第二章直线和圆的方程
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为
( )
A.1
B.-5
C.1或-5
D.-1或5
解析由|AB|==5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.
答案C
2.已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4
B.
C.
D.
解析∵直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,
∴,解得m=2.
∴两条直线方程分别为3x+y-3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y-6=0与6x+2y+1=0.
∴两条直线之间的距离为d=.
答案D
3.(多选题)已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点A的坐标可以是( )
A.(0,-2)
B.(2,4)
C.(0,2)
D.(1,1)
解析直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).综上,点A的坐标为(0,-2)或(2,4),故选AB.
答案AB
4.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
A.3x-y-8=0
B.3x+y+4=0
C.3x-y+6=0
D.3x+y+2=0
解析设P(x,y),则,即3x+y+4=0.
答案B
5.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是
( )
A.3x-2y-6=0
B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0
D.2x+3y+8=0
解析(方法1)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知,
解得C=-6(舍去)或C=8.
故所求直线的方程为2x+3y+8=0.
(方法2)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.
答案D
6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为( )
A.5
B.2
C.5
D.10
解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B'(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB'|==5.选C.
答案C
7.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有 条.?
解析显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由=1得,k=,所以直线方程为4x-3y+2=0,因此满足条件的直线有两条.
答案2
8.两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m= .?
解析根据两平行直线之间的距离公式,得到=1,解得m=±5.
答案±5
9.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.
(1)若点P在直线l1上,且到直线l2的距离为3,求点P的坐标;
(2)若l2∥l3,求l2与l3的距离.
解(1)依题意可设P(t,t),由=3,得|t-1|=5,
解得t=-4或t=6,所以点P的坐标为(-4,-4)或(6,6).
(2)由l2∥l3得a=-4,
∴l2:2x+y-3=0,l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0.
∴l2与l3的距离d=.
10.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).
(1)判断△ABC的形状;
(2)当BC边上的高为1时,求m的值.
解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,
所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.
(2)解方程组即A(2,6).
由点到直线的距离公式得d=.
当d=1时,=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.
所以m的值为25或35.
能力提升练
1.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值可以是( )
A.6
B.8.5
C.10
D.12
解析∵点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,
∴-6≤x≤3.
∵线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点,
∴点P到坐标原点的最近距离为0.
又点(-6,8)在线段上,
∴点P到坐标原点的最远距离为=10.
∴点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10].
对照选择项知ABC均可.
答案ABC
2.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 .?
解析显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;
当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
∵点A,B到l的距离相等,
∴,
∴|1-3k|=|3k-5|,
解得k=1,∴l的方程为x-y-1=0.
综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.
答案x=1或x-y-1=0
3.已知M(1,0),N(-1,0),点P在直线2x-y-1=0上移动,则|PM|2+|PN|2的最小值为 .?
解析∵点P在直线2x-y-1=0上,可设P的坐标为(a,2a-1),
∴|PM|2+|PN|2=(a-1)2+(2a-1)2+(a+1)2+(2a-1)2=10a2-8a+4=10a-2+.
∴|PM|2+|PN|2的最小值为.
答案
4.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为 .?
解析直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B-1,,由两点间的距离公式,得|AB|=.
答案
5.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a= .?
解析由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.
答案3
6.已知Rt△ABC,角B为直角,AB=a,BC=b,建立适当的坐标系,写出顶点A,B,C的坐标,并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.
解取边BA所在的直线为x轴,边BC所在的直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示,则三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,0),C(0,b).由中点坐标公式,得斜边AC的中点M的坐标为.
∴|MA|=,
|MB|=,
|MC|=,
∴|MA|=|MB|=|MC|.
7.在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1解∵A(1,1),C(4,2),
∴|AC|=,直线AC的方程为x-3y+2=0.
根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=,
∴S=|AC|·d=|m-3+2|
=.
∵1∴0≤2<,
∴当m=时,△ABC的面积S最大.
素养培优练
1.已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).则(a+2)2+(b+2)2的取值范围是 .?
解析由(a+2)2+(b+2)2联想两点间的距离公式,设点Q的坐标为(-2,-2),又点P的坐标为(a,b),
则|PQ|=,
于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值.
如图所示,当P与A或B重合时,|PQ|取得最大值,即
,
当PQ⊥AB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0.
则Q点到直线AB的距离d=,所以≤(a+2)2+(b+2)2≤13.
答案,13
2.在x轴上求一点P,使得
(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;
(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.
解(1)如图,设直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,
且|PB|-|PA|=|AB|==5.∵直线BA的斜率kBA==-,
∴直线BA的方程为y=-x+4.
