第二章直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)
( )
A.是圆心
B.在圆上
C.在圆内
D.在圆外
解析∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.
答案C
2.已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29
B.(x+1)2+(y-3)2=116
C.(x-1)2+(y+3)2=29
D.(x-1)2+(y+3)2=116
解析因为A(-4,-5),B(6,-1),所以线段AB的中点为C(1,-3),所求圆的半径r=|AB|=,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C.
答案C
3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是( )
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
解析根据圆心在直线x+y-2=0上可排除B,D.再把点B的坐标代入A,C选项中,可得C正确.
答案C
4.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.x+2+y2=
解析设M(x0,y0)为圆上的动点,则有=1,设线段MA的中点为P(x,y),则x=,y=,
∴x0=2x-3,y0=2y,代入=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.
答案C
5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .?
答案(2,-3)
6.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为 .?
解析圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.
答案x2+(y+1)2=5
7.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是 .?
解析由题意得A(0,3),B(-4,0),AB的中点-2,为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-2=.
答案(x+2)2+y-2=
8.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围:
(1)点A在圆的内部;
(2)点A在圆上;
(3)点A在圆的外部.
解(1)∵点A在圆的内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,
即2a+5<0,解得a<-.
故a的取值范围是.
(2)将点A(1,2)坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,解得a=-.
(3)∵点A在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,即2a+5>0,解得a>-.
故a的取值范围是.
能力提升练
1.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( )
A.,-4
B.-,4
C.,4
D.-,-4
解析因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.
答案A
2.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是( )
A.
B.
C.-
D.-
解析过P可作圆的两条切线,说明点P在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m)2>1,解得m>或m<-,对照选项知AD可能.
答案AD
3.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.-∞,-∪,+∞
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析(方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.
过A,B两点的直线方程为y=x+,
即ax-4y+2a=0,令d==1,
化简后,得3a2=16,解得a=±.再进一步判断便可得到正确答案为C.
(方法2)(数形结合法)
如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=,再由图直观判断,故选C.
答案C
4.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是 .?
解析由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.
答案5
5.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是?
.?
解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.
答案(x+1)2+(y-2)2=5
6.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
解(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-2.又因为点T(-1,0)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.
(2)由解得所以点A的坐标为(0,-2),
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1),所以M为矩形外接圆的圆心.
又|AM|=,
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.
素养培优练
若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的方程.
解(方法1)设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径r=.当a=时,rmin=.
故所求圆的方程为x-2+y-2=.
(方法2)易知,圆的半径的最小值就是原点O到直线y=-2x+3的距离.
如图,此时r=.
设圆心为(a,-2a+3),
则,
解得a=,从而圆心坐标为.故所求圆的方程为x-2+y-2=.(共24张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
激趣诱思
知识点拨
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有诗道:“明月四时有,何事喜中秋?瑶台宝鉴,宜挂玉宇最高头;放出白豪千丈,散作太虚一色.万象入吾眸,星斗避光彩,风露助清幽.”如果把天空看作一个平面,在上面建立一个平面直角坐标系,那么月亮的坐标方程如何表示?
激趣诱思
知识点拨
一、圆的标准方程
名师点析(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.
激趣诱思
知识点拨
微练习
圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
二、点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设
激趣诱思
知识点拨
微练习
点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是( )
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.以上都不对
解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.
答案:B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
求圆的标准方程
例1求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:(方法1)设点C为圆心,
∵点C在直线:x-2y-3=0上,
∴可设点C的坐标为(2a+3,a).
又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟圆的标准方程的两种求法
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解——解方程组,求出a,b,r;
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:
(1)周长最小的圆的方程;
(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
(1)解:当AB为直径时,过点A、B的圆的半径最小,从而周长最小,即
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
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点与圆的位置关系
例2(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )
A.点P在圆内
B.点P在圆外
C.点P在圆上
D.不确定
思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.
探究一
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素养形成
当堂检测
答案:(1)B (2)[0,1)
反思感悟点与圆的位置关系及其应用
点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.
探究一
探究二
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变式训练2若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )
A.a<-1或a>1
B.-1
C.0D.a=±1
解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,
故-1答案:B
探究一
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代入法求解与圆有关的轨迹问题
典例已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:(1)设AP的中点为M(x0,y0),
由中点坐标公式可知点P坐标为(2x0-2,2y0).
因为点P在圆x2+y2=4上,
所以(2x0-2)2+(2y0)2=4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
(2)设PQ的中点为N(x',y').
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2.
所以x'2+y'2+(x'-1)2+(y'-1)2=4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
探究一
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素养形成
当堂检测
反思感悟求与圆有关的轨迹方程的方法
(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;
(2)定义法:根据圆的定义写出方程;
(3)几何法:利用圆的性质列方程;
(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.
由于平行四边形的对角线相交于一点,
又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.
因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,
探究一
探究二
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当堂检测
1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是( )
A.5
B.3
C.4
D.2
答案:A
探究一
探究二
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当堂检测
2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y+3)2=25
B.(x+2)2+(y-3)2=65
C.(x+2)2+(y-3)2=53
D.(x-2)2+(y+3)2=13
答案:D
探究一
探究二
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当堂检测
3.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是 .?
解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10).
答案:(0,10)
4.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为 .?
解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.
答案:(x-2)2+y2=5