(共34张PPT)
3.1.2 椭圆的简单几何性质
激趣诱思
知识点拨
地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆,太阳处在这个椭圆的一个焦点上.在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点,在近日点时距离太阳14
710万千米,在远日点时距离太阳15
210万千米.事实上,很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆.如神舟九号飞船,于2012年6月16日搭载3名航天员发射升空,之后进入近地点高度200千米,远地点高度329.8千米的椭圆形轨道,然后进行了5次变轨,两天后与天宫一号自动交会对接成功,这是中国首次实现载人空间交会对接任务.
激趣诱思
知识点拨
椭圆的简单几何性质
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点拨1.椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等.
2.利用方程研究曲线对称性的方法如下:
(1)若把曲线方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称;
(2)若把曲线方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称;
(3)若同时把曲线方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)已知椭圆
=1,则其顶点坐标分别为 ,焦点坐标为 ,长轴长等于 ,短轴长等于 ,焦距等于 .若点P(m,n)为该椭圆上任意一点,则m的取值范围是 .?
激趣诱思
知识点拨
(2)椭圆x2+4y2=1的离心率等于( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
根据椭圆的标准方程研究其几何性质
例1求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究本例中若把椭圆方程改为“9x2+16y2=1”,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟确定椭圆几何性质的基本步骤
(1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;
(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;
(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;
(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
根据椭圆的几何性质求其标准方程
例2根据下列条件求椭圆的标准方程:
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.
思路分析:(1)焦点位置不确定,应分类讨论;(2)结合图形求出a,b,c的值代入.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,
OF为斜边A1A2的中线(高),
且|OF|=c,|A1A2|=2b,
∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟根据椭圆的性质求方程
1.已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:
(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;
(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;
(3)写出标准方程.
2.在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行讨论.一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点位置,而已知离心率、长轴长、短轴长、焦距时,则不能确定焦点位置.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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求椭圆的离心率的值(或范围)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法2)设A(0,b),B(a,0),F(-c,0),
设△FAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A,B,F三点的坐标分别代入外接圆方程,
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
答案:(1)A (2)A
探究一
探究二
探究三
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反思感悟求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.求离心率的范围时,应根据题意建立a,c的不等式,结合e∈(0,1)确定离心率的范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3(1)已知椭圆的焦距不小于短轴长,求椭圆的离心率的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)如图所示,设直线y=2x与椭圆的一个交点为P,
则点P横坐标为c,连接PF1,PF2,则|PF1|=2c.
因为△PF1F2为直角三角形,|F1F2|=2c,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟离心率的求法
(3)若已知a,b,c的关系,则可转化为a,c的方程或不等式,进而得到关于e的方程或不等式进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
一题多变——求椭圆的离心率
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°,∠PF1F2=45°”,求椭圆C的离心率.
解:在△PF1F2中,
∵∠PF1F2=45°,∠PF2F1=75°,
∴∠F1PF2=60°,
设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,椭圆的长轴长为2a,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(变条件,变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P,使∠F1PF2为钝角”,求椭圆C的离心率的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是( )
A.(-1,0),(1,0)
B.(0,-1),(0,1)
答案:D
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测第三章圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若椭圆=1(a>)的长轴长为6,则它的焦距为
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析椭圆=1(a>)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,
则它的焦距为2c=4,故选A.
答案A
2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析因为2x2+3y2=m(m>0),所以=1.
所以c2=.故e2=,解得e=.
答案B
3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析由题意得c=2,a+b=10,
所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,
解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.
答案A
4.阿基米德(公元前287年~公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C的方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析由题意可得,解得a=4,b=3,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程为=1.
答案D
5.(多选题)已知椭圆=1的离心率e=,则k的值可能是( )
A.-4
B.4
C.-
D.
解析(1)当焦点在x轴上,即当k+8>9,即k>1时,由椭圆的标准方程得a=,b=3,则c=,
所以椭圆的离心率e=,解得k=4.
(2)当焦点在y轴上,即当0
则c=,
所以椭圆的离心率e=,解得k=-.
答案BC
6.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m
km,远地点B距离地面n
km,地球半径为k
km,则飞船运行轨道的短轴长为( )
A.2
B.
C.mn
D.2mn
解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,
故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),
即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),
所以b=.
所以椭圆的短轴长为2.
答案A
7.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析不妨设椭圆方程为=1,
则可设直线l=1,依题意,有
,即4=b2,
∴=3,=3,∴e=.
答案B
8.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0解析因为b=1,所以c2=a2-1.
又=1-,
所以,即a2≤4.又a2-1>0,所以a2>1,
故1答案(2,4]
9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为 .?
解析因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点,
所以有tan60°=?b=c.又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,
所以有a-c=,而a2=b2+c2,三个等式联立得,
所以椭圆的标准方程为=1.
答案=1
10.已知椭圆=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).
假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,
设M(x,y)(-2≤x≤2),
则=|x-4|,
两边平方得y2=-6x+15.
又由=1,得y2=3,
代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.
因为-2≤x≤2,
所以符合条件的点M不存在.
能力提升练
1.(多选题)设椭圆=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率e可以是( )
A.
B.
C.
D.
解析当P是椭圆的上下顶点时,∠F1PF2最大,
∴120°≤∠F1PF2<180°,∴60°≤∠F1PO<90°,
∴sin60°≤sin∠F1PO∵|F1P|=a,|F1O|=c,∴<1,
则椭圆的离心率e的取值范围为,
在这一范围内的有BD.
答案BD
2.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )
A.[6,10]
B.[6,8]
C.[8,10]
D.[16,20]
解析不妨设椭圆的焦点在x轴上,
由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),
由椭圆的范围知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,
点M到椭圆中心的距离d=.
又因为=1,所以=64=64-,
则d=.
因为0≤≤100,
所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.
答案C
3.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为
( )
A.
B.2
C.
D.3
解析由题意可得:e2=,据此可得:a2=5,
椭圆方程为+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则=5(1-),
故|PB|=,
当x0=时,|PB|max=.
答案C
4.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,
则|OM|==3,
当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由解得a2=6,b2=3.
所以e=.故选C.
答案C
5.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为 .?
解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.
∴a2=b2+c2≥2bc=4,
∴a≥2,当且仅当b=c=时等号成立.
∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4,
故答案为4.
答案4
6.如图,把椭圆=4的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= .?
解析根据题意,把椭圆=4的长轴AB分成8等份,设另一焦点为F2,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a,同理,其余两对的和也是2a.又|P4F|=a,
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.
答案28
7.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.
解设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),
所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.
因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.
所以=b2,
所以-c2+b2=c2,
解得.
因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],
即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.
即,所以,
即椭圆离心率的取值范围是.
素养培优练
椭圆=1(a>b>0)上有一点P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点Q在线段PF2的延长线上,且QF1⊥QP,sin
∠F1PQ=,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析∵QF1⊥QP,∴点Q在以F1F2为直径,原点为圆心的圆上,∵点Q在椭圆的内部,
∴以F1F2为直径的圆在椭圆内,∴c∴c2∵sin∠F1PQ=,∴cos∠F1PQ=.
设|PF1|=m,|PF2|=n,
则|PF1|+|PF2|=m+n=2a,在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·.
∴4c2=(m+n)2-2mn-2mn·,
即4c2=4a2-mn,∴mn=(a2-c2).
由基本不等式得mn≤=a2,
当且仅当m=n时取等号,
由题意知QF1⊥QP,∴m≠n,∴mn<=a2,∴(a2-c2)故e2>,∴e>,综上可得答案D