(共28张PPT)
2.5.2 圆与圆的位置关系
激趣诱思
知识点拨
“打水漂”游戏别名轻功水上漂、七点漂、漂瓦,是用扁形瓦片或石片,在手上呈水平放置后,用力飞出,石片擦水面飞行,石片碰水面后弹起再飞,石片不断在水面上向前弹跳,直至沉水.在这一过程中,石片与水面接触形成了一个个逐渐扩大的圆,这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?
激趣诱思
知识点拨
圆与圆的位置关系的判定方法
1.几何法:
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)判断下列两圆的位置关系:
①(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.
②x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.
解:①根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距
因为d=r1+r2,所以两圆外切.
②将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,
故两圆的半径分别为r1=4和r2=6.
两圆的圆心距
激趣诱思
知识点拨
(2)两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
判断两圆的位置关系
例1已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:
(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含?
思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:圆C1,C2的方程,经配方后可得
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5,即3
(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当|C1C2|<3,即0探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;
(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究若两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为 .?
答案:121或1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两圆相交问题
例2已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.
(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
①-②,得x-y+4=0.
∵A,B两点坐标都满足此方程,
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟相交弦及圆系方程问题的解决
1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线
x-y+c=0上,则m+c的值为 .?
∴AB的中点坐标为(3,1).
AB的中点在直线x-y+c=0上,
∴3-1+c=0,∴c=-2,
∴m+c=5-2=3.
答案:3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两圆相切问题
思路分析:设圆的方程,利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得.
解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究1将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,-
)的圆的方程”,如何求?
解:因为圆心在x轴上,
所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究2将本例改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,试求实数m的值.
反思感悟处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性,即必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.
(2)转化思想,即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
圆系方程
经过两个圆的公共点可作无数个圆,这无数个圆可组成一个圆系.与已知圆有相同圆心的圆也可以组成一个圆系,等等.常见圆系方程有如下几种:
1.过直线与圆的交点的圆系:过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0;特别地,当直线与圆相切于点P时,上述方程表示与直线和圆都相切于点P的圆.
2.过两个圆的交点的圆系:过两圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),此圆系不含圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.同心圆系:与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0;或表示为与已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2同心的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=R2(其中a,b为定值).
对圆系方程可作以下推广:对过两已知圆交点的圆系方程,当λ=-1时,得到(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,此为两圆公共弦所在直线方程.因此,如果两圆相交,两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在直线的方程.由此可推广:经过两曲线f(x,y)=0,g(x,y)=0交点的曲线系方程为f(x,y)+λg(x,y)=0
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例1一圆过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点,且圆心在y轴上,则这个圆的方程是( )
A.x2+y2-4x-4y+6=0
B.x2+y2+4y-6=0
C.x2+y2-2x=0
D.x2+y2+4x-6=0
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例2已知两个圆C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
点评圆与直线相切的问题可利用圆心到切线的距离等于半径列等式.求经过两圆交点的圆可考虑圆系,但要考虑λ≠-1,另外由于圆系中不包括圆x2+y2=4,因此应检验圆x2+y2=4是否也满足条件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
解析:圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.
圆x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)点为圆心,以R2=3为半径的圆.
∵|O1O2|=
,
∴R2-R1<|O1O2|∴圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0相交.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是
.?
解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.
答案:4x+3y-2=0
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( )
A.(x-4)2+(y-6)2=16
B.(x±4)2+(y-6)2=16
C.(x-4)2+(y-6)2=36
D.(x±4)2+(y-6)2=36
解析:设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6.
由题意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.
若b=6,则a=±4;若b=-6,则a无解.
故所求圆方程为(x±4)2+(y-6)2=36.
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a等于 .?
解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2.
圆C2可化为(x-a)2+y2=1,即圆心C2(a,0),半径r2=1,若两圆内切,需
答案:±1第二章直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.两个圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析两圆方程化为C1:(x+1)2+(y+1)2=4,C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(-1,-1)和(2,1),半径均为2,圆心距d=<2+2,且d>2-2,∴两圆相交,因此两圆有2条公共线.
答案B
2.圆:x2+y2-2x-2y=0和圆:x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x+y+3=0
B.x-y+2=0
C.x+y-2=0
D.2x-y-1=0
解析AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.
答案C
3.(多选题)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是( )
A.(x+2)2+(y+2)2=9
B.(x-2)2+(y+2)2=9
C.(x-2)2+(y-2)2=25
D.(x-2)2+(y+2)2=49
解析由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2.
A项,圆心C1(-2,-2),半径r1=3.
∵|C1C|=∈(r1-r,r1+r),
∴两圆相交;B项,圆心C2(2,-2),半径r2=3,
∵|C2C|=5=r+r2,
∴两圆外切,满足条件;
C项,圆心C3(2,2),半径r3=5,
∵|C3C|=3=r3-r,∴两圆内切;
D项,圆心C4(2,-2),半径r4=7,
∵|C4C|=5=r4-r,∴两圆内切.
