第二章直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是( )
A.-1,
B.,1
C.1,
D.-1,-
解析联立直线方程:解得
即直线的交点坐标为,1.故选B.
答案B
2.在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.x+2y-4=0
B.x-2y=0
C.2x-y-3=0
D.2x-y+3=0
解析根据点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,可得直线l的斜率为=2,且直线l经过点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点(2,1),故直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
答案C
3.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足坐标为(1,p),则m-n+p的值为( )
A.-4
B.0
C.16
D.20
解析由两条直线互相垂直,得-=-1,m=10.
又垂足坐标为(1,p),代入直线10x+4y-2=0,得p=-2.将(1,-2)代入直线2x-5y+n=0,得n=-12.故m-n+p=20.
答案D
4.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析直线(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,由
故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1),
又点(2,-1)在第四象限,故该直线恒过第四象限.
答案D
5.直线l1:2x-by-6=0与直线l2:x+y+a=0的交点为(2,2),则a+b= .?
解析由于(2,2)为两直线的交点,所以代入直线方程,可得2×2-2b-6=0,2+2+a=0,解得b=-1,a=-4,故a+b=-5.
答案-5
6.直线l经过直线x-2y+4=0和直线x+y-2=0的交点,且与直线x+3y+5=0垂直,求直线l的方程.
解(方法1)由
∴交点坐标为(0,2).又直线l与直线x+3y+5=0垂直,
∴直线l的斜率为3,∴直线l的方程为y-2=3x,即3x-y+2=0.
(方法2)设直线l方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0,
即(λ+1)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0,
因为l与x+3y+5=0垂直,
所以1×(λ+1)+3(λ-2)=0,解得λ=,
代回方程并化简,得l方程为3x-y+2=0.
能力提升练
1.若直线2x+3y+7=0,x-y+1=0和x+my=0相交于一点,则m=( )
A.-
B.
C.-2
D.2
解析由即交点为(-2,-1),代入直线方程x+my=0,解得m=-2.
答案C
2.若直线l:y=kx-与直线x+y-3=0相交,且交点在第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.(0°,60°)
B.(30°,60°)
C.(30°,90°)
D.(60°,90°)
解析由所以两直线的交点坐标为,由交点在第一象限知解得k>,设直线l的倾斜角为α,即tanα>,α是锐角,故30°<α<90°,故选C.
答案C
3.已知直线ax+by-2=0,且3a-4b=1,则该直线必过定点 .?
解析由3a-4b=1,得b=,代入ax+by-2=0,得a(4x+3y)=y+8.令解得
答案(6,-8)
4.已知直线x+y-3m=0和2x-y+2m-1=0的交点M在第四象限,求实数m的取值范围.
解由
故交点M的坐标为.
交点M在第四象限,
得解得-1故m的取值范围是-1,.
5.在△ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0,角A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2).
(1)求点A的坐标;
(2)求直线BC的方程;
(3)求点C的坐标.
解(1)直线x-2y+1=0和直线y=0的交点是(-1,0),即点A的坐标为(-1,0).
(2)∵直线x-2y+1=0为BC边上的高,由垂直关系得kBC=-2,
所以直线BC的方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
(3)∵角A的平分线所在直线的方程为y=0,A(-1,0),B(1,2),∴kAC=-kAB=-1,设点C的坐标为(a,b),则=-1,=-2,
解得a=5,b=-6,即点C的坐标为(5,-6).
素养培优练
在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.
证明建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),F(0,0),
则直线CF的方程为x=0.
由直线的截距式方程可得直线AC的方程为=1,即cx+ay-ac=0.
同理,可得直线BC的方程为cx+by-bc=0.
由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为,由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=(x-a).
同理,得直线BE的方程为y=(x-b).
设直线CF和直线AD交于点O,
由得点O的坐标为0,-.
又O点坐标也满足直线BE的方程,
所以直线BE也过点O.
所以AD,BE,CF三线共点.(共25张PPT)
2.3.1 两条直线的交点坐标
激趣诱思
知识点拨
由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?
激趣诱思
知识点拨
两条直线的交点
1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组
2.
激趣诱思
知识点拨
名师点析如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( )
A.(1,2)
B.(4,1)
C.(3,2)
D.(2,1)
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两条直线的交点问题
例1分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟两直线位置关系的判断方法及应用
涉及两直线交点的问题,通常是先求交点坐标,再进一步解决问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
过两直线交点的直线系方程
例2(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;
(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.
思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点P(1,0)在直线上,
∴1-2+λ(3+2)=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用直线系方程求直线的方程
经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,
x-y-1=0的交点,则直线l的方程为( )
A.2x+y=0
B.2x-y=0
C.x+2y=0
D.x-2y=0
(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对称问题
例3光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟点关于直线的对称点的求法
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.
解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A'(a,b),则
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
一题多解——求直线的方程
典例过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程.
解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.
解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴k=8.
∴所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).
∵点A,B分别在已知两直线上,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.
解法三:∵P(3,0)为线段AB的中点,∴可设A(3+a,b),B(3-a,-b).
∵点A,B分别在已知直线上,
点评:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是( )
A.(-9,-10)
B.(-9,10)
C.(9,10)
D.(9,-10)
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为( )
A.-24
B.24
C.6
D.±6
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为 .?
解析:∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,
∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,
答案:(3,3)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.
证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系
∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).
