(共17张PPT)
2.2.1 直线的点斜式方程
激趣诱思
知识点拨
在平面直角坐标系中,直线l过点P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直线l上不同于P的任意一点,如图所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐标来表示直线l的斜率,
=2,即得方程y=2x+3.
这表明直线l上任一点的坐标(x,y)都满足y=2x+3.那么满足方程y=2x+3的每一组(x,y)所对应的点也都在直线l上吗?
激趣诱思
知识点拨
一、直线的点斜式方程
名师点析1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.
2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是( )
A.2 B.-1
C.3
D.-3
答案:C
答案:不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0).
激趣诱思
知识点拨
二、直线的斜截式方程
名师点析1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线l的斜截式方程是y=-2x+3,则直线l在y轴上的截距为 .?
答案:3
微思考
一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
答案:一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.
激趣诱思
知识点拨
三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直
对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;
l1⊥l2?k1k2=-1.
名师点析两直线的斜率之积为-1,则两直线一定垂直;两条直线的斜率相等,两直线不一定平行,还可能重合.
微练习
已知直线l1:y=x+2与l2:y=-2ax+1平行,则a= .?
探究一
探究二
当堂检测
直线的点斜式方程
例1求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=
x倾斜角的2倍;
(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
思路分析:先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
探究一
探究二
当堂检测
(2)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.
但直线上点的横坐标均为5,
故直线方程可记为x=5.
∵直线过点P(-2,3),
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟点斜式方程的求法
(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.
(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.
探究一
探究二
当堂检测
变式训练1直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方程.
(1)直线l2∥l1;
(2)直线l2⊥l1.
解:(1)由已知直线l1的斜率k1=tan
135°=-1.
因为l2∥l1,所以直线l2的斜率k2=k1=-1.
又直线l2经过点B(-1,4),
代入点斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.
(2)由已知直线l1的斜率k1=tan
135°=-1.
又直线l2经过点B(-1,4),
代入点斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.
探究一
探究二
当堂检测
直线的斜截式方程
例2求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直;
(2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同.
思路分析:写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程.
解:(1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,
所以所求直线斜率为-
.
又直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=-
x-2,即x+3y+6=0.
(2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2.
由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.
由直线方程的斜截式,得y=-2x-2,
即2x+y+2=0.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟斜截式方程的求法
已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接写出直线的方程;已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与y轴上的截距.直线的斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多的直线方程的形式之一.
探究一
探究二
当堂检测
探究一
探究二
当堂检测
1.与直线y=3x+1垂直,且过点(2,-1)的直线的斜截式方程是( )
答案:B
2.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是 .?
答案:(-1,2)
3.直线l的倾斜角为45°,在y轴上的截距为-2的直线方程为 .?
答案:y=x-2
探究一
探究二
当堂检测
4.直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则直线l1的方程为 .?
解析:∵直线l2的斜率k2=3,l1与l2平行,∴直线l1的斜率k1=3.又直线l1过点(3,5),∴l1的方程为y-5=3(x-3),即y=3x-4.
答案:y=3x-4第二章直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.直线y-4=-(x+3)的倾斜角和所经过的定点分别是( )
A.30°,(-3,4)
B.120°,(-3,4)
C.150°,(3,-4)
D.120°,(3,-4)
解析斜率k=-,过定点(-3,4).
答案B
2.过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是
( )
A.y=2x-1
B.y=-2x-1
C.y=-2x+1
D.y=2x+1
解析与直线y=(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C.
答案C
3.直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有( )
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
C.k<0,b>0
D.k<0,b<0
解析如图,
由图可知,k>0,b<0.
答案B
4.斜率为2的直线经过(3,5),(a,7)两点,则a= .?
解析经过点(3,5),斜率为2的直线的点斜式方程为y-5=2(x-3),将(a,7)代入y-5=2(x-3),解得a=4.
答案4
5.直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为 .?
解析设直线l的方程为x-y+m=0,又它在y轴上的截距为4,∴m=4,∴直线l的方程为x-y+4=0.
