第三章圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
A.(4,10)
B.(7,10)
C.(4,7)
D.(4,+∞)
解析依题意有k-4>10-k>0,解得7答案B
2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析(方法1)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D.
(方法2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0),
则解得故选D.
答案D
3.已知椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k=
( )
A.
B.
C.3
D.5
解析因为椭圆+y2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.
答案D
4.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l过点F1,且与椭圆交于A,B两点,则△AF2B的周长为( )
A.10
B.12
C.16
D.20
解析由椭圆=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,
由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.
答案D
5.(多选题)椭圆=1的焦距为4,则m的值可能是( )
A.12
B.10
C.6
D.4
解析因为椭圆的焦距为2c=4,则c=2,
当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;
当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.
故m=4或12.
答案AD
6.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,P是椭圆上的一点,∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,
∴a=2c.设椭圆方程为=1(a>b>0),则解得a=2,c=,b2=6.
故椭圆的方程为=1.
答案A
7.过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为 .?
解析椭圆=1的焦点为(0,±4),
设椭圆方程为=1(a>b>0),
则有a2-b2=16,
①
再代入点(,-),得
=1,②
由①②解得a2=20,b2=4.
则所求椭圆方程为=1.
答案=1
8.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点是F1,F2,P是椭圆的一个动点,如果M是线段F1P的中点,那么动点M的轨迹是 .(填轨迹的名称)?
解析由题知|PF1|+|PF2|=2a,
设椭圆方程为=1(其中a>b>0).
连接MO,当P不在x轴上时,由三角形的中位线可得|F1M|+|MO|=a(a>|F1O|),
当P在x轴上时,|MF1|+|MO|=a(a>|F1O|),
所以M的轨迹为以F1,O为焦点的椭圆.
答案椭圆
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);
(2)经过两点(2,-),.
解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义知2a==12,
所以a=6.
又c=2,所以b==4.
所以椭圆的标准方程为=1.
(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设其标准方程为=1(a>b>0).
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为=1.
(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,
设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为=1.
同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.
综上,所求椭圆的标准方程为=1.
(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
将两点(2,-),代入,
得解得
所以所求椭圆的标准方程为=1.
能力提升练
1.F1是椭圆=1的左焦点,P是椭圆上的动点,A(1,1)为定点,则|PA|+|PF1|的最小值是( )
A.9-
B.6-
C.3+
D.6+
解析如图所示,设点F2为椭圆的右焦点,连接F2A并延长交椭圆于点P',连接P'F1,PF2.
∵|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF1|=6-|PF2|,
∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|
=6+(|PA|-|PF2|).
根据三角形两边之差小于第三边,当点P位于P'时,|PA|-|PF2|最小,其值为-|AF2|=-,此时|PA|+|PF1|的最小值为6-.
答案B
2.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为
( )
A.2
B.3
C.6
D.8
解析由题意,得F(-1,0),设点P(x0,y0),
设=3,
=x0(x0+1)++x0+
=+x0+3(x0+2)2+2,
当x0=2时,取得最大值为6.
答案C
3.(2020·山东潍坊模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( )
A.圆
B.双曲线
C.抛物线
D.椭圆
解析由题意知,M,F关于CD对称,所以|PF|=|PM|,故|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=R>|FO|,
可知点P的轨迹是椭圆.
答案D
4.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,
∠PFF'=∠FPO,
∠OF'P=∠OPF',
∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',
∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF',
在Rt△PFF'中,由勾股定理,
得|PF'|==8,
由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,
从而a=7,a2=49,
于是b2=a2-c2=49-52=24,
∴椭圆C的方程为=1,
答案C
5.已知椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为 .?
解析由|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.
在△PF1F2中,
cos∠F1PF2==-.故∠F1PF2=120°.
答案2 120°
6.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则该椭圆的方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵A,B在椭圆上,
∴
①-②,得
=0,
即=-.
∵AB的中点为(1,-1),
∴y1+y2=-2,x1+x2=2.
而=kAB=,
∴.
又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为=1.故选D.
答案D
7.(2020·山东烟台检测)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b= .?
解析∵F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且,∴|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,
|PF1||PF2|=9,∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.
答案3
8.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.
解当焦点在x轴上时,设其标准方程为=1(a>b>0),
由椭圆过点P(3,0),知=1.
又a=3b,解得b2=1,a2=9,
故椭圆的方程为+y2=1.
当焦点在y轴上时,设其标准方程为=1(a>b>0).
由椭圆过点P(3,0),知=1.
又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为=1.
故椭圆的标准方程为=1或+y2=1.
素养培优练
1.(2020·河南郑州一中月考)已知椭圆=1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点A(0,2),当△APF的周长最大时,△APF的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析由椭圆方程=1,得a=3,b=,c==2.设椭圆的左焦点为F',
则△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF'|
=4+6+|AP|-|PF'|≤10+|AF'|,
当且仅当A,P,F'三点共线,且P在AF'的延长线上时取等号.
∵A(0,2),F'(-2,0),
∴直线AF'的方程为=1,即x-y+2=0.
由得32y2-20y-75=0.
∴点P的纵坐标为-.
