第三章圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是( )
A.x+4=0
B.x-4=0
C.y2=8x
D.y2=16x
解析依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=-4的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,其方程为y2=16x.
答案D
2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=x
B.y2=2x
C.y2=4x
D.y2=8x
解析由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,∴p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.
答案B
3.抛物线y=x2的准线方程是y=1,则a的值是( )
A.
B.-
C.4
D.-4
解析抛物线y=x2的标准方程为x2=ay,其准线方程为y=-,又抛物线准线方程为y=1,得1=-,解得a=-4.
答案D
4.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,点F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为( )
A.x=-1
B.x=-2
C.y=-1
D.y=-2
解析抛物线y2=2px的焦点为F,
点M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,
∴M;
又|OM|=,∴+p2=5,
解得p=2或p=-2(舍),=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.
答案A
5.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.
B.3
C.
D.
解析由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可得,
∴点P到准线x=-的距离d=|PF|,
易知点A(0,2)在抛物线y2=2x的外部,
连接AF,交y2=2x于点P',
欲使所求距离之和最小,只需A,P',F共线,
∴其最小值为|AF|=.
答案A
6.已知F为抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A.
B.1
C.
D.
解析抛物线的准线为l:x=-,过A,B作准线的垂线,垂足为E,G,AB的中点为M,
过M作准线的垂线,垂足为H,因为A,B是该抛物线上的两点,故|AE|=|AF|,|BG|=|BF|,
所以|AE|+|BG|=|AF|+|BF|=3,
所以|MH|=,故M到y轴的距离为,故选C.
答案C
7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 .?
解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.
答案y2=8x(x>0)或y=0(x<0)
8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是双曲线=1的右焦点,则实数p的值为 .?
解析因为c2==16-m+m+20=36,所以p=12.
答案12
9.根据下列条件求抛物线的标准方程:
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);
(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.
解(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且-=-2,所以p=4,
所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y.
(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,
所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x.
10.已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.
解设抛物线的方程为y2=2px(p>0),根据点在抛物线上可得=2p·,解得p=2.
故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.
∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,
∴c=1,即a2+b2=1.
故双曲线方程为=1.
∵点在双曲线上,
∴=1,解得a2=或a2=9(舍去).
同时b2=,故所求双曲线的方程为=1.
能力提升练
1.(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是( )
A.开口向上,焦点为(0,2)
B.开口向右,准线方程为x=-
C.开口向右,焦点为
D.开口向上,准线方程为y=-2
解析抛物线化成标准方程形式x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.
答案AD
2.(2020·浙江温州十校联合体高二期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是( )
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
解析由题意知,直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.
答案D
3.(2020·河北保定高三联考)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=9x
B.y2=6x
C.y2=3x
D.y2=x
解析如图,分别过A,B作AA1⊥l于A1,
BB1⊥l于B1,由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,
∴∠AFx=60°,连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过F作FF1⊥AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于K,
则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,
∴抛物线方程为y2=3x.
答案C
4.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的射影为N,则的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
解析设|AF|=a,|BF|=b,A,B在准线上的射影分别为Q,P,连接AQ,BP(图略).
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.
在四边形ABPQ中,
得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得
|AB|2=a2+b2-2abcos=a2+b2+ab,
配方得|AB|2=(a+b)2-ab.又∵ab≤,
∴(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2,
得到|AB|≥(a+b),∴,
即的最大值为.
答案C
5.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点 .?
解析抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x+2=0,故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离,所以F在圆上.
答案(2,0)
6.在平面直角坐标系xOy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是 .?
解析设P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,
|PB|==
=|x|,
即|PB|为点P到y轴的距离.抛物线的焦点为F,准线方程为x=-,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-.过点A作准线的垂线,垂足为K,
可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AK|=,即有|PA|+|PB|的最小值为3.
答案3
素养培优练
已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.
解(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,
故x1+x2=.
由抛物线定义,得|AB|=x1+x2+p=9,即p=4.
故抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1),得p=4,代入4x2-5px+p2=0,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,
则y1=-2,y2=4.
故A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ),
又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
可得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.(共41张PPT)
3.3.1 抛物线及其标准方程
激趣诱思
知识点拨
我们把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.
这就是本节我们要学习的抛物线,这条曲线上的点有什么特征?
激趣诱思
知识点拨
一、抛物线的定义
1.我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.数学表达式:抛物线是点的集合P={M||MF|=d}.
名师点析1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,和一条定直线l,即抛物线的准线;一相等,即|MF|=d(d为M到准线l的距离).
2.定义中,要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是( )
A.椭圆
B.抛物线
C.直线
D.双曲线
解析:由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线.
答案:B
微练习2
平面内到点A(2,3)和直线l:x+2y-8=0距离相等的点的轨迹是( )
A.直线
B.抛物线
C.椭圆
D.圆
解析:A∈l,轨迹为过A且与l垂直的一条直线.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
二、抛物线的标准方程
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点拨1.要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为±2p;若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).
