；
8001017145 ④如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
⑤如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
④如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
⑤如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
0169545
课堂精讲精练
【例题1】
下列判断中，正确的是（ ）。
A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦
B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分
C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径
D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等
【答案】C
【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理
同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；
任意两条直径互相平分，故B错误；
同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。
讲解用时：3分钟
解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。
教学建议：基本概念题，逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1】
下列说法正确的个数是（ ）。
①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直线垂直于弦；③圆的对称轴是直径；④圆的对称轴有无数条；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质，
①垂直于弦的直径平分弦；故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；
③圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；
④圆的对称轴有无数条；故正确；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故正确，故选：B．
讲解用时：7分钟
解题思路：根据垂径定理，轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。
教学建议：基本概念题，逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：香坊区校级月考 秋
【例题2】
4704715403225如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E，若AB=24，CD=26，则DE的长度是（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，
设DE为x，连接OA，
469519016510∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，AB=24，
∴∠AEO=90°，AE=EB=12，
由勾股定理得：OA2=AE2+OE2，
132=122+（13﹣x）2，解得：x=8，
则DE的长度是8，故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：连接OA，根据垂径定理求出AE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可。
教学建议：求出AE=EB是解此题的关键。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：涪城区模拟
【练习2】
4600575127635如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2，BC=8．则⊙O的半径为（ ）
A．false B．5 C．false D．6
【答案】C
【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，
延长AO交BC于点D，连接OB，由对称性及等腰Rt△ABC，得到AD⊥BC，
4714875245745∴D为BC的中点，即BD=CD=falseBC=4，AD=falseBC=4，
∵OA=2，∴OD=AD﹣OA=4﹣2=2，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：OB=false，
则圆的半径为false，故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：延长AO于BC交于点D，连接OB，由对称性及三角形ABC为等腰直角三角形，得到AD与BC垂直，根据三线合一得到D为BC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到AD为BC的一半，求出AD的长，由AD﹣OA求出OD的长，再利用垂径定理得到D为BC的中点，求出BD的长，在直角三角形BOD中，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径
教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：相山区四模
【例题3】
4543425594360如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 。
【答案】3≤OP≤5
【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，
如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
463867574295∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，
∵AB=8，∴AM=4，
在Rt△AOM中，OM=3，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
讲解用时：5分钟
解题思路：因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤5。
教学建议：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：襄城区模拟
【练习3】
弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，则AB，CD之间的距离为（ ）。
A．7 B．1 C．4或3 D．7或1
4476750148590【答案】D
【解析】本题考查了勾股定理和垂径定理，
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
4505325149860∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF﹣OE=1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OF⊥CD，
∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF+OE=7cm，故选：D．
讲解用时：8分钟
解题思路：分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可。
教学建议：注意进行分类讨论。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：枣阳市期末 秋
【例题4】
4619625470535把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（ ）。
A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
【答案】B
【解析】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
4333875292735∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选：B．
讲解用时：8分钟
解题思路：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4﹣x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可。
教学建议：正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：建邺区一模
【练习4】
如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）。
497205085725A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
【答案】C
【解析】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，
如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=4，OD=10，∴OC=6，
又∵OB=10，
∴Rt△BCO中，BC=false，
∴AB=2BC=16，故选：C．
讲解用时：4分钟
解题思路：首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案。
教学建议：得出AC的长是解题关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：中江县模拟
【例题5】
488632520955如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径 MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是 。
【答案】false
【解析】本题考查了轴对称中最短路线问题、三角形的三边关系以及勾股定理，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，
此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示，
