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第2课时 空间中直线、平面的垂直
知识点拨
空间中直线、平面垂直的向量表示
微练习
设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( )
A.2
B.-5
C.4
D.-2
答案:B
解析:因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5.
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )
(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )
(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )
答案:
(1)× (2)√ (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量方法证明线线垂直
例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.
思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
证明:(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,
则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用向量方法证明线线垂直的方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;
(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC.
探究一
探究二
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变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:
(1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则
探究一
探究二
探究三
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利用向量方法证明线面垂直
例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
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反思感悟利用空间向量证明线面垂直的方法
(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.
(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.
探究一
探究二
探究三
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变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,
AD=2
,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
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证明:因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则B(4,0,0),P(0,0,4),
探究一
探究二
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利用向量方法证明面面垂直
例3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.
探究一
探究二
探究三
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解:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),A1(2,0,1),
探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.
2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.
探究一
探究二
探究三
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变式训练3如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,
AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=
AD.
求证:平面AMD⊥平面CDE.
分析:因为FA⊥平面ABCD,所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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应用空间向量解答探索性(存在性)问题
立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个:
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论;
(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.
探究一
探究二
探究三
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典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AC=2a,∠ABC=90°,
探究一
探究二
探究三
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(2)存在.理由如下:
假设存在点F,使CF⊥平面B1DF.
探究一
探究二
探究三
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归纳总结空间向量适合解决这类立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.解题时,把要说明成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”“是否有规定范围的解”等,所以使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.
探究一
探究二
探究三
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1.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),则( )
A.l?α
B.l∥α
C.l⊥α
D.l与α相交
答案:C
解析:∵直线l的方向向量为a=(1,-2,3),
平面α的法向量为n=(-3,6,-9),
探究一
探究二
探究三
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2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则( )
A.平面AED∥平面A1FD1
B.平面AED⊥平面A1FD1
C.平面AED与平面A1FD1相交但不垂直
D.以上都不对
答案:B
解析:以D为原点,
分别为x,y,z建立空间直角坐标系,求出平面AED的法向量n1与平面A1FD1的法向量n2.因为n1·n2=0,所以n1⊥n2,故平面AED⊥平面A1FD1.
探究一
探究二
探究三
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3.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是 .?
答案:l⊥β
解析:因为a∥b,所以l⊥β.
探究一
探究二
探究三
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4.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,
∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.
探究一
探究二
探究三
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证明:建立空间直角坐标系,如图,取A(0,0,a),则易得B(0,0,0),第一章空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则( )
A.x=6,y=15
B.x=3,y=
C.x=3,y=15
D.x=6,y=
解析由题意,有a∥b,则,得x=6,y=.
答案D
2.(多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是( )
A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)
解析若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0,
根据选择项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选A,B,C.
答案ABC
3.设a=(3,-2,-1)是直线l的方向向量,n=(1,2,-1)是平面α的法向量,则( )
A.l⊥α
B.l∥α
C.l∥α或l?α
D.l⊥α或l?α
解析∵a·n=0,∴a⊥n,可知l∥α或l?α.
答案C
4.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是 .?
解析∵直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y=(1,0,-1),=(0,1,-1),
∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴∴m=-3.
答案-3
5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.
解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).
设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).
∵=(-1,1,0),
=(-1,0,1),
又∵n为平面ACD1的一个法向量,
∴
∴化简,得
令x=1,得y=z=1.
∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).
6.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.
解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).
由BD∥AC,DC∥AB?,
因此
即点D的坐标为(-1,1,2).
7.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.
证明如图,
设=a,=b,=c,
则=2a,=2b,=2c,
所以=b-a,=c-a,=2b-2a,=2c-2a,
对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=x+y=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x+2y,因此e与共面,即e∥平面DEF,又l?平面DEF,所以l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.
能力提升练
1.设α,β是不重合的两个平面,α,β的法向量分别为n1,n2,l和m是不重合的两条直线,l,m的方向向量分别为e1,e2,那么α∥β的一个充分条件是( )
A.l?α,m?β,且e1⊥n1,e2⊥n2
B.l?α,m?β,且e1∥e2
C.e1∥n1,e2∥n2,且e1∥e2
D.e1⊥n1,e2⊥n2,且e1∥e2
解析对于C,有n1∥n2,则α∥β.故选C.
答案C
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
解析建立如图所示的空间直角坐标系,由图可知平面BB1C1C的法向量n=(0,1,0).
∵A1M=AN=,
∴M,
N,
∴.
∵·n=0,
∴MN∥平面BB1C1C.
答案B
3.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=,已知α∥β,则x+y= .?
解析因为α∥β,所以u∥v.则,
即故x+y=.
答案
4.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z= .?
