第三章圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,则曲线方程为( )
A.=1
B.=1(y<0)
C.=1或=1
D.=1(y>0)
解析∵曲线上的动点P到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差为6,
∴动点P的轨迹是以F1(0,4),F2(0,-4)为焦点,实轴长为6的双曲线的下支,
∴曲线方程为=1(y<0),故选B.
答案B
2.已知双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),则该双曲线的标准方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析因为双曲线的一个焦点F1(5,0),且过点(3,0),所以c=5,a=3;
∴b2=c2-a2=16.
∴该双曲线的标准方程是=1.故选A.
答案A
3.已知双曲线=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),则m=( )
A.9
B.3
C.16
D.4
解析∵双曲线=1(m>0)的左焦点为F1(-5,0),∴25-m2=9.
∵m>0,∴m=4,故选D.
答案D
4.(多选题)如果方程=1表示双曲线,则m的取值可能是( )
A.-4
B.-2
C.-1
D.
解析要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.
由选项知AD符合.
答案AD
5.
如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为( )
A.2a+2m
B.4a+2m
C.a+m
D.2a+4m
解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.
又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.
答案B
6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在( )
A.一个椭圆上
B.一个圆上
C.一条抛物线上
D.双曲线的一支上
解析由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,
画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,
设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,
∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,
∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.
答案D
7.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 .?
解析设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),
则
解得A=-,B=-,
故双曲线的标准方程为=1.
答案=1
8.已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F1PF2的面积为 .?
解析因为点P是双曲线左支上的点,
所以|PF2|-|PF1|=6,
两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0,
所以∠F1PF2=90°,
所以|PF1|·|PF2|=×32=16.
答案16
9.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.
解当k<0时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的双曲线;
当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;
当0
当k=2时,曲线方程化为x2+y2=4,表示一个圆;
当k>2时,曲线方程化为=1,表示焦点在y轴的椭圆.
能力提升练
1.(多选题)关于x,y的方程=1,其中m2≠,方程对应的曲线可能是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在y轴上的双曲线
解析若m2+2>3m2-2>0,解得-,则当x∈(-,-)∪()时,曲线是焦点在x轴上的椭圆,A正确;
若3m2-2>m2+2>0,解得m<-或m>,此时曲线是焦点在y轴上的椭圆,B正确;
若3m2-2<0,解得-因为m2+2<0时,m无实数解,所以D错误.
答案ABC
2.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=( )
A.3
B.6
C.9
D.12
解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1(a>0)过点,-,可得=1,
解得a=3,b=1,c=,a+c>3,
点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,
则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.
答案C
3.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
解析如图所示,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,∴MF2=2.
∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.
由垂直平分线的性质可得PM=PF1.
∴|PF2-PF1|=|PF2-PM|=MF2=2由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.
答案B
4.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,△F1PF2的内切圆圆心为M,若+8,则=( )
A.2
B.6
C.8
D.10
解析由双曲线=1得a=4,b=3,
可得c==5.
设△F1PF2的内切圆的半径为r,
由+8,可得r|PF1|=r|PF2|+8,
即r(|PF1|-|PF2|)=8.
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,
则有4r=8,解得r=2,
则r|F1F2|=10.
答案D
5.设P是双曲线=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .?
解析如图所示,设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(-5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x-5)2+y2=4的圆心,
当|PM|-|PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6.
由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|-1,
所以|PM|-|PN|≤|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.
答案9
素养培优练
双曲线=1(a>0,b>0)满足如下条件:
①ab=;
②过右焦点F的直线l的斜率为,交y轴于点P,线段PF交双曲线于点Q,且|PQ|∶|QF|=2∶1,求双曲线的方程.
解如图所示,设右焦点F(c,0),点Q(x,y),直线l:y=(x-c).
令x=0,得P.
由题意知=2,
∴Q,
且Q在双曲线上,
∴=1.
∵a2+b2=c2,
∴=1,
解得=3或=-(舍去).
又由ab=,得
∴所求双曲线方程为x2-=1.(共35张PPT)
3.2.1 双曲线及其标准方程
激趣诱思
知识点拨
如图①所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1、F2上,把笔尖放在点M处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支.把两个固定点的位置交换,如图②所示,类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来叫做双曲线.
双曲线上的点到两定点F1,F2的距离有何特点?
激趣诱思
知识点拨
一、双曲线的定义
1.定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.集合语言表达式
双曲线就是集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小.
