第二章直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列说法错误的是( )
A.若直线l1⊥l2,则它们的斜率之积互为负倒数
B.若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等
C.若两条直线中,一条直线的斜率存在,而另一条直线的斜率不存在,则两条直线一定垂直
D.两条不重合直线的倾斜角的正弦值相等,则这两条直线平行
解析若两直线垂直,则两直线的斜率之积为-1或其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0,据此知A、C错误;两直线平行,可能两直线斜率都不存在,故B错误;因为60°和120°的正弦值相等,但两直线不平行,所以D错误.
答案ABCD
2.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为( )
A.-1
B.
C.2
D.
解析由kAB=kPQ,得,即m=.
答案B
3.过点(),(0,3)的直线与过点(),(2,0)的直线的位置关系为( )
A.垂直
B.平行
C.重合
D.以上都不正确
解析过点(),(0,3)的直线的斜率k1=;过点(),(2,0)的直线的斜率k2=.因为k1·k2=-1,所以两条直线垂直.
答案A
4.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
解析易知kAB==-,kAC=,
∴kAB·kAC=-1,
∴AB⊥AC,∠A为直角.
答案C
5.(多选题)设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论中正确的是( )
A.PQ∥SR
B.PQ⊥PS
C.PS∥QS
D.RP⊥QS
解析由斜率公式知:
kPQ==-,kSR==-,kPS=,kQS==-4,kPR=,
所以PQ∥SR,PS⊥PQ,RP⊥QS.而kPS≠kQS,
所以PS与QS不平行,
故ABD正确.
答案ABD
6.已知l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2),则直线l1与l2的位置关系是 .?
解析由题意知,k1=tan60°=,k2=,k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.
答案平行或重合
7.经过点M(m,3)和N(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是 .?
解析由题意知,直线MN的斜率存在.
∵MN⊥l,∴kMN=,解得m=.
答案
8.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.
解由斜率公式可得kAB=,
kBC==0,kAC==5.
由kBC=0知直线BC∥x轴,
故BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.
设AB,AC边上高线的斜率分别为k1,k2,
由k1kAB=-1,k2kAC=-1,
即k1=-1,5k2=-1,
解得k1=-,k2=-.
综上可知,BC边上的高所在直线的斜率不存在;
AB边上的高所在直线的斜率为-;
AC边上的高所在直线的斜率为-.
能力提升练
1.已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )
A.(3,4)
B.(4,3)
C.(3,1)
D.(3,8)
解析设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分别为kAB,kDC,kAD,kBC,由题意,得AB∥DC,AD∥BC,
则有kAB=kDC,kAD=kBC,
所以解得m=3,n=4.
所以顶点D的坐标为(3,4).
答案A
2.已知l1,l2不重合,过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线l1与直线l2平行,直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为 .?
解析由题意可得,直线l1的斜率为,直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,
所以=-2,解得m=-8.
由于直线l3的斜率为-,因为l2⊥l3,
所以(-2)·-=-1,解得n=-2,
所以m+n=-10.
答案-10
3.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,点D使直线CD⊥AB,且CB∥AD,则点D坐标为 .?
解析设D(x,y),则kCD=,kAB=3,kCB=-2,kAD=.
∵kCD·kAB=-1,kAD=kCB,
∴
∴即D(0,1).
答案(0,1)
4.(2020浙江嘉兴一中高二检测)直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=;若l1∥l2,则m= .?
解析由根与系数的关系,知k1k2=,
若l1⊥l2,则k1k2==-1,得m=-2;
若l1∥l2,则k1=k2,∴Δ=16-8m=0,得m=2.
答案-2 2
5.已知点A(m-1,2),B(1,1),C(3,m2-m-1).
(1)若A,B,C三点共线,求实数m的值;
(2)若AB⊥BC,求实数m的值.
解(1)因为A,B,C三点共线,且xB≠xC,则该直线斜率存在,
则kBC=kAB,即,
解得m=1或m=1-或m=1+.
(2)由已知,得kBC=,且xA-xB=m-2.
①当m-2=0,即m=2时,直线AB的斜率不存在,此时kBC=0,于是AB⊥BC;
②当m-2≠0,即m≠2时,kAB=,
由kAB·kBC=-1,得=-1,
解得m=-3.
综上,可得实数m的值为2或-3.
素养培优练
已知三个点A(2,2),B(-5,1),C(3,-5),试求第四个点D的坐标,使这四个点构成平行四边形.
解若以AC为对角线,则形成?ABCD1,设D1(x1,y1).
由于BC∥AD1,AB∥CD1,∴kBC=,kAB=.
∴解得即D1(10,-4).
若以BC为对角线,则形成?ACD2B.设D2(x2,y2),
同理可得解得即D2(-4,-6).
若以AB为对角线,则形成?ACBD3.设D3(x3,y3),
同理可得解得即D3(-6,8).
故当点D的坐标为(10,-4)或(-4,-6)或(-6,8)时,这四个点构成平行四边形.(共28张PPT)
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
激趣诱思
知识点拨
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?
激趣诱思
知识点拨
一、两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:
激趣诱思
知识点拨
微思考
对于两条不重合的直线l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?
答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.
微练习
已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= .?
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
激趣诱思
知识点拨
二、两条直线垂直与斜率之间的关系
名师点析“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是 .?
解析:由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.
答案:l1⊥l2
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两直线平行
例1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:
(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);
(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);
(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);
(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).
思路分析:斜率存在的直线求出斜率,利用l1∥l2?k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
则A,B,M不共线.故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟两直线平行的判定及应用
1.判定两直线是否平行时,应先看两直线的斜率是否存在,若都不存在,则平行(不重合的情况下);若存在,再看是否相等,若相等,则平行(不重合的情况下).
2.若已知两直线平行,求某参数值时,也应分斜率存在与不存在两种情况求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为 .?
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
答案:0或1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两直线垂直
例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.
(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.
(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,
则l1⊥l2,满足题意.
综上所述,a的值为0或5.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是 .?
解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).
∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,
∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).
答案:(1,0)或(2,0)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两直线平行与垂直的综合应用
例3如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,
故四边形OPQR为矩形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究1将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.”
解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究2将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标.
(2)证明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的,还要注意排除两直线重合的情况.
(3)判断四边形形状,要依据四边形的特点,并且不会产生其他的情况.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在平行与垂直中的应用
典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.
思路分析:分析题意可知,AB、BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,
则kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.
①若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,
∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为 .?
答案:4
3.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .?
解析:设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,
由题意,得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.
所以直线AD垂直于直线AB与CD,而且直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.
