(共24张PPT)
12.3.2.1
两数和（差）的平方
数学华师版
八年级上
平方差公式怎样表示？
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
两数和与这两数的差的积等于这两数的平方差．
条件：(1)二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论:
(1)
两项的平方差;
(2)
(完全相同项)2
-(互为相反项)2
复习导入
a2
(a+b)(a+b)
+b2
+ba
新知讲解
=
+ab
用多项式乘法法则计算:
(a+b)2
=
(a+b)2=
做一做
a2+2ab+b2
新知讲解
两数和的平方公式：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍．
顺口溜：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
新知讲解
试一试
观察图12.3.2，用等式表示下图中图形面积的运算
图12.3.2
b
b
a
a
b
b
a
a
=
+
+
______________
=
__________
+
________
+
_____
a2
b2
(a+b)2
2ab
新知讲解
例4
计算:
(1)
(2x+3y)2;
(2)
新知讲解
解
(1)
(2x+3y)2
=
(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2
把2x看作a,
3y看作b，直接代人公式.
新知讲解
(2)
=
=
新知讲解
变式
计算:
(1)
(m+5n)2;
(2)
(a+2b+c)2
新知讲解
解：
(1)
(m+5n)2
=m2+2·m·5n+25n2
=m2+10mn+25n2
(2)
(a+2b+c)2
=[(a+2b)+c]2
=(a+2b)2+2·(a+2b)·c+c2
=a2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2
注意：
(1)公式左边是两数和的平方;
(2)公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和加上左边两数积的两倍。
即:
首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
新知讲解
课堂练习
1、如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的长方形卡片4张，边长为b的正方形4张，用9张卡片刚好能拼成无缝隙不重叠的正方形，则这个正方形的边长为(
)
A.
a+b
B.
2a+b
C.
2a-b
D.
a+2b
课堂练习
解：设正方形的边长为x(x>0)
x2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2
∴x=a+2b
故选D．
2、如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．
(1)请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；
①__________________
②____________________
(2)由①，②可得到关于a，b的等式是:__________________________
(3)利用(2)中的等式计算：4.3232+2×4.323×0.677+0.6772．
课堂练习
(a+b)2
a2+2ab+b2
(a+b)
2=a2+2ab+b2
解：
(3)原式=4.3232+2×4.323×0.677+0.6772
=(4.323+0.677)
2
=52
=25
课堂练习
课堂练习
3、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，那么利用图②所得的数学等式是(
)
(a+b+c)2=a2+b2+c2
B.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
C.
(a+b+c)
2=2ab+2bc+2ca
D.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+bc+ca
课堂练习
解：∵正方形的面积=(a+b+c)2；
正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
∴
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故选B．
拓展提高
4、我国古代数学的许多创新和发现都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和(a+b)的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”，判断(a+b)20的展开式中第三项的系数为(
)
A.
2020
B.
2019
C.
191
D.
190
拓展提高
解：找规律发现(a+b)3的第三项系数为3=1+2；
(a+b)4的第三项系数为6=1+2+3；
(a+b)5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现(a+b)n的第三项系数为1+2+3+?+(n-2)+(n-1)，
∴(a+b)20的第三项系数为1+2+3+?+19=190，
故选D．
顺口溜：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
课堂总结
两数和的平方公式：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍．
板书设计
课题：12.3.2.1
两数和（差）的平方
?
教师板演区
?
学生展示区
一、两数和的平方
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P35练习第1题
练习册基础
能力作业：
练习册提高中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学八年级上12.3.2.1两数和（差）的平方导学案
课题
12.3.2.1
两数和（差）的平方
单元
第12章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、通过合作学习探索得到两数和的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.
2、通过观察发现两数和的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义.
3、初步学会运用两数和的平方公式进行计算.
重点
难点
重点:理解两数和的平方公式，运用公式进行计算.
难点:从广泛意义上理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的和的平方
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、
已知，，求；
2、
用简便方法计算．
合
作
探
究
探究一：
用多项式乘法法则计算:
(a+b)2
两数和的平方公式：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍．
探究二：
观察图12.3.2，用等式表示下图中图形面积的运算
探究三：
例4
计算:
(1)
(2x+3y)2;
(2)
注意：
(1)公式左边是两数和的平方;
(2)公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和加上左边两数积的两倍。
即:
首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
当
堂
检
测
1、如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的长方形卡片4张，边长为b的正方形4张，用9张卡片刚好能拼成无缝隙不重叠的正方形，则这个正方形的边长为(
)
A.
a+b
B.
2a+b
C.
2a-b
D.
a+2b
2、如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的．
请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；
________________________
_
?________________________________________________
由，可得到关于a，b的等式是：
__________________________________________________________
利用中的等式计算：．
3、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，那么利用图②所得的数学等式是(
)
A.(a+b+c)2=a2+b2+c2
B.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
C.
(a+b+c)
2=2ab+2bc+2ca
D.
(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+bc+ca
4、我国古代数学的许多创新和发现都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约13世纪所著的详解九章算术一书中，用如图所示的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”，判断的展开式中第三项的系数为
??????????
???
A.
2020
B.
2019
C.
191
D.
190
课
堂
小
结
两数和的平方公式怎样表示？
参考答案
自主学习：
解：，，
∴
，
，
，
；
解：
=（1999+1）2
=4000000
合作探究：
探究一：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
探究二：
（ａ＋ｂ）2
＝ａ2
＋2ａｂ＋ｂ2
探究三：
解
(1)
(2x+3y)2
=
(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
=4x2+12xy+9y2
当堂检测：
1、解：设正方形的边长为x(x>0)
∵x2=a2+4ab+4b2=(a+2b)2
∴x=a+2b
故选D．
2、解：，
；
等式为：；
原式
3、解：∵正方形的面积=(a+b+c)2；
正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
∴
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故选B．
4、解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
第三项系数为，
故选D．
课堂小结：
（ａ+ｂ）2
＝ａ2
+2ａｂ＋ｂ2
．
两数和的平方，等于这两数的平方和加上
它们的积的2倍。
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精品试卷·第
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