3.2.2 平面直角坐标系（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第二章位置与坐标
3.2
平面直角坐标系
第二课时
平面直角坐标系(2)
【知识清单】
一、根据坐标找点的方法：
由P(a，b)在x轴上找到坐标为(a，0)的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为
(0，b)的点B，过B作y轴的垂线，两条垂线的交点，即为所找的P点.
二、平面上点坐标与有序实数对的关系：
(1)在直角坐标系中，对于坐标平面内任意一点.都有唯一的一对有序数对(即点的坐标)与它对
应；反过来，对于任意一对有序实数对，都有唯一的一点和它对应.
(2)平面内点的与有序实数对是一一对应的.
(3)平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标.
三、点到坐标轴及原点的距离点P(x，y)到坐标轴及原点的距离：
(1)点P(x，y)到x轴的距离等于；
(2)点P(x，y)到y轴的距离等于；
(3)点P(x，y)到原点的距离等于.
【经典例题】
【例题】1、如图为A、B、C三点在坐标平面上的位置图．若A、B、C三点横坐标的数字总和为a，y纵坐标的数字总和为b，则点P
(a+b，ab)所在的象限为(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】先求出A、B、C三点的横坐标的数字和，再求出纵坐标的数字的和，然后把它们相减即可求得a+b，ab之值．
【解答】由图形可得：点A
(1，2)、B
(2，4)、C
(4，3)
∴a=12+4=1，
∴b=2+4+3=5，
∴a+b=1+5=6，
ab=15=4．
∴点P坐标为(6，4)
故选：D．
【点评】考查了点的坐标，根据图形求出三个点横坐标之和a的值和纵坐标之和b的值的解题的关键．
例题2、如图，已知△ABC，请你写出三个顶点的坐标A
(
)、B
(
)
、
C
(
)，△ABC的面积等于
．
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．
【分析】如图，根据A、B、C三点所在的位置即可确定其坐标；由A、B的横坐标，容易求得AB的长，以AB为底，过点CD作AB的垂线，垂足为D，所以CD即为AB边上的高，可得点D的坐标为(1，1)，则CD的长由C、D两点的纵坐标求得，即可求出△ABC的面积．
【解答】由图形可得A
(2，1)，B
(4，1)，C
(1，3)；
过点C作CD⊥AB于点D，所以CD为AB边上的高，
根据图形，可得D点的坐标为(1，1)：
AB=4(2)=6；
边AB上的高
CD=3(1)=4
∴S△ABC=AB?CD
=×6×4=12．
【点评】主要考查了点的坐标的意义以及三角形面积的求法．根据图形得出三角形的底和高的解题的关键.
【夯实基础】
1、如图，一个长方形的长为12，宽为6，分别以两组对边中点的连线为坐标轴建立平面
直角
坐标系，则下列点中不在长方形上的是(　　)
A．(6，－3)
B．(6，3)
C．(3，6)
D．(0，－3)
2、若一个三角形的三顶点分别为A
(2，4)，B
(3，1)，C
(5，7)，将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标都扩大为原来的3倍，那么变化后的三角形的三个顶点坐标分别为(　　)
A．A
(5，4)，B
(6，1)，C
(8，7)
B．A
(6，4)，B
(9，1)，C
(15，7)
C．A
(2，7)，B
(3，4)，C
(5，10)
D．A
(2，12)，B
(3，3)，C
(5，21)
3、如图为一个旅游景区停车场的平面部分简图，若“现代”的坐标为(3，2)，“奔驰”的坐标
为(1，1)，则“宝马”的坐标为(　　)
A．(2，1)
B．(2，1)
C．(1，2)
D．(1，2)
4、在直角坐标系中，由A
(2，4)，B
(6，4)，C
(2，2)三点组成的三角形是(
)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
5、(1)
在平面直角坐标系中，点P
(5，12)到原点O的距离是
；
(2)已知点A是纵坐标为8，到原点的距离为17则点A的坐标为
.
6、如图，在平面直角坐标系中，A
(2，3)，B
(4，5)，点O的坐标原点，则△AOB的面积为
．
　
7、如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第1秒钟，它从原点(0，0)运动
到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…，
且每秒移动1个
单位，那么第2021秒时质点所在位置的坐标为
．
8、如图，每一个小正方形网格的边长表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走200米，再向北走100米就到达学校．
(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐
标系；
(2)B同学家的坐标是________；
(3)在你所建的直角坐标系中，
如果C同学家的坐标为(250，100)，
请你在图中描出表示C同学家的点．
(4)求A、B、C三位同学的家构成的
△ABC的面积S△ABC.
9、已知点A
(2m7，m8)和点B
(5，m＋3)，且AB∥y轴．
(1)求m的值；(2)求AB的长．
【提优特训】
10、在平面直角坐标系中，下列坐标一定在第四象限的是(　　)
A．
B．
C．
D．
11、在平面直角坐标系中A
(3x7，5y+10)、点B
(54x，23y)是同一个点的不同表示方式，
则P
(x，y)所在的象限是(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
12、在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(1，1)、
(1，1)、(1，1)，则顶点D的坐标为(
)
A．(1，1)??
B．(1，
1)??
C．(1，1)???
?D．(1，1)
13、在平面直角坐标系中，已知点A(7，0)，点B(5，0)，点C在y轴上，三角形ABC的
面积为18，则点C的坐标为
(0，3)或(0，3)
．
A．(0，3)??
B．(0，
3)??