答案x-y+4=0
6.如图,直线l的斜截式方程是y=kx+b,则点(k,b)在第 象限.?
解析由题图知,直线l的倾斜角是钝角,则k<0.又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上,则b>0,故点(k,b)在第二象限.
答案二
7.当a为何值时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3
(1)平行?(2)垂直?
解由题意可知,=2a-1,=4.
(1)若l1∥l2,则,即2a-1=4,解得a=.
故当a=时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3平行.
(2)若l1⊥l2,则4(2a-1)=-1,解得a=.
故当a=时,直线l1:y=(2a-1)x+3与直线l2:y=4x-3垂直.
8.已知△ABC的顶点坐标分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),试求这个三角形的三条边所在直线的点斜式方程.
解直线AB的斜率kAB==-,且直线AB过点A(-5,0),
∴直线AB的点斜式方程为y=-(x+5),
同理:kBC==-,kAC=,
∴直线BC的点斜式方程为
y-2=-x或y+3=-(x-3),
直线AC的点斜式方程为
y-2=x或y=(x+5).
能力提升练
1.将直线y=(x-2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是( )
A.x+y-2=0
B.x-y+2=0
C.x+y+2=0
D.x-y-2=0
解析∵直线y=(x-2)的倾斜角是60°,
∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°,斜率为-,且过点(2,0).
∴其方程为y-0=-(x-2),即x+y-2=0.
答案A
2.以A(2,-5),B(4,-1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A.2x-y+9=0
B.x+2y-3=0
C.2x-y-9=0
D.x+2y+3=0
解析由A(2,-5),B(4,-1),知线段AB中点坐标为P(3,-3),又由斜率公式可得kAB==2,所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-=-,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-(-3)=-(x-3),即x+2y+3=0.故选D.
答案D
3.在等腰三角形AOB中,|AO|=|AB|,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为( )
A.y-1=3(x-3)
B.y-1=-3(x-3)
C.y-3=3(x-1)
D.y-3=-3(x-1)
解析由对称性可得B(2,0),∴kAB==-3,
∴直线AB的方程为y-3=-3(x-1).
答案D
4.已知直线l过点P(-2,0),直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10,则直线l的方程为 .?
解析设直线l在y轴上的截距为b,则由已知得×|-2|×|b|=10,b=±10.
①当b=10时,直线过点(-2,0),(0,10),斜率k==5.
故直线的斜截式方程为y=5x+10.
②当b=-10时,直线过点(-2,0),(0,-10),斜率k==-5.
故直线的斜截式方程为y=-5x-10.
综合①②可知,直线l的方程为y=5x+10或y=-5x-10.
答案y=5x+10或y=-5x-10
5.已知直线l:5ax-5y-a+3=0,
(1)求证:不论a为何值,直线l总过第一象限;
(2)为了使直线l不过第二象限,求a的取值范围.
(1)证明直线l的方程可化为y-=ax-,由点斜式方程可知直线l的斜率为a,且过定点A,由于点A在第一象限,所以直线一定过第一象限.
(2)解如图,直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间,
kAO==3,直线AP的斜率不存在,故a≥3.
素养培优练
有一个既有进水管,又有出水管的容器,每单位时间进出的水量是一定的,设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水,在随后的30分钟内既进水又出水,得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示,若40分钟后只放水不进水,求y与x的函数关系.
解当0当10≤x≤40时,直线段过点A(10,20)和B(40,30),所以kAB=.此时方程为y-20=(x-10),即y=x+.
当x>40时,由物理知识可知,直线的斜率就是相应进水或放水的速度.设进水速度为v1,放水速度为v2,当0≤x≤10时,是只进水过程,所以v1=2,当10即2+v2=,所以v2=-.
所以当x>40时,k=-,又直线过点B(40,30).此时直线方程为y-30=-(x-40),即y=-x+.当y=0时,x==58.此时,直线过点C(58,0),即第58分钟时水放完.
综上所述可知,y=