(1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;
(2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.
2.双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|.
(1)若定义中的常数等于|F1F2|,此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).
(2)若定义中的常数大于|F1F2|,此时动点轨迹不存在.
(3)若定义中的常数为0,此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
平面内到点F1(6,0)的距离减去到点F2(-6,0)的距离之差等于12的点的集合是( )
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
解析:设动点为P,则|PF1|-|PF2|=12=|F1F2|,点P的轨迹为以F2为端点的一条射线.
答案:D
激趣诱思
知识点拨
二、双曲线的标准方程
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴.
3.双曲线的焦点在x轴上?标准方程中x2项的系数为正;双曲线的焦点在y轴上?标准方程中y2项的系数为正,即“焦点跟着正的跑”.这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法.
激趣诱思
知识点拨
(2)已知a=5,c=10,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
双曲线定义的应用
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离.
(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
思路分析:(1)直接利用定义求解.
(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.
解得|MF2|=10或|MF2|=22.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法
(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,利用整体的
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.
设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).
由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,
两边平方,得m2+n2-2mn=36.
又∵∠F1PF2=90°,
∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求双曲线的标准方程
例2根据下列条件,求双曲线的标准方程:
思路分析:(1)结合a的值设出标准方程的两种形式,将点A的坐标代入求解.
(2)因为焦点相同,所以所求双曲线的焦点也在x轴上,且c2=16+4=20,利用待定系数法求解,或设出统一方程求解.
(3)双曲线焦点的位置不确定,可设出一般方程求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程;
(2)求出a2,b2的值.
2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0)来求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
解:(1)由已知得,c=5,2a=8,即a=4.
∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9.
∵焦点在x轴上,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
双曲线标准方程的应用
(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.
思路分析:根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟双曲线方程的应用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
(2)若方程x2sin
α-y2cos
α=1(0≤α<π)表示双曲线,则α的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
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探究一
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与双曲线有关的轨迹问题的求解方法
一、定义法
利用双曲线的定义可以判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).
典例1(2020·湖北宜昌高二检测)已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切,与圆C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .?
思路分析:利用与两圆内切、外切的充要条件,建立动点M的几何等量关系式,结合双曲线的定义求解.
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟利用双曲线的定义探求动点轨迹方程时要能从条件中寻找动点所满足的几何等量关系式是否符合双曲线的定义.在运用双曲线定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整个双曲线,还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,需用变量的范围确定.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
典例2若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A1(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a≥0),讨论点P的轨迹方程.
思路分析:本题的关键在于a.因为|AA1|=2,以0和2为分界点,应讨论以下四种情况:a=0,02.
解:由题意知|AA1|=2.
①当a=0时,轨迹是线段AA1的垂直平分线,即y轴,方程为x=0;
②当0③当a=2时,轨迹是两条射线,其方程分别为y=0(x≥1)或y=0(x≤-1);
④当a>2时,无轨迹.
探究一
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反思感悟利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,既要注意定义中的条件|F1F2|>2a(当条件中不能确定|F1F2|与2a的大小关系时,需要分类讨论),又要关注等量关系式中的绝对值.
探究一
探究二
探究三
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二、相关点法
建立动点坐标(x,y)与中间变量(x0,y0)之间的关系,消去x0,y0后即得动点的轨迹方程.
思路分析:设点M(x,y),P(x0,y0),运用代入法求解.
探究一
探究二
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反思感悟本题运用相关点法求轨迹方程,注意在含有两个动点时坐标的设法,求轨迹方程的点的坐标设为(x,y),另一点的坐标设为(x0,y0),用x,y来表示x0,y0,代入已知方程求解.
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探究二
探究三
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1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线的一支和一条直线
C.双曲线和一条射线
D.双曲线的一支和一条射线
解析:因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=6<|F1F2|,为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,为一条射线.
答案:D
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探究二
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2.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( )
答案:C
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A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
解析:当k>9时,9-k<0,k-4>0.方程表示双曲线.当k<4时,9-k>0,k-4<0,方程也表示双曲线.
答案:B
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探究二
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又由a2=c2-b2=25-9=16,所以a=4,
因为点P为双曲线上一点,且|PF1|=9,
根据双曲线的定义可知||PF2|-|PF1||=2a=8,
所以|PF2|=17,或|PF2|=1,
故答案为17或1.
答案:17或1
探究一
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