C．(0，3)?或(0，
3)?
?D．(3，0)?或(3，0)
14、以点P(3，0)为圆心，以5为半径画圆，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，
则四边形MPQN的周长是
，面积为
.
15、如图，△ABC，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(6，5)，要使△ABD≌△ABC，那么
点D的坐标是
.
16、在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA=1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3…依此规律，则点A2021的坐标是　
．
17、在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值；“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A
(2，3)，B
(4，1)，C
(3，2)，则“水平底”a=7，“矩面积”h=5，“矩面积”S=ah=35．
已知点A
(3，7)，B
(5，6)，P
(0，t)．(1)若A，B，P三点的“矩面积”为32，求点P的坐标；(2)直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
18、先阅读理解下面的问题，再按要求解答问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知两点，，如何求P1P2的距离.
若，，过P1，P2分别向x轴，y轴作垂线.垂足分别为A1(x1，0)，A2(x2，0)，B1(0，
y1)，B2(0，
y2)，Q(x2，
y1).
因为，，
所以Rt△P1P2
Q中，
，
所以.
因此，我们得到平面上两点，
之间的距离公式为.
根据上面得到的公式，解决下列问题：
(1)已知平面两点A
(3，4)，B
(5，10)，求AB的距离；
(2)若平面三点A
(2，2)，B
(5，2)，C
(1，4)，试判定△ABC的形状，说明理由.
【中考链接】
19、(2019?湖南株洲)
在平面直角坐标系中，点A
(2，3)位于哪个象限(
)
A．第一象限??
B．第二象限??
C．第三象限??
?D．第四象限
20、(2019?甘肃)
已知点P
(m+2，2m4)在x轴上，则点P的坐标为(
)
A．(4，0)?
B．(0，4)??
C．(4，0)??
?D．(0，4)
参考答案
1、C
2、D
3、B
4、C
5、(1)13、(2)±
15
6、11
7、(3，44)
10、C
11、B
12、D
13、C
14、
、40
15、(6，1)或(2，5)
或(6，1)
16、19、D
20、A
8、如图，每一个小正方形网格的边长表示50米．A同学上学时从家中出发，先向东走200米，再向北走100米就到达学校．
(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐
标系；
(2)B同学家的坐标是________；
(3)在你所建的直角坐标系中，
如果C同学家的坐标为(250，100)，
请你在图中描出表示C同学家的点．
(4)求A、B、C三位同学的家构成的
△ABC的面积S△ABC.
解：(1)平面直角坐标系如图所示．
(2)(200，150)
(3)C同学家的位置如图所示．
(4)S△ABC=(5×50)×(9×50)×(8×50)×(5×50)
×(9×50)×(1×50)×(5×50)×(1×50)
=45000(米)2.
所以A、B、C三位同学的家构成的△ABC的面积S△ABC为45000平方米.
9、已知点A
(2m7，m8)和点B
(5，m＋3)，且AB∥y轴．
(1)求m的值；
(2)求AB的长．
解：(1)因为点A的坐标为(2m7，m8)，点B的坐标为(5，m＋3)，且AB∥y轴，
所以2m7=5，所以m=6.
(2)由(1)可知m=6，所以m8=2，m＋3=9，
所以点A的坐标为(5，2)，点B的坐标为(5，9).
∵AB的长就是A、B两点纵坐标的差的绝对值，
即9(2)=11，所以AB的长为11.
17、在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值；“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值；则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A
(2，3)，B
(4，1)，C
(3，2)，则“水平底”a=7，“矩面积”h=5，“矩面积”S=ah=35．
已知点A
(3，7)，B
(5，6)，P
(0，t)．(1)若A，B，P三点的“矩面积”为32，求点P的坐标；(2)直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
解：(1)由题意：“水平底”a=3(5)=8，
当t>7时，“铅垂高”h
=t6，
则“矩面积”S=ah
=8(t6)=32，
解得t=10，
故点P的坐标为(0，10)；
当t<6时，“铅垂高”h
=7t，
则“矩面积”S=ah
=8(7t)=32，
解得t=3，
故点P的坐标为(0，
3)，
所以，点P的坐标为(0，10)或(0，3)；
(2)∵a=8，
∴t=6或7时，“铅垂高”h最小为1，
此时，A，B，P三点的“矩面积”的最小值为8．
18、先阅读理解下面的问题，再按要求解答问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知两点，，如何求P1P2的距离.
若，，过P1，P2分别向x轴，y轴作垂线.垂足分别为A1(x1，0)，A2(x2，0)，B1(0，
y1)，B2(0，
y2)，Q(x2，
y1).
因为，，
所以Rt△P1P2
Q中，
，
所以.
因此，我们得到平面上两点，
之间的距离公式为.
根据上面得到的公式，解决下列问题：
(1)已知平面两点A
(3，4)，B
(5，10)，求AB的距离；
(2)若平面三点A
(2，2)，B
(5，2)，C
(1，4)，试判定△ABC的形状，说明理由.
解：(1)∵A
(3，4)，B
(5，10)，
由两点间的距离公式，得
∴
.
(2)∵A
(2，2)，B
(5，2)，C
(1，4)，
由两点间的距离公式，得
∴，
∴，
∴
∵，.
∴
∴△ABC是直角三角形.
第16题图
第15题图
第3题图
第7题图
第18题图
第1题图
第16题图
第6题图
第8题图
例题1图
第8题图
例题2图
第8题图
第18题图
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精品试卷·第
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