(共36张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
激趣诱思
知识点拨
物理中,我们学习了力做功的计算方法.如图所示,一辆小车在力F的作用下向前移动了s个单位长度,力与小车前进方向的夹角为θ,那么力作的功W=|F|·|s|cos
θ,这是一个具体的数,可以为正,为负,也可以为零.
激趣诱思
知识点拨
一、空间向量的夹角
名师点析1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0,共线反向时,夹角为π.
2.对空间任意两个非零向量a,b有:
①
=;②<-a,b>==π-;③<-a,-b>=.
∠AOB
[0,π]
a⊥b
激趣诱思
知识点拨
微练习
在正四面体ABCD中,
的夹角等于( )
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
答案:D
激趣诱思
知识点拨
二、空间向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a,b,则
叫做a,b的数量积,记作 .?
即a·b=|a||b|cos.
特别地,零向量与任意向量的数量积为 .?
2.数量积的运算性质
a·e=|a|cos(e为单位向量)
若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0
若a与b同向,则a·b=|a||b|;
若a与b反向,则a·b=-|a||b|.
|a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时等号成立)
|a||b|cos
a·b
0
激趣诱思
知识点拨
3.向量a在向量b上的投影向量
在空间,向量a向向量b投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos
称为向量a在向量b上的投影向量.
5.数量积的运算律:
(λa)·b= ;a·b= (交换律);?
a·(b+c)= (分配律).
λ(a·b)
b·a
a·b+a·c
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.对空间向量数量积的理解
(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;
(2)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律,即a·b=a·c?b=c,(a·b)·c=a·(b·c)都不成立.
量夹角,特别是两异面直线夹角的问题;
(3)利用关系a⊥b?a·b=0可以证明空间两直线的垂直.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微判断
对不为0的三个实数a,b,c,有(ab)c=a(bc)成立,所以对三个非零向量a,b,c,也有(a·b)c=a(b·c)成立.( )
微练习2
已知空间向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,
则a·(2a-3b)= .?
×
答案:
5
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求空间向量的数量积
例1已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:
思路分析求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟空间向量运算的方法与步骤
方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos并结合运算律进行计算.
(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;
(3)代入a·b=|a||b|cos求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:如图,连接AG并延长,与BC交于点D,
∵点G是底面△ABC的重心,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
利用数量积求夹角
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cos,求出cos=
的值,然后确定的大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
答案:C
解析:设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos
θ+|b|2=0.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2,E,F分别为AB,OC的中点,则向量
所成角的余弦值为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
利用数量积证明垂直问题
例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:OB1⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟利用数量积证明垂直问题的一般方法
将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
利用数量积求距离或长度
例4如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
利用向量的数量积求两异面直线所成角
典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,
AA1=
,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
【答题模板】
第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量,用相关向量表示.
?
第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积.
?
第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.
?
第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)解题时忽视条件∠ABC=90°,从而得不出两两垂直的向量;
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是( )
答案:A
解析:四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是( )
A.重合
B.平行
C.垂直
D.无法确定
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,求证:CC1⊥BD.第一章空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列各命题中,正确的有( )
A.=|a|
B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R)
C.a·(b+c)=(b+c)·a
D.a2b=b2a
解析∵a·a=|a|2,故=|a|,A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故C正确;a2b=|a|2b,b2a=|b|2a,|a|2b与|b|2a不一定是相等向量,故D不正确.
答案ABC
2.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( )
A.-6
B.6
C.3
D.-3
解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.
答案B
3.已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由条件知p·q=0,p2=q2=1,所以a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2-2q2+p·q=1.
答案A
4.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.60°
解析∵a-b与a垂直,∴(a-b)·a=0,
∴a·a-a·b=|a|2-|a||b|cos=1-1××cos=0,
∴cos=.
∵0°≤≤180°,∴=45°.
答案B
5.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
解析因为-2=()+()=,
所以(-2)·()=()·()==0,
所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.
答案B
6.(多选题)如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是( )
A.
B.
C.
D.
解析因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故=0;因为AD⊥AB,AD⊥PA,且PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,故AD⊥PB,则=0;同理可得=0;而PC与AD所成角为∠PCB,显然不垂直.
答案BCD
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则= .?
解析
=||·||·cos<>
=a·a·cos60°=a2.
答案a2
8.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.
解因为,
所以||2==()2
=||2+||2+||2+2+2+2
=62+42+32+2||||cos120°
=61-12=49,
所以||=7,即PC=7.
能力提升练
1.已知在空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析根据已知∠ACD=∠BDC=90°,得=0,
∴=()·+||2+=||2=1,
∴cos<>=,
∴AB与CD所成的角为60°.
答案C
2.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角是( )
A.60°
B.120°
C.30°
D.90°
解析由题意得a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=-e1·e2-2=1-1×1×-2=-,
|a|=,
|b|=.
∴cos==-.
∴=120°.
答案B
3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题,其中正确的有( )
A.()2=3
B.·()=0
C.的夹角为60°
D.正方体的体积为||
解析如图所示,
()2=()2==3;
·()==0;
的夹角是夹角的补角,
而的夹角为60°,故的夹角为120°;
正方体的体积为||||||.
答案AB
4.已知向量a,b,c两两夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|= .?
解析因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×cos60°-4×cos60°+2×cos60°=3,所以|a-2b+c|=.
答案
5.四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1之间的距离为 .?
解析∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,
∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,
∴,
∴=()2
=+2+2+2
=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°=2,
∴||=.
∴点B与点D1两点间的距离为.
答案
6.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN.
解∵+()+)=-,
∴a2-a2cos60°-a2cos60°+a2cos60°=a2,
故||=a,即MN=a.
7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点,试求所成角的余弦值.
解设正方体的棱长为1,=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.
∵=a+b,
=c+a,
∴=(a+b)·
=a·c+b·c+a2+a·b=a2=.
又∵||=,
||=,
∴cos<>=,
∴所成角的余弦值为.
素养培优练
如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.
(1)求证:CE⊥A'D;
(2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值.
(1)证明设=a,=b,=c,
根据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.
∴=b+c,=-c+b-a.
∴=-c2+b2=0,
∴,即CE⊥A'D.
(2)解∵=-a+c,
∴||=|a|,||=|a|,
∵=(-a+c)·c2=|a|2,
∴cos<>=.
∴异面直线CE与AC'所成角的余弦值为.