解析因为=1,-3,-,=-2,-1,-,
又因为a·=0,a·=0,
所以解得
所以x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).
答案2∶3∶(-4)
5.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.
解=(4,2,-2),=(2,4,-2),
设n=(x,y,z)是平面ABC的单位法向量,
则有
取z>0,得x=y=,z=.
故平面ABC的单位法向量为
n=.
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点,点P在棱AA1上,且DP∥平面B1AE,则AP的长为 .?
解析如图,建立分别以AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系.
设AB=a,P(0,0,b),
则A(0,0,0),B1(a,0,1),
D(0,1,0),E.
于是=(a,0,1),
,
=(0,-1,b).
∵DP∥平面B1AE,
∴存在实数λ,μ,使=λ+μ,
即(0,-1,b)=λ(a,0,1)+μ
=.
∴∴b=λ=,
即AP=.
答案
素养培优练
已知M为长方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点,点P在长方体ABCD-A1B1C1D1的面CC1D1D内,且PM∥平面BB1D1D,试探讨点P的确切位置.
解以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
根据题意可设A(a,0,0),B(a,b,0),D1(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0),
则M.
又PM∥平面BB1D1D,根据空间向量基本定理知,必存在实数对(m,n),使得=m+n,
即=(ma,mb,nc),
即解得
则点P的坐标为.
所以点P在平面DCC1D1的边DC的垂直平分线EF上.第一章空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线、平面的垂直
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列说法中,正确的有
( )
A.n1∥n2?α∥β
B.n1⊥n2?α⊥β
C.v∥n1?l∥α
D.v⊥n1?l⊥α
解析∵平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴AB正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴CD都错误.故选AB.
答案AB
2.某直线l的一个方向向量为a=(2,2,-2),平面α的一个法向量为b=(1,1,-1),则( )
A.l⊥α
B.l∥α
C.l?α
D.l⊥α或l∥α
解析∵a=2b,∴a∥b,∴l⊥α.
答案A
3.(多选题)在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是( )
A.=0
B.=0
C.=0
D.=0
解析∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.
又AC⊥BD,AC∩PA=A,
∴BD⊥平面PAC,∵PC?平面PAC,∴PC⊥BD.
故ABD成立.
答案ABD
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF⊥A1D,EF⊥AC
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
解析建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则=(1,0,1),=(-1,1,0),E,0,,F,0,=,-,∴=0,=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又=(-1,-1,1),∴=-3,即EF与BD1平行.
答案B
5.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,则平面α与β的位置关系是 .?
解析a·b=0,所以α⊥β.
答案垂直
6.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为 .?
解析由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由,得=x-1+z=0,
由,得=-2x-z=0,
解得故点P的坐标为(-1,0,2).
答案(-1,0,2)
7.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.
证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).
设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).
所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a).
因为=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以,即A1F⊥C1E.
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.
证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).
易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).
∵=-8+8+0=0,=0,
∴CD⊥AE,CD⊥AP.
∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.
9.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.
证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).
所以=(,1,-2),=(0,0,2),=(0,2,-1).
分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),
则
解得
即解得
不妨取n1=(1,-,0),n2=(,1,2),
因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.
所以平面DEA⊥平面ECA.
能力提升练
1.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为( )
A.,-,4
B.,-,4
C.,-2,4
D.4,,-15
解析∵,∴=0,即3+5-2z=0,得z=4,
又BP⊥平面ABC,∴,
则解得
答案B
2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若点E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是 .?
解析以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E,F,0,0,∴=0,-,-,=(1,1,-1),=(0,-1,1),设平面PBC的一个法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即取y=1,则z=1,x=0,∴n=(0,1,1).
∵=-n,∴∥n,∴EF⊥PBC.
答案垂直
3.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 .?
解析以A为原点,建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),设Q(1,x,0),P(0,0,z),=(1,x,-z),=(-1,a-x,0).
由=0,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.当Δ=a2-4=0,即a=2时,点Q只有一个.
答案2
4.
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.
求证:(1)BC1⊥AB1;
(2)BC1∥平面CA1D.
证明如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC=BC=BB1=2,
则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)因为=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),
所以=0-4+4=0,
因此,故BC1⊥AB1.
(2)由于=(2,0,-2),=(1,1,0),
若设=x+y,
则得解得
即-2,所以是共面向量,因此BC1∥平面CA1D.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1).
设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令z1=1,得x1=a-1,∴n1=(a-1,0,1).
设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则
令y2=1,得x2=-2,z2=-1,
∴n2=(-2,1,-1).
∵平面A1B1P⊥平面C1DE,
∴n1⊥n2,即n1·n2=0.
∴-2(a-1)+0+(-1)=0,∴a=.