∴当△APF的周长最大时,该三角形的面积为
|FF'|·|yA-yP|=2×.
答案D
2.如图所示,△ABC的底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.
解以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,
则|BD|+|CE|=30.
由重心性质可知,|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20>12.
∵B,C是两个定点,G点到B,C的距离和等于定值20,且20>12=|BC|,
∴G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,
∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,
a=10,b2=a2-c2=102-62=64,
故G点的轨迹方程为=1(x≠±10).
设G(x',y'),A(x,y),则有=1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为=1,
即=1(x≠±30).(共38张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
激趣诱思
知识点拨
《今日美国》2018年12月9日报道,“天文爱好者们即将看到一个惊喜,名为‘46P/Wirtanen’的彗星,即将成为1950年以来最接近地球的10颗彗星之一.‘46P/Wirtanen’会在美国时间12月16日最接近地球.届时,这颗彗星将“仅”距离地球710万英里(从天文的角度来说,这已经很近了).在此期间,这颗彗星应该肉眼可见.”
天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?
原来,这颗彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行的周期及轨道的周长,预测它接近地球或离去的时间.
激趣诱思
知识点拨
一、椭圆的定义
1.定义
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
2.定义的集合语言表述
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.
名师点析在椭圆定义中,要求常数必须大于两定点F1,F2之间的距离,这是椭圆定义中非常重要的一个条件,可以验证:如果这个常数等于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将是一条线段;如果这个常数小于两定点F1,F2之间的距离,动点的轨迹将不存在.因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时,务必注意这一隐含的条件.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列说法中,正确的是( )
A.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B.到点M(0,-3),N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.到点M(-3,0),N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D.到点M(0,-3),N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
答案:C
激趣诱思
知识点拨
二、椭圆的标准方程
0
0
0
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.
激趣诱思
知识点拨
(2)已知a=5,c=2,焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为 .?
解析:(1)因为10>6,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,
所以c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).
激趣诱思
知识点拨
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求椭圆的标准方程
1.待定系数法
例1根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);
思路分析:(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可直接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟椭圆方程的求法
1.利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:
(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程.
2.当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)两种情况,所以可以避免分类讨论,从而简化运算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1根据下列条件,求椭圆的标准方程.
(2)经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.定义法
例2一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
思路分析:两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,由此可以找到动圆圆心满足的条件等式.
解:两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为M(x,y),半径为R,由题意有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1,Q2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.若动点轨迹满足椭圆的定义,则根据椭圆的定义来确定a,b,c,从而确定椭圆的标准方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法.
2.一般步骤:
(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离);
(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴;
(3)确定椭圆的基本量a,b,c,从而确定椭圆的标准方程.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究本题两个已知圆不变,若动圆与两个圆都内切,求动圆圆心的轨迹方程.
解:设动圆圆心为P(x,y),半径为r.
由圆P与圆Q1内切,得|PQ1|=r-1;
由圆P与圆Q2内切,得|PQ2|=9-r.
所以|PQ1|+|PQ2|=8>6=|Q1Q2|.
所以P点轨迹是以Q1,Q2为焦点的椭圆,且2a=8,2c=6.
即a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对椭圆标准方程的理解
A.(-9,25)
B.(-9,8)∪(8,25)
C.(8,25)
D.(8,+∞)
(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟根据椭圆方程求参数的取值范围
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:(-4,0)∪(0,3)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
椭圆中的焦点三角形问题
思路分析:(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
当且仅当|PF1|=|PF2|=10时,等号成立,即|PF1|·|PF2|取到最大值100.
(2)c2=a2-b2=100-64=36,c=6,
则F1(-6,0),F2(6,0).∵P为椭圆上任一点,
∴|PF1|+|PF2|=2a=20.
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=12,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.
∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,
∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|,
∴122=202-3|PF1|·|PF2|,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.焦点三角形的概念
如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.
2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.焦点三角形的常用公式
(1)焦点三角形的周长L=2a+2c.
(2)在△MF1F2中,由余弦定理可得
|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos
θ.
探究一
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素养形成
当堂检测
垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长.
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
故有|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10,|AF2|+|BF2|=|AB|,
∴△AF1B的周长=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=10+10=20,
∴△AF1B的周长为20.
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长仍为20不变.
理由:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a,和AB与x轴是否垂直无关.
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当堂检测
求与椭圆有关的轨迹问题
典例已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
由|BC|=8可知点B(-4,0),C(4,0).
由|AB|+|AC|+|BC|=18,
得|AB|+|AC|=10>8=|BC|,
因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a=10,焦距2c=8,但点A不在x轴上.
由a=5,c=4,
得b2=a2-c2=25-16=9.
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素养形成
当堂检测
方法总结求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法:若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义,则可用定义直接求解.
(2)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出等式后化简,得出动点的轨迹方程.
(3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹的方程.
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素养形成
当堂检测
1.已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=16,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
解析:因为|MF1|+|MF2|=16>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.
答案:A
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当堂检测
2.椭圆的两个焦点分别为F1(-8,0),F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20,则此椭圆的标准方程为( )
答案:C
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素养形成
当堂检测
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
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答案:6
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,
)的椭圆的标准方程.
