(共21张PPT)
2.2.2 直线的两点式方程
激趣诱思
知识点拨
通过前面的学习,我们知道两点可以确定一条直线,已知两点坐标也可以利用公式得到直线的斜率.如果已知直线上两个定点的坐标,能否得出直线的方程呢?这个方程与这两点坐标有什么关系呢?
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知识点拨
一、直线的两点式方程
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知识点拨
名师点析1.当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.
2.在记忆和使用两点式直线方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标.
3.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P1(1,1),P2(2,3),由两点
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知识点拨
微思考
把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式
(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),对两点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
微练习
已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为 .?
答案:x-y-2=0
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知识点拨
二、直线的截距式方程
名师点析直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
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知识点拨
A.a2 B.b2
C.-b2
D.|b|
答案:C
探究一
探究二
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当堂检测
直线的两点式方程
例1已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:
(1)BC边所在的直线方程;
(2)BC边上中线所在的直线方程.
思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.
探究一
探究二
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反思感悟两点式方程的应用
用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.
探究一
探究二
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当堂检测
延伸探究例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
探究一
探究二
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直线的截距式方程
例2过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )
A.3x+y-6=0
B.x+3y-10=0
C.3x-y=0
D.x-3y+8=0
思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数.
探究一
探究二
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答案:A
反思感悟截距式方程的应用
在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两截距的方程,解得截距的值,从而确定方程.
探究一
探究二
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变式训练1直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.
解:由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程.
探究一
探究二
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变式训练2将变式训练1中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程.
解:设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b.
(1)当a≠0,b≠0时,
若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y-1=0;
若a=-b,则a=-7,b=7,直线方程为x-y+7=0.
(2)当a=b=0时,直线过原点,且过(-3,4),所以直线方程为4x+3y=0.
综上所述,所求直线方程为:
x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.
探究一
探究二
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截距式方程在实际问题中的应用
典例如图,某小区内有一块荒地ABCDE,已知BC=210
m,CD=240
m,DE=300
m,EA=180
m,AE∥CD,BC∥DE,∠C=90°,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?
分析将问题转化为在线段AB上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB的方程.这里设点P的坐标是关键.
探究一
探究二
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解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0),
探究一
探究二
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方法总结二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
探究一
探究二
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1.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是( )
答案:C
探究一
探究二
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2.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为( )
A.2x+y-8=0
B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0
D.2x-y-12=0
答案:A
探究一
探究二
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3.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m= .?
答案:-2
4.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 .?第二章直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)下列语句中不正确的是( )
A.经过定点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过任意两个不同点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
C.不经过原点的直线都可以用方程=1表示
D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示
解析A不正确,该方程无法表示直线x=x0;C不正确,该方程无法表示与坐标轴平行的直线;D不正确,该方程无法表示与x轴垂直的直线,B正确.
答案ACD
2.两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的( )
解析两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同.
答案B
3.过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( )
A.x-y+1=0
B.x-y+1=0或4x-3y=0
C.x+y-7=0
D.x+y-7=0或4x-3y=0
解析当直线过原点时,直线方程为y=x,即4x-3y=0;排除A、C;当直线不过原点时,设直线方程为=1,因为该直线过点P(3,4),所以=1,解得a=7.所以直线方程为x+y-7=0.所以过点P(3,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.故选D.
答案D
4.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1
010,b)在直线l上,则b的值为( )
A.2
019
B.2
020
C.2
021
D.2
022
解析直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1010代入,得b=2021.
答案C
5.经过点A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .?
解析当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;
当a≠1时,由两点式,得,
整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,
在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,
所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.
答案x-(a-1)y+3a-4=0
6.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为 .?
解析设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.
由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=x±2,
即x-2y+4=0或x-2y-4=0.
答案x-2y+4=0或x-2y-4=0
7.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.
解由两点式方程得AB:,
即AB方程为y=-×-.
由两点式方程得BC:,
即BC方程为y=-x+1.
由截距式方程,得AC:=1.
即AC方程为y=x+1.
能力提升练
1.直线x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为( )
A.x-y-1=0
B.x-y-2=0
C.x+y-1=0
D.x+y+1=0
解析令y=0,则x=-1,令x=0,则y=1,∴直线x-y+1=0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0),由直线的截距式方程可知,直线x-y+1=0关于y轴对称的直线方程是x+y=1,即x+y-1=0.
答案C
2.(多选题)经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是( )
A.x+y-3=0
B.x+y+3=0
C.x-y-1=0
D.x-y+1=0
解析由题意设直线方程为=1或=1,
把点(2,1)代入直线方程得=1或=1,
解得a=3或a=1,∴所求直线的方程为=1或=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.
答案AC
3.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy( )
A.无最小值,且无最大值
B.无最小值,但有最大值
C.有最小值,但无最大值
D.有最小值,且有最大值
解析线段AB的方程为=1(0≤x≤3),于是y=41-(0≤x≤3),从而xy=4x1-=-x-2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.
答案D
4.已知直线l过点P(2,1),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为 .?
解析设直线l的截距式方程为=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,
所以=1,即2b+a=ab.
又因为△OAB面积S=|OA|?|OB|=ab,
所以S=ab=(2b+a)≥,
当且仅当2b=a时等号成立,所以ab≥,解这个不等式,得ab≥8.
从而S=ab≥4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.
答案4
5.已知直线l过点P(4,1),
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0.
(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).
令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-.
∴1-4k=24-,解得k=或k=-2.
∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.
6.如图,已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上找一点P,使得|PA|+|PB|的值最小.
解先求出点A关于y轴的对称点A'(-2,5),则|PA|=|PA'|.若使|PA|+|PB|的值最小,则P点为直线A'B与y轴的交点.由两点式得直线A'B的方程为,化简为2x+y-1=0,令x=0,得y=1,故所求点P坐标为P(0,1).
素养培优练
直线过点P,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:
(1)△AOB的周长为12;
(2)△AOB的面积为6.
若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
解设直线方程为=1(a>0,b>0),
若满足条件(1),则a+b+=12.
①
又∵直线过点P,2,∴=1.
②
由①②可得5a2-32a+48=0,
解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.
若满足条件(2),则ab=12,
③
由题意得=1,
④
由③④整理得a2-6a+8=0,
解得
∴所求直线的方程为=1或=1,
即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
综上所述,存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程,为3x+4y-12=0.