答案BCD
4.若点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为( )
A.3
B.2
C.1
D.4
解析|PQ|的最小值应为圆心距减去两圆半径,
即(|PQ|)min=|OC|-2=3-2=1.
答案C
5.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是( )
A.-16
B.-9
C.11
D.12
解析化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为;
圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.
要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>+1或|C1C2|<-1,
即5>+1或5<-1,
解得-2511.
∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).
满足这一范围的有A和D.
答案AD
6.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是 .?
解析两圆的连心线的长为d=.
∵两圆相外离,∴d>+1,
∴a2+b2>3+2.
答案a2+b2>3+2
7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是 .?
解析∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,
则|C1C2|==2,
∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切.
答案外切
8.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程;
(2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为2的圆的方程.
解(1)过点P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0,
由求得
即圆心C(1,-2),半径r=|CP|=,
所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为,故两圆连心线斜率k==2.
设所求圆心为(a,b),
所以
解得(舍去)
所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20.
9.已知两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50).当两圆有如下位置关系时:
(1)外切;(2)内切;(3)相交;(4)内含;(5)外离.
试确定上述条件下k的取值范围.
解将两圆的方程化为标准方程:C1:(x+2)2+(y-3)2=1;C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.
则圆C1的圆心坐标C1(-2,3),半径r1=1,
圆C2的圆心坐标C2(1,7),半径r2=.
从而圆心距d==5.
(1)当两圆外切时,d=r1+r2,即1+=5,
解得k=34.
(2)当两圆内切时,d=|r1-r2|,
即|1-|=5,解得k=14.
(3)当两圆相交时,|r1-r2|即|1-|解得14(4)当两圆内含时,d<|r1-r2|,
即|1-|>5,解得k<14.
(5)当两圆外离时,d>r1+r2,即1+<5,解得k>34.
能力提升练
1.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x-5)2+(y+7)2=25
B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
C.(x-5)2+(y+7)2=9
D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
解析设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25.
答案D
2.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
解析由x2+y2-2ay=0(a>0),
得x2+(y-a)2=a2,∴圆心M(0,a),半径r1=a.
∴圆心M到直线x+y=0的距离d=a,
∴2=2=2,解得a=2.
∴圆心M(0,2),半径r1=2,
由(x-1)2+(y-1)2=1,得圆心N(1,1),半径r2=1,
∴|MN|=,
∴r1-r2<|MN|答案B
3.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16外离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为( )
A.
B.-
C.-6
D.6
解析两圆外离,则>2+4,
即(a-2)2>35,
设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,
则=2,解得k=,
则与圆C2相切的直线l2的斜率k'=-=-,
直线l2的方程为y=-x,即12x+5y=0,
所以=4,
解得a=-6或a=,
结合(a-2)2>35可知a=-6,故选C.
答案C
4.若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是( )
A.[1-2,1+2]
B.[1-,3]
C.[-1,1+2]
D.[1-2,3]
解析由y=3-,得(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),它表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示,令=2,得b=1-2(b=1+2舍去),故选D.
答案D
5.已知圆(x-1)2+y2=1与圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)无公切线,则r的取值范围为 .?
解析由题意,圆(x-1)2+y2=1的圆心坐标为C1(1,0),半径为r1=1,圆(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)的圆心坐标为C1(2,1),半径为r,因为两圆无公切线,则两圆的位置关系为两个圆内含,则圆心距d=,则d+1,所以r的取值范围是(+1,+∞).
答案(+1,+∞)
6.过原点O作圆x2+y2-4x-8y+16=0的两条切线,设切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为 .?
解析设圆x2+y2-4x-8y+16=0的圆心为C,则C(2,4),
∵CP⊥OP,CQ⊥OQ,
∴过四点O,P,C,Q的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
两圆方程相减得直线PQ的方程为x+2y-8=0.
答案x+2y-8=0
7.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为 ;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点 .?
解析圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),
则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,,
半径为r=.
可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-2=,即x2+y2-2x-y=0,
两圆的方程相减可得直线AB的方程:2x+y-1=0.
因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,
设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线,
所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-2=(2-m)2+,
又由圆C的方程为x2+y2=1,
两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,
可得满足上式,即AB过定点.
答案2x+y-1=0
8.已知圆M:x2+y2=10和圆N:x2+y2+2x+2y-14=0,求过两圆交点,且面积最小的圆的方程.
解设两圆交点为A,B,则以AB为直径的圆就是所求的圆.直线AB的方程为x+y-2=0.
两圆圆心连线的方程为x-y=0.
解方程组
得圆心坐标为(1,1).
圆心M(0,0)到直线AB的距离为d=,
弦AB的长为|AB|=2=4,
所以所求圆的半径为2.
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=8.
素养培优练
已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.
(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径;
(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.
解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=,两圆的圆心距为|a-1|=r,
因为两圆外切,所以r=r+9,∴r=+1.
(2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),
①若斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,
②若斜率存在,设公切线方程为:y-2=k(x-1),
则d==r=对任意的a都成立,,
两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,
当k=1时,直线与l1重合,
当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,
故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.