第二章直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2+4x-2y-5=0
B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y=0
D.x2+y2-4x+2y=0
解析设直径的两个端点分别为A(a,0),B(0,b),圆心为点(-2,1),由线段中点坐标公式得=-2,=1,解得a=-4,b=2.∴半径r=,∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.
答案C
2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )
A.-1
B.1
C.3
D.-3
解析将圆x2+y2+2x-4y=0化为标准方程(x+1)2+(y-2)2=5,可得圆心(-1,2).
∵直线3x+y+a=0过圆心,
∴将(-1,2)代入直线3x+y+a=0,可得a=1.
答案B
3.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-4x+6y+8=0
B.x2+y2-4x+6y-8=0
C.x2+y2-4x-6y=0
D.x2+y2-4x+6y=0
解析易知圆C的半径为,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13,展开得一般方程为x2+y2-4x+6y=0.
答案D
4.已知三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.10
B.4
C.5
D.
解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圆M过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得解得即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0,即为(x-1)2+(y+2)2=25,圆心(1,-2)到原点的距离为.故选D.
答案D
5.圆C:x2+y2+4x-2y+3=0的圆心是 .半径是 .?
解析由圆C:x2+y2+4x-2y+3=0,得(x+2)2+(y-1)2=2,∴圆C的圆心坐标为(-2,1),半径为.
答案(-2,1)
6.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为 .?
解析设M(x,y),则P(x,2y).
∵点P(x,2y)在圆x2+y2=4上,∴x2+4y2=4.
答案x2+4y2=4
7.若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆面积最大时,圆心坐标为 .?
解析将圆的方程配方得x+2+(y+1)2=-k2+1,即r2=1-k2>0,∴rmax=1,此时k=0.
∴圆心为(0,-1).
答案(0,-1)
8.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程.
解设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.
∴圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,
∴圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E.
由题知x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2,
∴D+E=-2.
①
又A(4,2),B(-1,3)在圆上,
∴16+4+4D+2E+F=0,
②
1+9-D+3E+F=0.
③
由①②③解得D=-2,E=0,F=-12.
故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.
能力提升练
1.曲线x2+y2+2x-2y=0关于( )
A.直线x=轴对称
B.直线y=-x轴对称
C.点(-2,)中心对称
D.点(-,0)中心对称
解析原方程化为(x+)2+(y-)2=4,表示以(-)为圆心,半径长为2的圆.又圆过原点,故原点与圆心的连线方程为y=-x,圆关于此直线轴对称,故应选B.
答案B
2.(多选题)若点(1,-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外,则下列可能为m值的有( )
A.
B.
C.
D.1
解析x2+y2-x+y+m=0可化为x-2+y+2=-m,
则-m>0,解得m<.
因为点(1,-1)在圆外,所以1+1-1-1+m>0,
即m>0,所以0答案AB
3.已知点P(5,3),点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动,则|PM|的最大值为 .?
解析圆x2+y2-4x+2y+4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=1,圆心为C(2,-1),半径为1,
∴|PC|==5,
∴|PM|的最大值为5+1=6.
答案6
4.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,则圆C的一般方程为 .?
解析因为圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C-,-在直线x+y-1=0上,
所以--1=0,即D+E=-2,
①
又r=,所以D2+E2=20,
②
联立①②可得,
又圆心在第二象限,所以-<0,D>0,
所以
所以所求的圆的方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
答案x2+y2+2x-4y+3=0
5.圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(8,0),求线段PQ中点M的轨迹方程.
解(1)(方法1)直线AB的斜率k==-1,
所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.
线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=,y=.因此,直线m的方程为y-=x-,即x-y-1=0.
又圆心在直线l上,所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程组解得
所以圆心坐标为C(3,2).
又半径r=|CA|=,
则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(方法2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意得解得
所以所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)设线段PQ的中点M(x,y),P(x0,y0),
则解得
将P(2x-8,2y)代入圆C的方程中,得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ中点M的轨迹方程为x-2+(y-1)2=.
素养培优练
设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.
(1)求圆M的方程.
(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.
解(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0),
∴
解得D=0,E=3-a,F=-3a.
∴圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0.
(2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由
解得x=0,y=-3.
∴圆M过定点(0,-3).(共25张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
激趣诱思
知识点拨
前面我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来深入研究这一方面的问题.
激趣诱思
知识点拨
2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.
3.几个常见圆的一般方程
(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),
(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);
(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);
(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);
(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是 .?
答案:(3,0)
(2)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F= .?
答案:4
微思考
二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?
答案:(1)A=C,且均不为0;
(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
激趣诱思
知识点拨
二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题
1.已知点M(x0,y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
2.点M的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程.( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
圆的一般方程的概念
例1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.
思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求圆的一般方程
例2圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.
思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定系数法求解.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①
3D+4E+F=-25.②
令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则
x1+x2=-D,x1x2=F.
∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,
即D2-4F=36.③
由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.
故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟圆的方程的求法
求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是 .?
解得D=E=-4,F=-2,即所求圆的一般方程是
x2+y2-4x-4y-2=0.
答案:x2+y2-4x-4y-2=0
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求动点的轨迹方程
例3已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.
思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.
解:设另一端点C的坐标为(x,y).
依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
又因为A,B,C为三角形的三个顶点,
所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,
所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,所以
反思感悟求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;
2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究求本例中线段AC中点M的轨迹方程.
解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,
∴C(2x-4,2y-2).
∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求轨迹方程的三种常用方法
求轨迹方程是解析几何中的常见问题,求轨迹方程主要用下面三种常见方法.
1.直接法.
典例1两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,
设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,
化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4
点评:本题的解法中,设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称为直接法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.相关点法.
典例2已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.
解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,∴A为线段MB的中点,
化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
点评:相关点法解决以下类型的轨迹:动点M随点A的变化而变化,而点A在某条曲线上变化,这时,设M(x,y),A(x0,y0),用x,y表示x0,y0,把x0,y0的表达式代入已知曲线的方程中,即得动点M(x,y)的轨迹方程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.参数法
典例3已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为
的线段AB在直线l上移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.
当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,
当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得
当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,
∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
点评:当动点的变化是由某个量的变化决定的,可以设这个量为参数,用参数表示动点坐标,消去参数,就能得到动点轨迹方程.这种方法就是参数法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为( )
A.圆心为(1,2)的圆
B.圆心为(2,1)的圆
C.圆心为(-1,-2)的圆
D.不表示任何图形
解析:因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D.
答案:D
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于( )
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是
.?
整理,得x2+y2-8x=0.
故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.
答案:x2+y2-8x=0
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程.
解:设这个圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组
所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
