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习题课:电磁感应中的电路和图像问题
探究一
探究二
探究三
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电磁感应中的电路问题
情境探究
用均匀导体做成的正方形线圈边长为l,正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中,如图所示,当磁场以
的变化率增强时,思考下列问题:
(1)感应电流的方向是逆时针还是顺时针?
(2)感应电动势多大?整个闭合回路中哪部分电路是电源,哪部分是外电路?
(3)A、B两点哪点电势高?两点间的电势差为多大?
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知识归纳
解决电磁感应中电路问题的基本方法
闭合电路中磁通量发生变化或有部分导体在做切割磁感线运动,在回路中将产生感应电动势,回路中将有感应电流。从而涉及电流、电压、电功等计算。同时也可包含电磁感应与力学问题、电磁感应与能量的综合分析。
(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势,该电路或导体就相当于电源,其他部分是外电路。
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(2)画等效电路图。
(3)用法拉第电磁感应定律E=n
或E=Blv确定感应电动势的大小,用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。在等效电源内部,方向从负极指向正极。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。
解决电磁感应中的电路问题“三步曲”:第一步,确定电源;第二步,画等效电路图;第三步,利用电路规律求解。
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实例引导
例1
用相同导线绕制的边长为l或2l的四个闭合导线框,以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场,如图所示。在每个线框进入磁场的过程中,M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud。下列判断正确的是( )
A.UaB.UaC.Ua=UbD.Ub答案:B
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规律方法1.判断感应电流和感应电动势的方向,都是利用“相当于电源”的部分根据右手定则或楞次定律判定的。实际问题中应注意外电路电流由高电势流向低电势,而内电路则相反。
2.在闭合电路中,“相当于电源”的导体两端的电压与真实的电源两端的电压一样,等于路端电压而不等于感应电动势。
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变式训练1如图所示,把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环,水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中,一长度为2a,电阻等于R,粗细均匀的金属棒MN放在圆环上,它与圆环始终保持接触良好,当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心时,求:
(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN。
(2)电路中消耗的热功率。
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电磁感应中的电荷量问题
情境探究
如图所示,水平金属导轨AC、BD长x、两轨宽l,金属棒置于导轨上,与导轨接触良好,导轨A、B端接有电阻R,其余电阻不计,磁感应强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直。
(1)在金属棒以速度v匀速从AB端运动到CD端的过程中,流过电阻R的电荷量为多少?
(2)第(1)问中,若金属棒从静止开始匀加速向右运动距离x呢?
(3)若金属棒固定于CD端,在磁感应强度以
的变化率从零均匀增大到B的过程中,流过电阻R的电荷量为多少?
(4)第(3)问中,若磁感应强度不是均匀变化的呢?
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知识归纳
电磁感应中的电荷量问题
1.电源内部电流的方向是从负极流向正极,即从低电势流向高电势。
2.求解电路中通过的电荷量时,一定要用平均电动势和平均电流计算。
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例2
物理实验中,常用一种叫作“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量。如图所示,探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度。已知线圈的匝数为n,面积为S,线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R。若将线圈放在被测匀强磁场中,开始时线圈平面与磁场垂直,现把探测圈翻转90°,冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q,由上述数据可测出被测磁场的磁感应强度为( )
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答案:B
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变式训练2如图所示,将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出,第一次速度为v,通过金属圆环某一截面的电荷量为q1,第二次速度为2v,通过金属圆环某一截面的电荷量为q2,则( )
A.q1∶q2=1∶2
B.q1∶q2=1∶4
C.q1∶q2=1∶1
D.q1∶q2=2∶1
答案:C
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电磁感应中的图像问题
情境探究
如图甲所示,矩形导线框abcd固定在匀强磁场中,磁感线的方向与导线框所在平面垂直,规定磁场的正方向为垂直于纸面向里,磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示,若规定顺时针方向为感应电流的正方向,定性画出感应电流随时间变化的图像。
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要点提示:0~1
s内电流为负方向,1~3
s内电流为正方向,3~4
s电流为负方向。
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知识归纳
1.问题概括
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2.解决图像问题的一般步骤
(1)明确图像的种类,即是B-t图像还是Φ-t图像,或者E-t图像、I-t图像等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式。
(5)根据函数关系式,进行数学分析,如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
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例3
在竖直方向的磁场中,水平放置一圆形导体环。规定导体环中电流的正方向如图甲所示,磁场向上为正。当磁感应强度B
随时间t按图乙变化时,下列能正确表示导体环中感应电流变化情况的是( )
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不变的情况下,感应电动势与磁场的变化率成正比,即与B-t图像中的斜率成正比,由题图乙可知0~2
s斜率不变,故形成的感应电流不变,根据楞次定律可知感应电流方向为顺时针即为正值,2~4
s斜率不变,电流方向为逆时针即为负值,整个过程中的斜率大小不变,所以感应电流大小不变,故A、B、D错误,C正确。
答案:C
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规律方法对图像的分析,应做到“四明确一理解”
(1)明确图像所描述的物理意义;明确各种“+”“-”的含义;明确斜率的含义;明确图像和电磁感应过程之间的对应关系。
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变式训练3如图甲,匝数n=2的金属圈(电阻不计)围成的面积为20
cm2,线圈与R=20
Ω的电阻连接,置于竖直向上、均匀分布的磁场中,磁场与线圈平面垂直,磁感应强度为B,B-t关系如图乙,规定感应电流i从a经过R到b的方向为正方向,则下列i-t关系图正确的是( )
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答案:D
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例4
如图所示,一底边为l,底边上的高也为l的等腰三角形导体线框以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2l,宽为l的匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里。t=0时刻,三角形导体线框的底边刚进入磁场,取沿逆时针方向的感应电流为正,则在三角形导体线框穿过磁场区域的过程中,感应电流i随时间t变化的图线可能是( )
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答案:A
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变式训练4如图所示,两条平行虚线之间存在匀强磁场,虚线间的距离为l,磁场方向垂直纸面向里,abcd是位于纸面内的梯形线圈,ad与bc间的距离也为l,t=0时刻bc边与磁场区域边界重合。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域,取沿abcda方向为感应电流正方向,则在线圈穿越磁场区域的过程中,感应电流I随时间t变化的图线可能是( )
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解析:bc进入磁场时,根据右手定则判断出其感应电流的方向是沿adcba的方向,其方向与电流的正方向相反,故是负的,所以A、C错误。当逐渐向右移动时,切割磁感线的条数在增加,故感应电流在增大;当bc边穿出磁场区域时,线圈中的感应电流方向变为abcda,是正方向,故其图像在时间轴的上方,所以B正确,D错误。
答案:B
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1.(2018全国Ⅱ卷)如图,在同一水平面内有两根平行长导轨,导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域,区域宽度均为l,磁感应强度大小相等、方向交替向上向下,一边长为
l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动。线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
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解析:在0~0.5l过程,前、后两边均切割磁感线,产生相同方向(顺时针)、等大不变的电动势,产生同方向、不变的电流;在0.5l~l过程,前、后两边均切割磁感线,产生反向、等大不变的电动势,线框中总电动势为零,电流为零;在l~1.5l过程,前、后两边均切割磁感线,产生相同方向(逆时针)、等大不变的电动势,产生同方向、不变的电流,选项D正确。
答案:D
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2.(多选)如图所示,两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置,间距为l=1
m,cd间、de间、cf间都接阻值为R=10
Ω的电阻。一阻值为R=10
Ω的导体棒ab以速度v=4
m/s匀速向左运动,导体棒与导轨接触良好;导轨所在平面存在磁感应强度大小为B=0.5
T、方向竖直向下的匀强磁场。下列说法中正确的是( )
A.导体棒ab中电流的流向为由b到a
B.cd两端的电压为1
V
C.de两端的电压为1
V
D.fe两端的电压为1
V
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答案:BD
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3.(多选)(2019全国Ⅰ卷)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场,其边界如图(a)中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S,将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内,圆心O在MN上。t=0时磁感应强度的方向如图(a)所示;磁感应强度B随时间t的变化关系如图(b)所示。则在t=0到t=t1的时间间隔内( )
A.圆环所受安培力的方向始终不变
B.圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
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答案:BC
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4.2019年1月11日,我国通信广播卫星“中星2D”发射成功。假设卫星舱中有一边长为50
cm的正方形导线框,在地面人员遥控操作下由水平方向转至竖直方向,此时地磁场磁感应强度B=4×10-5
T,方向如图所示。求:
(1)该过程中磁通量的改变量的大小是多少?