2.抛物线标准方程中参数p的几何意义:抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值永远大于0,当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现p<0的错误.
激趣诱思
知识点拨
3.焦点的非零坐标是一次项系数的
.
4.准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( )
(3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2.( )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)抛物线x2=
y的开口向 ,焦点坐标为 ,准线方程是 .?
(2)若抛物线的准线方程是x=5,则其标准方程为 ,焦点坐标为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
例1求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).
思路分析:先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程,要注意p>0,焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴;系数为负,焦点在负半轴.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:(1)C (2)D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求抛物线的标准方程
例2根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(1)准线方程为y=
;
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;
(3)经过点(-3,-1);
(4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
思路分析:(1)(2)由题意可确定方程形式→求出p→写出抛物线的标准方程
(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数→写出抛物线
的标准方程
(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程
探究一
探究二
探究三
探究四
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(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
(3)∵点(-3,-1)在第三象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
∴所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题
(1)把握开口方向与方程间的对应关系.
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以减少讨论情况的个数.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
延伸探究将本例(4)改为焦点为圆x2+y2=4与坐标轴的交点,抛物线方程为什么?
探究一
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探究三
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变式训练2根据下列条件确定抛物线的标准方程.
(1)关于y轴对称且过点(-1,-3);
(2)过点(4,-8);
(3)焦点在x-2y-4=0上.
解:(1)(方法1)设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),将点(-1,-3)代入方程,
探究一
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探究三
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(2)(方法1)设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0),将点(4,-8)代入y2=2px,得p=8;将点(4,-8)代入x2=-2p'y,得p'=1.所以所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.
(方法2)当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2=nx(n≠0),又抛物线过点(4,-8),所以64=4n,即n=16,抛物线的方程为y2=16x;
当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2=my(m≠0),又抛物线过点(4,-8),所以16=-8m,即m=-2,抛物线的方程为x2=-2y.
综上,抛物线的标准方程为y2=16x或x2=-2y.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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利用抛物线的定义解决轨迹问题
A.椭圆
B.双曲线
C.直线
D.抛物线
答案:D
探究一
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反思感悟定义法解决轨迹问题
根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.
探究一
探究二
探究三
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变式训练3一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .?
解析:设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且A是焦点,l是准线,并且有
=2,所以p=4,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=8x.
答案:y2=8x
探究一
探究二
探究三
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抛物线的实际应用
例4一辆卡车高3
m,宽1.6
m,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a
m,求使卡车通过的a的最小整数值.
思路分析:建立适当的坐标系,通过确定点的坐标确定出抛物线的方程,把卡车的宽度坐标化,利用抛物线解决问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
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反思感悟求解抛物线的实际应用问题的基本步骤
(1)建:建立适当的坐标系.
(2)设:设出合适的抛物线标准方程.
(3)算:通过计算求出抛物线标准方程.
(4)求:求出所要求出的量.
(5)还:还原到实际问题中,从而解决实际问题.
探究一
探究二
探究三
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变式训练4如图是抛物线形拱桥,当水面在l处时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为 米.?
探究一
探究二
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解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=my,将A(2,-2)代入x2=my,得m=-2.
探究一
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探究三
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与抛物线定义有关的最值问题
典例设P为抛物线y2=4x上的一个动点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
思路分析:本题主要考查与抛物线有关的最值问题,利用数形结合的思想寻求解题思路.
探究一
探究二
探究三
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解:(1)抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
因为点P到准线x=-1的距离等于点P到F(1,0)的距离,
所以问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.
连接AF,如图①所示.
探究一
探究二
探究三
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(2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.
如图②所示,
过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物线于点P1.
由题意知|P1Q|=|P1F|,
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
探究一
探究二
探究三
探究四
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方法总结求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有两种情况:(1)当两定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点;(2)当两定点在曲线同侧时,由圆锥曲线定义作线段的等量转换,转换为(1)的情形即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 .?
解析:抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,
所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则F到直线的距离为
答案:3
探究一
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1.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离是( )
A.6
B.7
C.8
D.9
解析:抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,可得xM=9,则点M到y轴的距离是9.故选D.
答案:D
探究一
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2.已知抛物线方程为x2=-2y,则其准线方程为( )
A.y=-1
B.y=1
答案:C
探究一
探究二
探究三
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3.若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹方程为( )
A.y2=8x
B.y2=-8x
C.x2=8y
D.x2=-8y
解析:依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y.
答案:C
探究一
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4.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是 .?
解析:由题意可设抛物线方程为y2=2ax.因为点P(2,4)在抛物线上,所以42=4a,故a=4,即所求抛物线的方程为y2=8x.
答案:y2=8x
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.
当焦点为F(-1,0)时,p=2,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;
当焦点为F(-9,0)时,p=18,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.