430276040005∵点B和点B′关于MN对称，∴PB=PB′，
∵点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，
∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°，
∵OA=OB′=1，∴AB′=false．
讲解用时：8分钟
解题思路：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解。
教学建议：根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点P的位置是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：南通一模
【练习5】
48387001905如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM的最小值为 。
【答案】16
【解析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理，
如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
4857750318135由垂径定理，=，∴=，
∵==，AB为直径，
∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是16．
讲解用时：5分钟
解题思路：作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D为直径，从而得解。
教学建议：熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：丹江口市模拟
【例题6】
一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为12米，拱高（CN）为2米，求：
（1）桥拱半径；
4105275316230（2）若大雨过后，桥下河面宽度（DE）为10米，求水面涨高了多少？
【答案】（1）10（m）；（2）5false﹣8（m）
【解析】本题考查的是垂径定理的应用，
（1）∵拱桥的跨度AB=12m，拱高CN=2m，∴AN=6m，
利用勾股定理可得：AO2﹣（OC﹣CN）2=6×6，
解得OA=10（m）．
（2）设河水上涨到DE位置，
这时DE=10m，DE∥AB，有OC⊥DE（垂足为M），∴EM=falseEF=5m，
连接OE，则有OE=10m，
OM=false=5false（m），
MC=OC﹣OM=10﹣5false（m），
NC﹣CM=2﹣（10﹣5false）=5false﹣8（m）．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答；（2）已知到桥下水面宽AB为12m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面2m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题。
教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：靖江市校级期中 秋
4114800288925【练习6】
2013年10月，台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由。
【答案】不用采取紧急措施
【解析】本题考查了垂径定理在实际问题中的运用，
连接OA、OA1，如下图所示：
由题可得：AB=60m，PM=18m，PN=4m，OA=OA1=OP=R，
OP⊥AB，OP⊥A1B1，
由垂径定理可得：AM=MB=30m，
在Rt△AMO中，由勾股定理可得：AO2=AM2+MO2
3771900180975即R2=302+（R﹣18）2，解得R=34m，
∵PN=4m，OP=R=34m，∴ON=30m，
在Rt△ONA1中，由勾股定理可得：
A1N2=A1O2﹣ON2，可得A1N=16m，
故A1B1=32m＞30m，故不用采取紧急措施．
讲解用时：10分钟
解题思路：连接OA、OA1，由垂径定理可得：AM=MB=30m，再分别解Rt△AMO、Rt△ONA1即可得出A1B1的长度，将A1B1的长度与30m作比较，若它大于30m，则不需要采取紧急措施；若它小于30m，则需要采取紧急措施。
教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：永安市期中 秋
【例题7】
4686300255270如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2。
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径。
【答案】（1）AB=4；（2）false
【解析】本题考查全等三角形的性质、垂径定理等知识，
（1）∵CD⊥AB，AO⊥BC，∴∠AFO=∠CEO=90°，
4229100259080在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，
∵CE=2，∴AF=2，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴false，∴AB=4．
（2）∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC，∴CE=BE=2，
∵AB=4，∴false，
∵∠AEB=90°，∴∠A=30°，
又∵∠AFO=90°，∴AO=false，即⊙O的半径是false．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）只要证明△AOF≌△COE，推出CE=AF=2，再根据垂径定理可得B=2AF；（2）只要证明∠A=30°即可解决问题。
教学建议：解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，证明∠A=30°是解决问题2的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：崇明县一模
【练习7】
4219575516255如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E。
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=false，AE=2，求⊙O的半径。
【答案】（1）证明：∵OC=OB，∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；
（2）3
【解析】此题考查了垂径定理、勾股定理以及圆周角定理，
（1）证明：∵OC=OB，∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
4581525304800∴CE=falseCD=false×4false=2false，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，
∴r2=（2false）2+（r﹣2）2，解得：r=3，∴⊙O的半径为3．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值。
教学建议：熟练掌握定理是解本题的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：颍上县期末 秋
0201930
课后作业
【作业1】
4619625422910如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=6，BE=1，则弦CD的长是（ ）。
A．4 B．5 C．false D．false
【答案】D
【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，
连接OC，由题意，得
OE=OA﹣AE=3﹣1=2，
CE=ED=false，
CD=2CE=false，故选：D．
讲解用时：4分钟
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：钦州期末 秋
【作业2】
据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为（ ）。
A．15m B．17m C．18m D．20m
【答案】C
【解析】本题考查了径定理的应用，
412432547625连结OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=falseAB=false×24=12，
在Rt△OAD中，OA=5，由勾股定理的OD=5，
∴CD=OC+CD=13+5=18（m），故选：C．
讲解用时：5分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：绵阳一模
4276725200025【作业3】
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A=15°，弦CD=4，求AB的长。
【答案】8
【解析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，
∵∠A=15°，∴∠COB=30°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD=4，
∴CE=2，∠OEC=90°
∵∠COE=30°，
∴OC=2CE=4，∴AB=2OC=8。
讲解用时：4分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：丰台区一模
0396240第11讲 垂径定理
知识定位
讲解用时：3分钟
适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。
0137160
知识梳理
讲解用时：15分钟
32385129540垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
5143513335 （1）垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论
①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
②如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；③如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平
分这条弦所对的弧；
（1）垂径定理
