(共24张PPT)
2.1.1 倾斜角与斜率
激趣诱思
知识点拨
交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值
了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、直线的倾斜角
激趣诱思
知识点拨
名师点析倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
如图所示,直线l的倾斜角为( )
A.45°
B.135°
C.0°
D.不存在
答案:B
微练习2直线x=1的倾斜角α=
.
答案:90°
激趣诱思
知识点拨
二、直线的斜率
1.定义与表示
激趣诱思
知识点拨
2.填表:斜率与倾斜角的对应关系
激趣诱思
知识点拨
微思考1
任何一条直线都有倾斜角吗?任何一条直线都有斜率吗?
答案:任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没有斜率.
微思考2
直线的倾斜角越大,斜率就越大吗?
微练习
已知直线l的斜率k=-1,则其倾斜角α= .?
答案:135°
激趣诱思
知识点拨
三、直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2),则直线的斜率公式为
名师点析1.运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.
2.斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.
3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成
即下标的顺序一致.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于( )
A.2
B.1
D.不存在
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
直线的倾斜角
例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?
思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角
解:由题意画出如下草图.
由图可知:
当α为钝角时,倾斜角为α-90°,
当α为锐角时,倾斜角为α+90°,
当α为直角时,倾斜角为0°.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟直线的倾斜角的求法
求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解析:根据题意,画出图形,如图所示:
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.
答案:D
探究一
探究二
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斜率公式及其应用
例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
思路分析:求直线的斜率?直线的斜率公式.
(2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1.
反思感悟直线斜率的计算方法
(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.
探究一
探究二
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当堂检测
延伸探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
探究一
探究二
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延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?
探究一
探究二
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一题多解——利用斜率解决反射问题
典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.
(方法2)设Q(0,y),如图,点B(4,3)关于y轴的对称点为B'(-4,3),
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法总结光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是( )
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
答案:C
答案:A
探究一
探究二
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3.过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,那么m的值为( )
A.1或4
B.4
C.1或3
D.1
答案:D
探究一
探究二
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答案:60°第二章直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列叙述正确的是( )
A.平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的范围是0°≤α<180°
C.若一条直线的倾斜角为α(α≠90°),则此直线的斜率为tan
α
D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
解析根据斜率的定义知当直线与x轴垂直时,斜率不存在,故A错误,其他选项正确.
答案BCD
2.直线x=tan
60°的倾斜角是( )
A.90°
B.60°
C.30°
D.不存在
解析直线x=tan60°,化为x=,由于直线x=垂直于x轴,因此其倾斜角为90°,故选A.
答案A
3.若经过A(3,m),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m=( )
A.6
B.-6
C.4
D.-4
解析由题意可得tan45°=,即=1,解得m=4,故选C.
答案C
4.若经过点A(2,1),B(1,m)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( )
A.m<1
B.m>1
C.m<-1
D.m>-1
解析由直线l的倾斜角为锐角,可知kAB=>0,即m<1.
答案A
5.如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1B.k3C.k3D.k1解析设直线l1,l2,l3的倾斜角分别是α1,α2,α3,由图可知α1>90°>α2>α3>0°,所以k1<0答案D
6.若直线l的倾斜角α满足≤α≤,则其斜率k的范围为( )
A.1B.-≤k≤-1
C.-≤k≤-
D.≤k≤
解析因为直线l的倾斜角α满足≤α≤,所以斜率k的范围为.
答案C
7.已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是 .?
解析M,N两点的横坐标相同,均为a,故直线MN与x轴垂直,从而直线MN的倾斜角是90°.
答案90°
8.如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率.
解l1的斜率k1=tanα1=tan30°=.
∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,
∴l2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=-.
能力提升练
1.(多选题)下列命题中,错误的是( )
A.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
B.直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan
α
C.直线的斜率为tan
α,则直线的倾斜角是α
D.直线的倾斜角α∈或α∈,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
解析直线的倾斜角α∈或α∈,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误;当α=90°时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈[0,π)时,直线的倾斜角才是α,故C错误;D正确.
答案ABC
2.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则的值等于( )
A.
B.-
C.2
D.-2
解析∵A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,即,即ab=2a+2b,两边同除以ab,得1=,
即.
答案A
3.直线l的斜率k的取值范围为[0,1],则其倾斜角的取值范围是 .?
解析设直线l的倾斜角为θ,则tanθ∈[0,1],
∴θ∈.
答案
4.设P为x轴上的一点,A(-3,8),B(2,14),若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的2倍,则点P的坐标为 .?
解析设点P(x,0),则kPA=,kPB=,
于是=2×,解得x=-5.
答案(-5,0)
5.直线l1,l2均与y轴相交,且关于y轴对称,它们的倾斜角α1与α2的关系是 .?
解析如图,由l1,l2关于y轴对称,得α1=α3,
∵α3+α2=180°,
∴α1+α2=180°.
答案α1+α2=180°
6.已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l过点P,且与线段MN相交.求:
(1)直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)直线l的斜率k的取值范围.
解(1)kPN==-,kPM==1,所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图,
所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°.
(2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
素养培优练
如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,一边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
解在菱形OBCD中,OD∥BC,∠BOD=60°,
所以直线OD,BC的倾斜角相等,都为60°,所以斜率kOD=kBC=tan60°=;
∵CD∥OB,且OB在x轴上,所以直线OB,CD的倾斜角相等,都为0°,
所以斜率kOB=kCD=0;
由菱形的性质知,∠COB=×60°=30°,∠OBD=60°,
所以直线OC,BD的倾斜角分别为30°,120°,
所以两条对角线的斜率分别为:kOC=tan30°=,kBD=tan120°=-.