(2)该过程线框中有无感应电流?设线框电阻为R=0.1
Ω,若有电流,则通过线框的电荷量是多少?(sin
37°=0.6,cos
37°=0.8)
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解析:(1)设线框在水平位置时法线n方向竖直向上,穿过线框的磁通量Φ1=BSsin
37°=6.0×10-6
Wb。
当线框转至竖直位置时,线框平面的法线方向水平向右,与磁感线夹角θ=143°,穿过线框的磁通量Φ2=BScos
143°=-8.0×10-6
Wb,该过程磁通量的改变量大小ΔΦ=|Φ1-Φ2|=1.4×10-5
Wb。
(2)因为该过程穿过闭合线框的磁通量发生了变化,所以一定有感应
答案:(1)1.4×10-5
Wb (2)有 1.4×10-4
C
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5.匀强磁场的磁感应强度B=0.2
T,磁场宽度l=4
m,一正方形金属框边长ad=l'=1
m,每边的电阻r=0.2
Ω,金属框以v=10
m/s
的速度匀速穿过磁场区域,其平面始终保持与磁感线方向垂直,如图所示。
(1)画出金属框穿过磁场区域的过程中,各阶段的等效电路图。
(2)画出金属框穿过磁场区域的过程中,金属框内感应电流的i-t图线。(要求写出作图依据)
(3)画出ab两端电压的U-t图线。(要求写出作图依据)
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解析:如图a所示,线框的运动过程分为三个阶段:第Ⅰ阶段cd相当于电源;第Ⅱ阶段cd和ab相当于电源;第Ⅲ阶段ab相当于电源,分别如图b、c、d所示。
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感应电流方向为顺时针方向
ab两端的电压U3=I3·3r=1.5
V,t3=0.1
s
规定逆时针方向为电流正方向,则i-t图像和ab两端U-t图像分别如图甲、乙所示。
答案:见解析第二章电磁感应
习题课:电磁感应中的电路和图像问题
课后篇巩固提升
基础巩固
1.
用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2
m,正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中,如图所示,当磁场以10
T/s的变化率增强时,线框中a、b两点间的电势差是( )
A.Uab=0.1
V B.Uab=-0.1
V
C.Uab=0.2
V
D.Uab=-0.2
V
解析
题中正方形线框的左半部分磁通量变化而产生感应电动势,从而有感应电流产生。把左半部分线框看成电源,其电动势为E,内阻为,画出等效电路图如图所示,则a、b两点间的电势差即为电源的路端电压,设l是边长,且依题意知=10T/s。由E=得E==10×V=0.2V,所以U=IR==0.1V,由于a点电势低于b点电势,故Uab=-0.1V,即B选项正确。
答案B
2.
(2018全国Ⅰ卷)如图,导体轨道OPQS固定,其中PQS是半圆弧,Q为半圆弧的中点,O为圆心。轨道的电阻忽略不计,OM是有一定电阻、可绕O转动的金属杆,M端位于PQS上,OM与轨道接触良好。空间存在与半圆所在平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,现使OM从OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定(过程Ⅰ);再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B'(过程Ⅱ)。在过程Ⅰ、Ⅱ中,流过OM的电荷量相等,则等于( )
A.