如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
（2）相关推论
①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；
②如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；③如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平
分这条弦所对的弧；
8001017145 ④如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
⑤如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
④如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
⑤如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。
总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。
0169545
课堂精讲精练
【例题1】
下列判断中，正确的是（ ）。
A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦
B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分
C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径
D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等
【答案】C
【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理
同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；
任意两条直径互相平分，故B错误；
同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。
讲解用时：3分钟
解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。
教学建议：基本概念题，逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习1】
下列说法正确的个数是（ ）。
①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直线垂直于弦；③圆的对称轴是直径；④圆的对称轴有无数条；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质，
①垂直于弦的直径平分弦；故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；
③圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；
④圆的对称轴有无数条；故正确；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故正确，故选：B．
讲解用时：7分钟
解题思路：根据垂径定理，轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。
教学建议：基本概念题，逐项排除。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：香坊区校级月考 秋
【例题2】
4704715403225如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E，若AB=24，CD=26，则DE的长度是（ ）。
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，
设DE为x，连接OA，
469519016510∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，AB=24，
∴∠AEO=90°，AE=EB=12，
由勾股定理得：OA2=AE2+OE2，
132=122+（13﹣x）2，解得：x=8，
则DE的长度是8，故选：D．
讲解用时：3分钟
解题思路：连接OA，根据垂径定理求出AE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可。
教学建议：求出AE=EB是解此题的关键。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：涪城区模拟
【练习2】
4600575127635如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2，BC=8．则⊙O的半径为（ ）
A．false B．5 C．false D．6
【答案】C
【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，
延长AO交BC于点D，连接OB，由对称性及等腰Rt△ABC，得到AD⊥BC，
4714875245745∴D为BC的中点，即BD=CD=falseBC=4，AD=falseBC=4，
∵OA=2，∴OD=AD﹣OA=4﹣2=2，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：OB=false，
则圆的半径为false，故选：C．
讲解用时：5分钟
解题思路：延长AO于BC交于点D，连接OB，由对称性及三角形ABC为等腰直角三角形，得到AD与BC垂直，根据三线合一得到D为BC的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到AD为BC的一半，求出AD的长，由AD﹣OA求出OD的长，再利用垂径定理得到D为BC的中点，求出BD的长，在直角三角形BOD中，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径
教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：相山区四模
【例题3】
4543425594360如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 。
【答案】3≤OP≤5
【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，
如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
463867574295∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，
∵AB=8，∴AM=4，
在Rt△AOM中，OM=3，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5．
讲解用时：5分钟
解题思路：因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤5。
教学建议：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：襄城区模拟
【练习3】
弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，则AB，CD之间的距离为（ ）。
A．7 B．1 C．4或3 D．7或1
4476750148590【答案】D
【解析】本题考查了勾股定理和垂径定理，
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
4505325149860∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF﹣OE=1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OF⊥CD，
∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF+OE=7cm，故选：D．
讲解用时：8分钟
解题思路：分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可。
教学建议：注意进行分类讨论。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：枣阳市期末 秋
【例题4】
4619625470535把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（ ）。
A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm
【答案】B
【解析】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
4333875292735∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选：B．
讲解用时：8分钟
解题思路：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4﹣x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可。
教学建议：正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：建邺区一模
【练习4】
如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）。
497205085725A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
【答案】C
【解析】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，
如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=4，OD=10，∴OC=6，
又∵OB=10，
∴Rt△BCO中，BC=false，
∴AB=2BC=16，故选：C．
讲解用时：4分钟
解题思路：首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案。
教学建议：得出AC的长是解题关键。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：中江县模拟
【例题5】
488632520955如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径 MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是 。
【答案】false
【解析】本题考查了轴对称中最短路线问题、三角形的三边关系以及勾股定理，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，
此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示，
430276040005∵点B和点B′关于MN对称，∴PB=PB′，
∵点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，
∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°，
∵OA=OB′=1，∴AB′=false．
讲解用时：8分钟
解题思路：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解。
教学建议：根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点P的位置是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：南通一模
【练习5】
48387001905如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM的最小值为 。
【答案】16
【解析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理，
如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
4857750318135由垂径定理，=，∴=，
∵==，AB为直径，
∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是16．
讲解用时：5分钟
解题思路：作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D为直径，从而得解。
教学建议：熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：丹江口市模拟
【例题6】
一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为12米，拱高（CN）为2米，求：
（1）桥拱半径；
4105275316230（2）若大雨过后，桥下河面宽度（DE）为10米，求水面涨高了多少？
【答案】（1）10（m）；（2）5false﹣8（m）
【解析】本题考查的是垂径定理的应用，
（1）∵拱桥的跨度AB=12m，拱高CN=2m，∴AN=6m，
利用勾股定理可得：AO2﹣（OC﹣CN）2=6×6，
解得OA=10（m）．
（2）设河水上涨到DE位置，
这时DE=10m，DE∥AB，有OC⊥DE（垂足为M），∴EM=falseEF=5m，
连接OE，则有OE=10m，
OM=false=5false（m），
MC=OC﹣OM=10﹣5false（m），
NC﹣CM=2﹣（10﹣5false）=5false﹣8（m）．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答；（2）已知到桥下水面宽AB为12m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面2m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题。
教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：靖江市校级期中 秋
4114800288925【练习6】
2013年10月，台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由。
【答案】不用采取紧急措施
【解析】本题考查了垂径定理在实际问题中的运用，
连接OA、OA1，如下图所示：
由题可得：AB=60m，PM=18m，PN=4m，OA=OA1=OP=R，
OP⊥AB，OP⊥A1B1，
由垂径定理可得：AM=MB=30m，
在Rt△AMO中，由勾股定理可得：AO2=AM2+MO2
3771900180975即R2=302+（R﹣18）2，解得R=34m，
∵PN=4m，OP=R=34m，∴ON=30m，
在Rt△ONA1中，由勾股定理可得：
A1N2=A1O2﹣ON2，可得A1N=16m，
故A1B1=32m＞30m，故不用采取紧急措施．
讲解用时：10分钟
解题思路：连接OA、OA1，由垂径定理可得：AM=MB=30m，再分别解Rt△AMO、Rt△ONA1即可得出A1B1的长度，将A1B1的长度与30m作比较，若它大于30m，则不需要采取紧急措施；若它小于30m，则需要采取紧急措施。
教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：永安市期中 秋
【例题7】
4686300255270如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2。
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径。
【答案】（1）AB=4；（2）false
【解析】本题考查全等三角形的性质、垂径定理等知识，
（1）∵CD⊥AB，AO⊥BC，∴∠AFO=∠CEO=90°，
4229100259080在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE，∴CE=AF，
∵CE=2，∴AF=2，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴false，∴AB=4．
（2）∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC，∴CE=BE=2，
∵AB=4，∴false，
∵∠AEB=90°，∴∠A=30°，
又∵∠AFO=90°，∴AO=false，即⊙O的半径是false．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）只要证明△AOF≌△COE，推出CE=AF=2，再根据垂径定理可得B=2AF；（2）只要证明∠A=30°即可解决问题。
教学建议：解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，证明∠A=30°是解决问题2的关键。
难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：崇明县一模
【练习7】
4219575516255如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E。
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=false，AE=2，求⊙O的半径。
【答案】（1）证明：∵OC=OB，∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；
（2）3
【解析】此题考查了垂径定理、勾股定理以及圆周角定理，
（1）证明：∵OC=OB，∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，∴∠BCO=∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
4581525304800∴CE=falseCD=false×4false=2false，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OA﹣AE=r﹣2，
∴r2=（2false）2+（r﹣2）2，解得：r=3，∴⊙O的半径为3．
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；
（2）由弦CD与直径AB垂直，利用垂径定理得到E为CD的中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，设圆的半径OC=r，OE=OA﹣AE，表示出OE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值。
教学建议：熟练掌握定理是解本题的关键。
难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：颍上县期末 秋
0201930
课后作业
【作业1】
4619625422910如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=6，BE=1，则弦CD的长是（ ）。
A．4 B．5 C．false D．false
【答案】D
【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，
连接OC，由题意，得
OE=OA﹣AE=3﹣1=2，
CE=ED=false，
CD=2CE=false，故选：D．
讲解用时：4分钟
难度：3 适应场景：练习题 例题来源：钦州期末 秋
【作业2】
据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为（ ）。
A．15m B．17m C．18m D．20m
【答案】C
【解析】本题考查了径定理的应用，
412432547625连结OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=falseAB=false×24=12，
在Rt△OAD中，OA=5，由勾股定理的OD=5，
∴CD=OC+CD=13+5=18（m），故选：C．
讲解用时：5分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：绵阳一模
4276725200025【作业3】
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A=15°，弦CD=4，求AB的长。
【答案】8
【解析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，
∵∠A=15°，∴∠COB=30°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD=4，
∴CE=2，∠OEC=90°
∵∠COE=30°，
∴OC=2CE=4，∴AB=2OC=8。
讲解用时：4分钟
难度：4 适应场景：练习题 例题来源：丰台区一模
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