第二章直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.直线x-y+2=0的倾斜角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析由x-y+2=0,得y=x+2.其斜率为1,倾斜角为45°.
答案B
2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则( )
A.C=0,B>0
B.A>0,B>0,C=0
C.AB<0,C=0
D.AB>0,C=0
解析直线l过原点,所以C=0,方程可化为y=-x,直线过二、四象限,所以斜率k=-<0,∴AB>0.
答案D
3.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与直线3x+2y+6=0垂直,则实数a的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
解析由题意知a≠0,直线l的斜率k==-,所以-·-=-1,所以a=-.
答案B
4.已知点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为( )
A.x-y+5=0
B.x-y-3=0
C.x+y-5=0
D.x-y+1=0
解析∵kMH==-1,
∴直线l的斜率k=1,
∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.
答案A
5.如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则( )
A.AB>0,BC<0
B.AB<0,BC>0
C.AB>0,BC>0
D.AB<0,BC<0
解析由题图知,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=->0,于是AB<0;直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-<0,于是BC>0.
答案B
6.在同一直角坐标系中表示直线y=ax与y=x+a,正确的是( )
解析由y=x+a知选项D错误.当a>0时,选项A,B,C错误,当a<0时,选项A,B错误,选项C正确,故选C.
答案C
7.过点P(2,-1)且与直线y+2x-5=0平行的直线方程是 .?
解析设要求的直线方程为2x+y+m=0,
把P(2,-1)代入直线方程可得4-1+m=0,解得m=-3,
∴要求的直线方程为2x+y-3=0.
答案2x+y-3=0
8.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a= .?
解析令x=0,得y=(a-1)×2+a=6,解得a=.
答案
能力提升练
1.(多选题)直线l1:ax-y+b=0与直线l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象可能是( )
解析l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.
在A中,由l1知a>0,b<0,则-b>0,与l2的图象不符;
在B中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;
在C中,由l1知a<0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;
在D中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象不符.
答案BC
2.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为( )
A.(2,-2)
B.(-2,2)
C.(-2,-2)
D.(2,2)
解析设B的坐标为(a,b),由题意可知解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A.
答案A
3.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是( )
A.-4
B.-2
C.2
D.4
解析∵直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,∴(a+3)×1+1×(a-1)=0,∴a=-1,∴直线l1:2x+y+4=0,令y=0,可得x=-2,∴直线l1在x轴上的截距是-2,故选B.
答案B
4.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是 .?
解析由题意知直线斜率k=≥0,
且在y轴上的截距-≤0,解得0≤t≤.
答案0≤t≤
5.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是 .?
解析∵点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,
∴2a1+b1+1=0.
由此可知点P1(a1,b1)的坐标满足2x+y+1=0.
∵点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,∴2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2,b2)的坐标也满足2x+y+1=0.∴过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0.
答案2x+y+1=0
6.已知直线l1:(m+2)x+(m+3)y-5=0和l2:6x+(2m-1)y=5.当m为何值时,有:
(1)l1∥l2?
(2)l1⊥l2?
解(1)由(m+2)(2m-1)=6(m+3),
得m=4或m=-.
当m=4时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即l1与l2重合;
当m=-时,l1:-x+y-5=0,l2:6x-6y-5=0,即l1∥l2.
故当m=-时,l1∥l2.
(2)由6(m+2)+(m+3)(2m-1)=0,得m=-1或m=-.
故当m=-1或m=-时,l1⊥l2.
素养培优练
已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.
(1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1).
(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.
解(1)∵l1过点M(-4,-1),∴-4a+b+4=0.
∵l1⊥l2,∴a×(1-a)+b=0.
∴
(2)由题意可得:两条直线不可能都经过原点,
当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0,
可知两条直线不平行.
b≠0时两条直线分别化为:
y=x+,y=(1-a)x-b,
∴=1-a,=b,
解得(共22张PPT)
2.2.3 直线的一般式方程
激趣诱思
知识点拨
由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是1,经过点A(1,8);
(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;
(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);
(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.
同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为
直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.
激趣诱思
知识点拨
一、直线的一般式方程
1.定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
名师点析(1)解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式,一般作如下约定:x的系数为正,x,y的系数及常数项一般不出现分数,往往按含x项、含y项、常数项顺序排列.
(2)直线的一般式方程可以表示平面内的任意一条直线.
激趣诱思
知识点拨
2.直线的一般式方程与其他形式的互化
激趣诱思
知识点拨
微思考
在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ;化为截距式为?
.?
激趣诱思
知识点拨
二、两条直线的位置关系
激趣诱思
知识点拨
微练习
判断下列两组直线是否平行或垂直:
(1)x+2y-7=0;2x+4y-7=0.
(2)4x-y+3=0,3x+12y-11=0.
解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,
∴两直线平行.
(2)∵4×3+(-1)×12=0,
∴两直线垂直.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
直线的一般式方程
例1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是
,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,
化为一般式方程为4x-y-2=0.
(3)由两点式方程可知,
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟直线的一般式方程的特征
求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
由一般式方程判断两直线平行或垂直
【例2】
(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值;
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.
思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.
解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,
故m的值为2或-3.
(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟由直线的一般式方程解决平行与垂直问题
直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.
求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,
又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.
所求直线方程为3x+4y-14=0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,
又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,
所以直线方程为4x-3y-2=0.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
常见的直线系及其应用
典例已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(方法2)(1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)代入上式得m=-9.
∴所求直线方程为3x+4y-9=0.
(2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.
∴所求直线方程为4x-3y+13=0.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法总结一般地,已知直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则:
(1)与直线l平行的直线系方程都可以设为Ax+By+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;
(2)与直线l垂直的直线系方程都可以设为Bx-Ay+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;
(3)平面上恒过定点P(x0,y0)的直线方程都可以设为中心直线系方程y-y0=k(x-x0)或x=x0的形式.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为( )
A.-1,2
B.-2,2
C.2,-2
D.-2,-2
答案:A
探究一
探究二
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当堂检测
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )
答案:B
探究一
探究二
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当堂检测
3.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 .?
解析:由点斜式方程,得所求直线方程为y-3=2(x-1),整理,得2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .?
解析:∵两直线垂直,
∴1×2-2m=0,m=1.
答案:1
