第一章空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设向量a,b,c不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A.{a+b,b-a,a}
B.{a+b,b-a,b}
C.{a+b,b-a,c}
D.{a+b+c,a+b,c}
解析由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底.
答案C
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b-c
D.-a-b+c
解析)-()=-a-b-c.
答案C
3.已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=,向量b=,则不能与a,b构成空间的一个基底的是( )
A.
B.
C.
D.
解析∵a=,b=,
∴(a-b),∴与向量a,b共面,
∴,a,b不能构成空间的一个基底.
答案C
4.在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在线段AC上,且AM=2MC,点N是OB的中点,则=( )
A.a+b-c
B.a-b+c
C.-a+b-c
D.a+b-c
解析),,
(a-c)-a+b=-a+b-c.
答案C
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则= .?
解析如图,)
=)=-a+b+c.
答案-a+b+c
6.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB⊥AC1.
证明设=a,=b,=c,
则=b+c.
所以=a·(b+c)=a·b+a·c,
因为AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,
所以a·b=0,a·c=0,
得=0,故AB⊥AC1.
7.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是上底面A'B'C'D'的中心,取向量为基底的基向量,在下列条件下,分别求x,y,z的值.
(1)=x+y+z;
(2)=x+y+z.
解(1)因为=-,又=x+y+z,
所以x=1,y=-1,z=1.
(2)因为
=)=,
又=x+y+z,
所以x=,y=,z=1.
能力提升练
1.(多选题)若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A.{a,2b,3c}
B.{a+b,b+c,c+a}
C.{a+2b,2b+3c,3a-9c}
D.{a+b+c,b,c}
解析由于a,b,c不共面,易判断A,B,D中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(2b+3c)+(3a-9c)=3(a+2b),故这三个向量是共面的,不能构成基底.
答案ABD
2.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )
A.
B.
C.
D.
解析如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,)=-2),-2).
因为=3=3(),所以OG=OG1.
则)=.
答案A
3.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=αa+βb+γc时,α+β+γ= .?
解析由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,
所以故有α+β+γ=3.
答案3
4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .?
解析如图所示.
设=a,=b,=c,
则
=120°,c⊥a,c⊥b,
因为
=-a+c,
=b+c,
cos<>=
=
=.
答案
5.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=-,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
解连接AN,则.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得
=a+b,
=-=-(a+b),
又=b-c,
故=b-(b-c),
所以=-(a+b)+b-(b-c)=(-a+b+c).
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.
证明:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)A1G⊥平面EFD.
证明(1)设正方体棱长为1,=i,=j,=k,
则{i,j,k}构成空间的一个单位正交基底.
=i+k,
i+k=,∴AB1∥GE.
k+(i+j)=-i-j+k,
∵=(i+k)·=-|i|2+|k|2=0,∴AB1⊥EH.
(2)=-k+j+i,
=i-j,=i+k.
∴
=-|j|2+|i|2=0,∴A1G⊥DF.
=-|k|2+|i|2=0,
∴A1G⊥DE.
又DE∩DF=O,∴A1G⊥平面EFD.
素养培优练
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.
证明设=a,=c,=b,
有a·b=0,a·c=0,b·c=0,
则
=)
=)=)
=(-a+b+c),
=a+b.
∴(-a+b+c)·(a+b)
=(|b|2-|a|2)=0.
∴,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.
∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.(共24张PPT)
1.2 空间向量基本定理
激趣诱思
知识点拨
我们所在的教室是一个立体图形,即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为坐标原点,沿着三条墙缝作射线可以得到三个空间向量.
这三个空间向量是不共面的,那么这个三维立体图与这三个空间向量有什么关系呢?
事实上可以建立一个空间坐标系来研究三维立体图形.
激趣诱思
知识点拨
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在三棱柱ABC-A1B1C1中,可以作为空间向量一个基底的是( )
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.( )
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.( )
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若
不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.( )
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
答案:
(1)× (2)√ (3)√ (4)√
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基底的判断
例1(1)设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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(1)
答案:
C
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反思感悟判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.
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变式训练1若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.
即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
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用基底表示空间向量
例2
思路分析利用图形寻找待求向量与a,b,c的关系→利用向量运
算进行拆分→直至向量用a,b,c表示
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反思感悟用基底表示空间向量的解题策略
1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
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答案:B
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应用空间向量基本定理证明线线位置关系
例3在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=
CD.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
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反思感悟应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
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延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C.
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1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是( )
答案:C
解析:只有选项C中的三个向量是不共面的,可以作为一个基底.
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答案:A
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3.下列说法正确的是( )
A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等
答案:C
解析:A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.
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