故P.
6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.
(1)求证:CD⊥平面PAC;
(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由.
解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.
又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,
所以PA⊥底面ABCD.
∠BAD=90°,
所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),
可得=0,=0,
所以AP⊥CD,AC⊥CD.
又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.
(2)设侧棱PA的中点是E,
则E0,0,,=-1,0,.
设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),
则
因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),
所以
取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).
所以n·=(1,1,2)·-1,0,=0,
所以n⊥.
因为BE?平面PCD,所以BE∥平面PCD.
综上所述,当点E为PA的中点时,BE∥平面PCD.
素养培优练
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是( )
A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD
解析以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),
则=(1,0,1),=(-1,2,0),.
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
则
取z=-2,则x=2,y=1,
所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).
假设DQ⊥平面A1BD,
且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),
则.
因为也是平面A1BD的一个法向量,
所以n=(2,1,-2)与共线,
则成立,
所以
但此关于λ的方程组无解.
故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.
答案D(共48张PPT)
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的
位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量
表示及空间中直线、平面的平行
激趣诱思
知识点拨
牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口.牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.
这是为什么呢?
激趣诱思
知识点拨
一、空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
激趣诱思
知识点拨
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
下列说法中正确的是( )
A.直线的方向向量是唯一的
B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C.直线的方向向量有两个
D.平面的法向量是唯一的
答案:B
解析:由平面法向量的定义可知,B项正确.
激趣诱思
知识点拨
3.空间平面的向量表示式
激趣诱思
知识点拨
4.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是( )
答案:D
激趣诱思
知识点拨
微练习3
A.(-1,2,-1)
B.(1,2,1)
C.(1,2,-1)
D.(-1,2,1)
答案:A
令x=-1,则y=2,z=-1.
即平面ABC的一个法向量为n=(-1,2,-1).
激趣诱思
知识点拨
二、空间中直线、平面平行的向量表示
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则x= ,y= .?
微练习2
若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置关系是 .?
答案:-12 15
答案:平行
解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,
所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
平面法向量及其求法
例1如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
思路分析首先建立空间直角坐标系,然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
解:如图所示建立空间直角坐标系.
依题意可得D(0,0,0),
P(0,0,1),
探究一
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探究四
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当堂检测
反思感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤
(1)设平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
延伸探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?
解:如同例题建系方法,易知平面PAD的一个法向量为n1=(0,1,0),平面PCD的一个法向量为n2=(1,0,0),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
探究一
探究二
探究三
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解:以点A为原点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
探究一
探究二
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利用向量方法证明线线平行
例2在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.
证明:
(方法1)以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
探究一
探究二
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反思感悟要证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.
探究一
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变式训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.
探究一
探究二
探究三
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证明:以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
探究一
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利用向量方法证明线面平行
例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
探究一
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(方法3)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
设正方体的棱长为1,则可求得
探究一
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反思感悟利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
探究一
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变式训练3如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=
,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.
探究一
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证明:建立如图所示的空间直角坐标系.
设AC∩BD=N,连接NE,
又因为NE?平面BDE,AM?平面BDE,
所以AM∥平面BDE.
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利用向量方法证明面面平行
例4如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
思路分析建立空间直角坐标系,设出点Q的坐标,然后可根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线进行证明.
探究一
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探究三
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解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.
设正方体的棱长为1,
探究一
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故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
探究一
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探究三
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反思感悟利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
探究一
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探究三
探究四
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变式训练4在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,
M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
探究一
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证明:建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),B(2,3,0),
探究一
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一题多解——利用向量方法证明面面平行
典例如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
解题提示证明面面平行常用的方法有两种,一是证明它们的法向量共线;二是转化为线面平行、线线平行即可.
探究一
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探究三
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证明:(方法1)设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B'(1,1,1),
D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).
探究一
探究二
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令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1).
所以n1=n2,所以n1∥n2,
故平面AB'D'∥平面BDC'.
即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.
又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.
探究一
探究二
探究三
探究四
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所以n1也是平面BDC'的一个法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
点评建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征,尽可能找到三条两两互相垂直且相交于一点的线段,特别是有垂直关系的一些几何体,如正方体,长方体,直棱柱,有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,其中长方体(或正方体)是最简单的模型.
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1.若不重合的直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),则( )
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1,l2相交但不垂直
D.不能确定
答案:A
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探究二
探究三
探究四
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2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB( )
A.与坐标平面xOy平行
B.与坐标平面yOz平行
C.与坐标平面xOz平行
D.与坐标平面yOz相交
答案:B
解析:因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以
=(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.
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3.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是( )
A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)
D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
答案:D
解析:因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.
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答案:-8
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5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
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证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
探究一
探究二
探究三
探究四
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