B.
C.
D.2
解析根据q=得,q1=,
q2=,因为q1=q2,
故B'=B,故B正确。
答案B
3.如图所示,垂直纸面向里的匀强磁场的区域宽度为2a,磁感应强度的大小为B。一边长为a、电阻为4R的正方形均匀导线框ABCD从图示位置开始沿水平向右方向以速度v匀速穿过磁场区域,图中线框A、B两端电压UAB与线框移动距离x的关系图像正确的是( )
解析进入磁场时,注意UAB是路端电压,大小应该是电动势的四分之三,此时E=Bav,所以UAB=;完全进入磁场后,没有感应电流,但有感应电动势,大小为Bav,穿出磁场时,电压大小应该是感应电动势的四分之一,UAB=,方向始终相同,即φA>φB。故D正确。
答案D
4.在竖直向上的匀强磁场中,水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈,规定线圈中感应电流的正方向如图甲所示,当磁场的磁感应强度B随时间t如图乙变化时,图中正确表示线圈中感应电动势E的变化的是( )
解析在第1s内,由楞次定律可判定电流为正,其产生的感应电动势E1=S,在第2s和第3s内,磁感应强度B不变化,线圈中无感应电流,在第4s和第5s内,B减小,由楞次定律可判定,其电流为负,产生的感应电动势E2=S,由于ΔB1=ΔB2,Δt2=2Δt1,故E1=2E2,由此可知,A选项正确。
答案A
5.
如图所示,用粗细相同的铜丝做成边长分别为l和2l的两个闭合正方形线框a和b,以相同的速度从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外,不考虑线框的重力,若闭合线框的电流分别为Ia、Ib,则Ia∶Ib为( )
A.1∶4
B.1∶2
C.1∶1
D.1∶3
解析产生的电动势为E=Blv,由闭合电路欧姆定律得I=,又lb=2la,由电阻定律知Rb=2Ra,故Ia∶Ib=1∶1。
答案C
6.在匀强磁场中,有一个接有电容器的单匝导线回路,如图所示,已知C=30
μF,l1=5
cm,l2=8
cm,磁场以5×10-2
T/s的速率增加,则( )
A.电容器上极板带正电,带电荷量为6×10-5
C
B.电容器上极板带负电,带电荷量为6×10-5
C
C.电容器上极板带正电,带电荷量为6×10-9
C
D.电容器上极板带负电,带电荷量为6×10-9
C
解析电容器两极板间的电势差U等于感应电动势E,由法拉第电磁感应定律,可得E=·l1l2=2×10-4V,电容器的带电荷量Q=CU=CE=6×10-9C,再由楞次定律可知上极板的电势高,带正电,C项正确。
答案C
7.如图所示,竖直平面内有一金属环,半径为a,总电阻为R(指拉直时两端的电阻),磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面,与环的最高点A铰接的长度为2a、电阻为的导体棒AB由水平位置紧贴环面摆下,当摆到竖直位置时,B点的线速度为v,则这时AB两端的电压大小为( )
A.
B.
C.
D.Bav
解析摆到竖直位置时,AB切割磁感线的瞬时感应电动势E=B·2a·v=Bav。由闭合电路欧姆定律得UAB=Bav,故选A。
答案A
8.
如图所示,半径为R的圆形导轨处在垂直于圆平面的匀强磁场中,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里。一根长度略大于导轨直径的导体棒MN以恒定速率v在圆导轨上从左端滑到右端,电路中的定值电阻为r,其余电阻不计。导体棒与圆形导轨接触良好。求:
(1)在滑动过程中通过电阻r的电流的平均值。
(2)MN从左端到右端的整个过程中,通过r的电荷量。
(3)当MN通过圆形导轨中心时,通过r的电流。
解析(1)计算平均电流,应该用法拉第电磁感应定律先求出平均感应电动势。整个过程磁通量的变化为ΔΦ=BS=BπR2,所用的时间Δt=,代入公式
