人教版九年级上册数学 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1．理解并掌握根与系数的关系：
2．会用根与系数的关系、根的判别式解决问题．
一、学习目标
（《小明与小青悄悄话》）
二、创设情景，提出问题
前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：
小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？
小青：什么秘密？
小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
小青：哦？
小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程
的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程
的两根的和呢．
小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄．
问题1．从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0
(x1，x2为已知数)
的两根为x1，x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2
与p，q之间的关系吗？
三、合作探究，形成知识
把方程
(x－x1)(x－x2)＝0
的左边展开，化成一般形式，得方程
x2－
(x1+x2)x＋x1x2＝0，
二次项系数为1，一次项系数
p＝－(x1＋x2)，常数项
q＝
x1x2；
上述方程两根的和、积与系数的关系为：(x1＋x2)
＝－p，x1x2＝q
．
问题2．一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？
三、合作探究，形成知识
一元二次方程根与系数关系的证明：
因为一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a≠0)
的两根是：
由此可得
三、合作探究，形成知识
如果方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)
的两个根是x1
，x2
，
（韦达定理）
注：能用根与系数的关系的前提条件为
b2－4ac≥0．
用语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
三、合作探究，形成知识
那么
一元二次方程的根与系数的关系：
三、合作探究，形成知识
例1．根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1、x2的和与积：
解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15
（2）
x1＋x2＝
，x1x2＝
＝－3
（3）方程化为
4x2－5x＋1＝0
，x1＋x2＝
＝
，x1x2＝
（1）x2－6x－15＝0　　　　　（2）3x2＋7x－9＝0
（3）5x－1＝4x2
四、例题分析，深化提高
四、例题分析，深化提高
在使用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
（1）不是一元二次方程一般形式的要先化成一般形式；
（2）在使用
时，
注意“－”号不要漏写．
例2．已知方程
2x2＋kx－9＝0
的一个根是-3，求另一个根及k的值．
四、例题分析，深化提高
故方程的另一个根为
解：
所以
设已知方程的另一个根是x1，由题意可得
所以
解得
k=3
1．已知m，n是关于x的一元二次方程
x2－3x＋a＝0
的两个解，
若(m－1)(n－1)=－6，则a的值为（
）
A．－10　　　B．4　　　C．－4　　　D．10
2．设a、b是方程
x2＋x－2
015＝0
的两个实数根，则
a2＋2a＋b
的值为（
）
A．2
012　　　B．2
013　　　C．2
014　　　D．2
015
C
C
五、练习巩固，综合应用
3．若方程
x2－3x－1＝0
的两个根为x1、x2，则
的值为（
）
A．3
B．－3
C．
D．
4．已知x=1是方程
x2＋ax＋2＝0
的一个根，则方程的另一个根为_____，a＝______．
B
2
－3
五、练习巩固，综合应用
5．求下列方程两个根
x1、x2的和与积：
（1）x2＋x＝5x＋6　　　　　（2）5x2＋x－5＝0
（3）x2－3x＋2＝10　　　　
（4）7x2－5＝x＋8
解：（1）方程化为
x2－4x－6＝0，x1＋x2＝－(－4)＝4，x1x2＝－6
（2）x1＋x2＝
，x1x2＝
＝－1
（3）方程化为
x2－3x－8＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－8
（4）方程化为
7x2－x－13＝0，x1＋x2＝
＝
，x1x2＝
五、练习巩固，综合应用
①×2－③，得－m＝－8．
∴m＝8．
将m＝8代入①，得n＝－2．
将m＝8，n=－2代入②
，
得k=8×(－2)=－16．
∵当k＝－16时，△＝36－4k＝100＞0，
∴k＝－16．
6．已知关于x的方程
x2－6x＋k＝0
的两个根是m和n，
且3m+2n=20，求k的值．　　　　　　
解：
∵
m，n是方程的两个根，
五、练习巩固，综合应用
∴
7．已知
x1、x2是一元二次方程
x2－3x－1＝0
的两个实数根，
求
x12＋x22＋4x1x2的值．
五、练习巩固，综合应用
根据一元二次方程根与系数的关系可知
x1＋x2＝3，x1x2＝－1；
所以
x12＋x22＋4x1x2＝
(x1＋x2)2＋2x1x2＝9－2＝7．
1．一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)
的两个根是x1
，x2
，
2．用语言叙述：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
两根的积等于常数项与二次项系数的比．
六、课堂小结
那么
再
见