令y=0,得x=,即P,0.故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为,0.
(2)作A关于x轴的对称点A',则A'(4,-1),连接CA',则|CA'|为所求最小值,直线CA'与x轴交点为所求点.
又|CA'|=,
直线CA'的斜率kCA'==-5,
则直线CA'的方程为y-4=-5(x-3).
令y=0,得x=,即P,0.
故距离之和最小值为,此时P点的坐标为,0.(共33张PPT)
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
激趣诱思
知识点拨
在一条笔直的公路同侧有两个村庄A和B,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便两村人民的出行.如何选址能使站点到两个村的距离之和最小?
激趣诱思
知识点拨
一、两点间的距离公式
1.已知平面上两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),那么这两点间的距离为
名师点析1.两点间的距离与这两点的先后顺序无关,即上述公式也
2.(1)当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.
(2)当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|= .?
激趣诱思
知识点拨
二、点到直线的距离
1.概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
2.公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离
名师点析1.运用公式前首先应把直线方程化为一般式.
2.注意公式特征,分子绝对值符号里面是把坐标(x0,y0)代入直线方程的左边得到的.当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.
激趣诱思
知识点拨
微练习
原点到直线x+2y-5=0的距离为( )
答案:D
微思考
点P(x0,y0)到x轴,y轴,直线y=a,x=b的距离分别是什么?
答案:到x轴的距离d=|y0|,到y轴的距离d=|x0|,到y=a的距离d=|y0-a|,到x=b的距离d=|x0-b|.
激趣诱思
知识点拨
三、两条平行直线间的距离
1.概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.
2.求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
名师点析两条平行线间距离公式适用于两条直线的方程都是一般式,并且x,y分别对应的系数一模一样的情况,如果两平行直线的方程中x,y的系数对应不同,必须先等价化为系数对应相同才能套用公式.
激趣诱思
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微练习
两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为( )
答案:A
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探究二
探究三
探究四
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两点间距离公式的应用
例1已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
思路分析:可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.
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反思感悟两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.
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变式训练1已知点A(-3,4),B(2,
),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
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坐标法及其应用
例2如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
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证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,
∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
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反思感悟坐标法及其应用
1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;
(2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.
2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:
(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;
(2)用坐标表示有关的量;
(3)将几何关系转化为坐标运算;
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
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变式训练2已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.
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求点到直线的距离
例3求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
思路分析:当直线与坐标轴不平行时,直接代入公式求得距离;当直线与坐标轴平行时,可以数形结合求解.
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(方法2)∵直线x=2与y轴平行,
∴由图知d=|-1-2|=3.
(方法2)∵直线y-1=0与x轴平行,
∴由图知d=|2-1|=1.
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反思感悟点到直线距离的求法
求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再代入公式.如果直线垂直于坐标轴,那么可结合图形求解.
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延伸探究已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为 .?
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两平行线间的距离
例4(1)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
A.-2
B.-6
C.2
D.0
思路分析:(1)首先利用两直线平行求出参数m的值,将两直线方程对应系数化为相同,然后代入距离公式求值;(2)首先将两直线方程系数化为相同,然后代入距离公式,建立a,c的方程组求解.
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即m=4.
所以对应直线方程为6x+4y+1=0.
又直线3x+2y-3=0可化为6x+4y-6=0,
答案:(1)D (2)A
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反思感悟求两条平行直线间的距离的两种思路
1.利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
2.利用两条平行直线间的距离公式求解.
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变式训练3已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是
,求l1的方程.
解:(方法1)∵l1∥l2,
∴可设l1的方程为x+y+c=0.
∴c=1或c=-3.
∴l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(方法2)∵l1∥l2,∴可设l1的方程为x+y+c=0.
|c+1|=2.∴c=1或c=-3.
从而l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
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一题多解——求直线的方程
典例求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)距离相等的直线方程.
解:(方法1)由题意可得kAB=-
,线段AB的中点为C(1,1),满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行.
当直线过线段AB的中点时,由于M与C点的纵坐标相同,所以直线MC的方程为y=1;
综上,所求直线的方程为y=1或x+2y=0.
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(方法2)显然所求直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+b,根据条件
故所求直线方程为y=1或x+2y=0.
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方法总结解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条,根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,但设所求直线的方程时,要注意考虑直线的斜率是否存在.
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1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A',则|AA'|为( )
答案:A
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2.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为( )
答案:A
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3.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为( )
答案:C
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4.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=( )
解析:依题意设A(a,0),B(0,b),
∵P(2,-1)为线段AB的中点,
∴a=4,b=-2.
∴A(4,0),B(0,-2).
答案:A
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5.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( )
答案:C
