第二章直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知直线l:ax-y-a+3=0和圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,则直线l和圆C的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.都有可能
解析把圆的方程化为(x-2)2+(y-1)2=9,直线方程化为a(x-1)=y-3恒过定点(1,3),而(1,3)在圆C的内部,则直线l和圆C相交,故选A.
答案A
2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12
B.2或-12
C.-2或-12
D.2或12
解析圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,
可化为(x-1)2+(y-1)2=1.
由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或b=12,故选D.
答案D
3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是( )
A.6
B.3
C.2
D.8
解析∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.
答案A
4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为( )
解析由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.
答案ABD
5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不存在
解析由题意知,=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.
答案B
6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.-
B.-
C.-
D.-或-
解析由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为:y+3=k(x-2),
即kx-y-2k-3=0.
又因为反射光线与圆相切,所以=1,
整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-,或k2=-.
答案D
7.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为 .?
解析由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,
得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,
又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,
由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,
根据勾股定理得|PB|==4.则切线长为4.
答案4
8.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2
m,水面宽12
m,当水面下降1
m后,水面宽为
m.?
解析以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示:
由题意可知:设圆的方程为:x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:
x2+(y+10)2=100,当水面下降1m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=,
所以此时水面宽2m.
答案2
9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.
解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,
设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
根据点到直线的距离公式,得<1,
即k2<,解得-
即为直线l斜率的取值范围.
能力提升练
1.若点(a,b)是圆x2+y2=r2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是( )
A.相离
B.相切
C.相交且不过圆心
D.相交且过圆心
解析由题意,得a2+b2>r2,
从而圆心(0,0)到直线的距离为d=∈(0,r),
所以直线与圆相交但不过圆心.
答案C
2.(多选题)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是( )
A.-1
B.-
C.
D.
解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线与圆有公共点,需≤1,所以|2k|≤,得k2≤,所以-≤k≤,对照选项知B,C适合.
答案BC
3.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
A.[2,6]
B.[4,8]
C.[,3]
D.[2,3]
解析设圆心到直线AB的距离d==2.
点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.
又AB=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',
∴2≤S△ABP≤6.
答案A
4.由直线y=x-1上的一点向圆C:x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为( )
A.1
B.
C.
D.2
解析在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为.故|PA|的最小值为=1.
答案A
5.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 .?
解析如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.
∴直线l的斜率的取值范围为.
答案
6.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约 秒(精确到0.1).?
解析以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),
可得出直线PQ的方程y-10+t=(x-10),
圆O的方程为x2+y2=1,
由直线PQ与圆O有公共点,可得≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤,而≈4.4,
因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.
答案4.4
7.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,
(1)求圆C的方程;
(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.
解(1)依题意知:圆C的半径r==3,
圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)2+y2=9.
(2)∵直线l2平行于l1,直线l1的方程为x-2y+4=0,
∴设直线l2的方程为x-2y+C=0,
又∵弦长MN=4,圆的半径为3,故圆心C到直线l2的距离d=,
∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,
∴直线l2的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0.
8.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.
解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|2-a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得
L=2=2=2.
∵0(2)∵直线l与圆C相切,则有=2,
即|m-2a|=2.
∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,
∴2a-m=2,∴m=(-1)2-1.
∵0∴m∈[-1,8-4].
素养培优练
如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切.
(1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
(2)当公路PQ长最短时,求OQ的长.
解(1)以O为原点,直线l,m分别为x,y轴建立平面直角坐标系.
设PQ与圆A相切于点B,连接AB,以1千米为单位长度,则圆A的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
由题意可设直线PQ的方程为=1,即bx+4y-4b=0(b>2),
∵PQ与圆A相切,∴=1,解得b=3,
故当P距O处4千米时,OQ的长为3千米.
(2)设P(a,0),Q(0,b)(a>2,b>2),
则直线PQ方程为=1,即bx+ay-ab=0.
因为PQ与圆A相切,所以=1,
化简得ab-2(a+b)+2=0,即ab=2(a+b)-2;
因此PQ=
=.
因为a>2,b>2,所以a+b>4,于是PQ=(a+b)-2.又ab=2(a+b)-2≤,解得0因为a+b>4,所以a+b≥4+2,
PQ=(a+b)-2≥2+2,当且仅当a=b=2+时取等号,
所以PQ最小值为2+2,此时a=b=2+.
答:当P,Q两点距离两公路的交点O都为2+(千米)时,新建公路PQ最短.(共25张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
激趣诱思
知识点拨
海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际,一轮红日慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着斑斓的霞光和迷人的风采.
这个过程中,太阳看作一个圆,海天交线看作一条直线,日出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.
激趣诱思
知识点拨
直线与圆的位置关系的判断方法
直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断
激趣诱思
知识点拨
名师点析几何法更为简洁和常用.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.相切或相交
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
判断直线与圆的位置关系
例1已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,直线与圆
(1)有两个公共点;
(2)只有一个公共点;
(3)没有公共点?
思路分析:可联立方程组,由方程组解的个数判断,也可求出圆心到直线的距离,通过与半径比较大小判断.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(方法1)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简、整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟直线与圆的位置关系的判断方法
直线与圆的位置关系反映在三个方面:一是点到直线的距离与半径大小的关系;二是直线与圆的公共点的个数;三是两方程组成的方程组解的个数.因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直线与圆相切
例2过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
思路分析:利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程.
解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)若直线斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,
这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟切线方程的求法
1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-
,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.
2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解
设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究过点Q(3,0)作圆x2+y2=4的切线,求此切线方程.
探究一
探究二
探究三
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直线与圆相交
例3求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
思路分析:解法一求出直线与圆的交点坐标,解法二利用弦长公式,解法三利用几何法作出直角三角形,三种解法都可求得弦长.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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素养形成
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反思感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半
探究一
探究二
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探究一
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延伸探究已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2
,求圆C的标准方程.
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探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∴两直线交点为(2,1).
设直线l的斜率为k1,∵l与x+y-2=0垂直,
∴k1=1,
∵l过点(2,1),∴l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0;
探究一
探究二
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一题多解——直线与圆相切和光的反射
典例自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.
分析l过点A,欲求其方程需求斜率k或与x轴的交点B.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法2)已知圆C:x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为
C1:(x-2)2+(y+2)2=1,其圆心C1的坐标为(2,-2),半径为1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆C1相切.
则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
(方法3)设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等,且后者与已知圆相切,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
点评本题是方程思想的典型应用,考查的重点在于设置怎样的未知数,依怎样的性质列方程,方法1、方法2属常规方法,方法3设置两个未知数,体现了列方程的方法在具体运用时的灵活性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是( )
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是( )
答案:B
3.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为 .?
答案:2x+y-5=0
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .?