第三章圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|=x0,则x0等于( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析抛物线C:y2=x的焦点为F,∵A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,∴x0=x0+,解得x0=1.
答案A
2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析∵P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,
∴=4x0,则点P与点(5,0)的距离
d=
=.
∵x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.
答案C
3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有( )
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
解析(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1,
由方程组
消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,
①若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个交点;
②若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个交点.
(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,
该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条.
答案B
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且垂直于x轴的弦为AB,O为抛物线的顶点,则∠AOB的度数( )
A.小于90°
B.等于90°
C.大于90°
D.不能确定
解析设抛物线y2=2px的焦点为F,则其坐标为,将x=代入抛物线的方程,解得A,B.在直角三角形AOF中,|OF|<|AF|,故∠AOF>45°.由抛物线的对称性可知,∠AOB=∠AOF+∠BOF>45°+45°=90°.
答案C
5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是 .?
解析根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为,边长为a,则有tan,
解得y0=2,
故边长a=4.
答案4
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p= .?
解析∵F,∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0.
设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知
xA+xB=3p,xAxB=.
|AB|==4p=8,解得p=2.
答案2
7.(2019·全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
解设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,
故|AF|+|BF|=x1+x2+,
由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则x1+x2=-.
从而-,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.
从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|=.
8.如图,已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.
解(1)由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=t(y+1)+3,
代入抛物线方程,整理得y2-ty-t-3=0.
因为Δ=(t+2)2+8>0,所以y1+y2=t,y1y2=-t-3.
所以k1k2=
=
==-,
故k1k2是定值.
能力提升练
1.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,经过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是( )
A.|MN|=|AB|
B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点
D.∠QFM=∠QMF
解析如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.
又|MN|=,则|MN|=|AB|,A正确.
由|MN|=|AB|,|AM|=|MB|,得|MN|=|AM|,所以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN,所以∠MAN=∠CAN,所以△ANC≌△ANF,可知∠ACN=∠AFN=90°,所以FN⊥AB,B正确.
在Rt△MNF中,|QN|=|QF|,可知∠QNF=∠QFN,所以∠QFM=∠QMF,D正确.由∠QFM=∠QMF,可知|QF|=|QM|,所以|NQ|=|QM|,即Q是MN的中点,故C不正确.
答案ABD
2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分别交于A,B两点,则等于( )
A.3
B.7+4
C.
D.3+2
解析(方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l的方程为x=-,
则消去x,得12y2-20py+3p2=0.∵点A在第一象限,解得y1=,y2=,
∴=3.故选A.
(方法2)如图,过点A,B作准线的垂线,垂足分别为A',B',则由抛物线的定义知|BB'|=|BF|,|AA'|=|AF|.过点A作BB'的垂线AE,
则|BE|=|BB'|-|AA'|=|BF|-|AF|,
易知∠BAE=30°,故|BE|=|AB|,
所以|BF|-|AF|=(|BF|+|AF|),
因此|BF|=3|AF|,故=3.
答案A
3.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=6(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.
B.3
C.
D.
解析设直线AB的方程为x=ty+m,则直线AB与x轴的交点为M(m,0),则m>0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2).把x=ty+m代入y2=x,
可得y2-ty-m=0,满足Δ>0,则y1y2=-m.
∵=6,∴x1x2+y1y2=6,
从而(y1y2)2+y1y2-6=0.
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-3,
故m=3.不妨设点A在x轴上方,则y1>0,
又F,y2=-,
∴S△ABO+S△AFO=×3×(y1-y2)+y1=y1+≥2,
当且仅当y1=,即y1=时,取等号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是.
答案D
4.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为48,则p的值为 .?
解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,
∴+2p(x2-x1)=0,
即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.
根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,
由△OAB为等边三角形,
不妨设直线OB的方程为y=x,
由,解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,
∵△OAB的面积为48,
∴(4p)2=48,解得p2=4,∴p=2.
答案2
5.(2019·山东高三模拟考试)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=,= .?
解析由题意知=1,从而p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
当直线AB斜率不存在时,x=1代入y2=4x,解得y1=2,y2=-2,即|AF|=|BF|=2,
从而=1.
当直线AB斜率存在时,设AB的方程为
y=k(x-1),显然k≠0,联立消去y,整理得
k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
从而
==1.
答案2 1
6.设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且|AB|=2|MN|,求直线AB的方程.
解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),
由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=,得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,
x1=2+2,x2=2-2,
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7,或m=-1(舍).
所以直线AB的方程为y=x+7.
7.(2019·全国Ⅰ,文21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.
解(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2,又,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.
故☉M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.
素养培优练
(2020·云南师大附中高三月考)已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,满足y1y2=-4.
(1)求抛物线E的方程;
(2)已知点C的坐标为(-2,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,求的最小值.
解(1)因为直线AB过焦点F,设直线AB的方程为x=my+,
将直线AB的方程与抛物线E的方程联立消去x得y2-2mpy-p2=0,
所以有y1y2=-p2=-4,∵p>0,∴p=2,
因此,抛物线E的方程为y2=4x;
(2)由(1)知抛物线的焦点坐标为F(1,0),
设直线AB的方程为x=my+1,
联立抛物线的方程y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,
则有=m+=m+,
因此
=2m2+6m+9
=2m2+6m·+9·
=2m2+6m·+9·=5m2+.
因此,当且仅当m=0时,有最小值.(共39张PPT)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
激趣诱思
知识点拨
把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.
那么它的工作原理是什么?
前照灯由灯泡、反射镜、
配光镜三部分组成
激趣诱思
知识点拨
一、抛物线的简单几何性质
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.
2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)抛物线关于顶点对称.( )
(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√
激趣诱思
知识点拨
微思考
抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?
答案:抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.
激趣诱思
知识点拨
二、直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
特别提醒直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点;直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切,也有可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若直线y=kx+2与y2=x只有一个公共点,则实数k的值为 .
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
抛物线几何性质的应用
例1已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
思路分析:(1)利用抛物线的对应性质求解;
(2)利用抛物线的对称性及重心的性质求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,[0,+∞).
(2)如图所示.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A、B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
直线与抛物线的位置关系
例2已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.
思路分析:方法1:利用点差法,设点作差,要考虑直线的斜率不存在的情况;方法2:可设出直线的方程,将其与抛物线方程联立,得一元二次方程,利用根与系数的关系及中点坐标公式,消参后即可得轨迹方程,同样要考虑斜率不存在的情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
当直线AB的斜率不存在,即AB⊥x轴时,AB的中点坐标为(2,0),适合上式.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟(1)解决中点弦问题的基本方法是点差法,因为用点差法求轨迹方程时用到了斜率,所以必须验证斜率不存在的情况.(2)直线与抛物线相交于两点,隐含着条件Δ>0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解析:由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.
故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2).
当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0,
即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解之得-1≤k<0或0故直线l斜率的取值范围是[-1,1].
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
抛物线的焦点弦问题
例3设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求直线l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
解:(1)由题意得F(1,0),
l的方程为y=k(x-1)(k>0).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
反思感悟AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论:
①以AB为直径的圆必与准线l相切;
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
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答案:C
探究一
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与抛物线有关的定点、定值问题
例4已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程.
(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.
思路分析:(1)由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点,以x=-1为准线的抛物线;(2)设l1,l2的方程,联立方程组消元解出A,B的坐标,代入斜率公式计算kAB.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)解:∵动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,
∴E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,
∴E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.
∴曲线C的方程为y2=4x.
(2)证明:设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.
∵直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补,
∴l2的方程为y=-k(x-1)+2.
探究一
探究二
探究三
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∴直线AB的斜率为定值-1.
探究一
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探究三
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素养形成
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反思感悟定值与定点问题的求解策略
1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即为定值.
2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法:(1)通过方程判断;(2)对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;(3)利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值;(4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.
探究一
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探究三
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变式训练4已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;
(2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点.
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0).
当l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,l过定点(3,0).综上,l过定点(3,0).
探究一
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探究三
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一题多解 与抛物线有关的最值问题
典例如图,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.
思路分析:先求出弦长|AB|,再求出点P到直线AB的距离,从而可表示出△PAB的面积,再求最大值即可.
探究一
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点评(1)本题中弦AB的长为定值,解题关键是将点P(在抛物线AOB曲线上)到AB的距离的最值转化为二次函数最值.在应用配方法求最值时,一定要注意自变量的取值范围.
(2)解决有关抛物线的最值问题时,一种思路是合理转化,数形结合求解;另一种思路是代数法,转化为求二次函数的最值.常见的题型有:
①曲线上的点到直线的距离的最值问题;②过定点的弦长的最值问题;③三角形面积的最值问题.
探究一
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探究三
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当堂检测
1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A.2
B.1
C.4
D.8
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=3p,则|PQ|等于( )
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
解析:由焦点弦长公式知|PQ|=x1+x2+p=4p.
答案:A
3.过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析:点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过点(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.
答案:C
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4.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为( )
答案:B
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5.已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引抛物线的一条弦P1P2,使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
