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3.2.2 双曲线的简单几何性质
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知识点拨
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.这样从结构稳定,强度高,能够获得更大的容积.气流顺畅,对流冷却效果好,造型美观.
建造这种冷却塔时要考虑到最小半径和上、下口的半径,如何确定这些数据?
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双曲线的几何性质
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名师点析1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性曲线;双曲线有两支,故在应用时要注意点在哪一支上;根据方程判断焦点的位置时,注意双曲线与椭圆的差异性.
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是唯一的,但如果双曲线的渐近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可设为
=λ(λ≠0),当λ>0时,对应的双曲线焦点在x轴上,当λ<0时,对应的双曲线焦点在y轴上.
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微练习
已知双曲线的方程为9x2-y2=81,求双曲线的范围、实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程.
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2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是一对共轭双曲线.
(2)共轭双曲线的性质:
①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.
探究一
探究二
探究三
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由双曲线的方程求几何性质
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
思路分析:将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再写出各个结果.
探究一
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延伸探究若将方程9y2-4x2=-36改为9y2-4x2=36,其结果又将如何?
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反思感悟求双曲线的几何性质的基本思路
1.已知双曲线的方程研究其几何性质时,若不是标准方程,则应先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c值,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出它的几何性质.
2.求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上,以免写错.
探究一
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变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是( )
答案:(1)D (2)C
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根据双曲线几何性质求其标准方程
例2求满足下列条件的双曲线的方程:
(1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
思路分析:对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.
探究一
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反思感悟巧设双曲线方程的六种方法与技巧
⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
探究一
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双曲线的渐近线与离心率问题
1.求双曲线的离心率或取值范围
思路分析:利用双曲线和圆的性质,结合已知条件得到关于a,c的方程,进而求得双曲线的离心率.
探究一
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解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.
∵|PQ|=|OF|=c,
答案:A
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反思感悟求双曲线离心率及范围的常见方法
1.求双曲线离心率的常见方法:
(3)若得到的是关于a,c的齐次方程,则方程两边同除以a的最高次幂,转化为关于e的方程求解.
2.求离心率范围的技巧:(1)根据条件建立a,b,c的不等式,类似于求离心率的方法转化求解;
探究一
探究二
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答案:A
探究一
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答案:D
探究一
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反思感悟双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助
进行互求.一般地,如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程,或者已知渐近线方程,求离心率的值,都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.
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直线与双曲线的位置关系
典例已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1,
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为
,求实数k的值.
思路分析:直线方程与双曲线方程联立方程组?判断“Δ”与“0”的关系?直线与双曲线的位置关系.
探究一
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反思感悟直线与双曲线位置关系的判断方法
1.方程思想的应用
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考查方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
2.数形结合思想的应用
(1)直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
(2)直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
探究一
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延伸探究本例条件不变,若直线l与双曲线C有一个交点,实数k的取值如何?
探究一
探究二
探究三
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A.6
B.8
C.9
D.10
解析:由已知得左焦点(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.
答案:B
探究一
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答案:B
探究一
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答案:C
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答案:16
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当堂检测第三章圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2019北京,文5)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=( )
A.
B.4
C.2
D.
解析∵双曲线的离心率e=,c=,
∴,解得a=,故选D.
答案D
2.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是
( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.
答案ABD
3.若双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意知,则e2=1+,
所以e=.
答案D
4.(多选题)已知双曲线的方程为=1,则下列说法正确的是( )
A.焦点在y轴上
B.渐近线方程为2x±y=0
C.虚轴长为4
D.离心率为
解析双曲线的方程为=1,则双曲线焦点在y轴上;渐近线方程为2x±y=0;
虚轴长为2;离心率为,判断知AB正确.
答案AB
5.若实数k满足0A.焦距相同
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
解析由于00,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0),
故两曲线的焦距相同,故答案为A.
答案A
6.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析由椭圆=1的焦点为(±3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,
由双曲线的渐近线方程为y=±x,可得,解得a2=6,b2=3,
则双曲线的方程为=1.故选D.
答案D
7.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为 .?
解析双曲线=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±x,故焦点(4,0)到渐近线y=x的距离d==2.
答案2
8.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为 .?
解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.
因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=±x=±x.
答案y=±x
9.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 .?
解析令x=-c,得y2=,则|MN|=.
由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,
∴-2=0,
∴=2或=-1(舍去),即离心率为2.
答案2
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;
(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.
解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.
(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,
解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.
能力提升练
1.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为( )
A.-y2=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知ABD均可能.
答案ABD
2.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于( )
A.-1
B.
C.+1
D.+2
解析不妨设双曲线标准方程为=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.
因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1(e=1-舍去),故选C.
答案C
3.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为
( )
A.+1
B.+1
C.2
D.
解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得-6-3=0,解得=3+2.故c=+1,故选B.
答案B
4.已知l为双曲线C:=1的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为 ;C的方程为 .?
解析由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k==tan=1,
解得a=b=,则双曲线的右顶点为(,0),C的方程为=1.
答案(,0) =1
5.直线y=b与双曲线=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,若OB⊥OC,O为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为 .?
解析直线y=b与双曲线=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,联立
可得B(-a,b),C(a,b).因为OB⊥OC,
∴=-2a2+b2=0,
即2a2=b2,b=±a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
答案y=±x
6.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D、E两点,求线段DE的长.
解(1)∵点A(-,0)和B(,0),
动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.
|AB|=2>2,
∴点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,
且a=1,c=,
∴点C的轨迹方程是x2-=1.
(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.
∴联立得x2+4x-6=0,
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,
∴|DE|==4.
故线段DE的长为4.
素养培优练
已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0,b2>0)有相同的左、右焦点F1,F2,若点P是C1与C2在第一象限内的交点,且|F1F2|=4|PF2|,设C1与C2的离心率分别为e1,e2,则e2-e1的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得m-n=2a2,
解得m=a1+a2,n=a1-a2,由|F1F2|=4|PF2|,可得n=c,即a1-a2=c,
由e1=,e2=,可得,
由01,
可得,即1则e2-e1=e2-,
可设2+e2=t(3由于函数f(t)=t+-4在3所以f(t)∈,即e2-e1∈.
答案B
