(共22张PPT)
二 绝对值不等式
1.绝对值三角不等式
1.绝对值的几何意义
(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.
(2)对于任意实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,|a-b|表示数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度.
2.绝对值三角不等式
(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
名师点拨绝对值三角不等式的完整形式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;
(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;
(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;
(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.
做一做1 若|lg
ab|=|lg
a|+|lg
b|成立,则实数a,b满足的条件可以是( )?
A.ab>1
B.0
C.0D.01
解析：由已知得|lg
a+lg
b|=|lg
a|+|lg
b|,所以lg
a·lg
b≥0,因此a>1,且b>1或0答案：C
3.绝对值三角不等式的几何意义
(1)若a,b是任意不共线的向量,则有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义是:三角形的两边之和大于第三边.
(2)|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何意义是:数轴上任意一点到两点的距离之和,不小于这两点的距离.
做一做2 若x,y,z是任意三个互不相等的实数,且a=
,则实数a的取值范围是 .?
答案：[1,+∞)
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在|a+b|≤|a|+|b|中,等号成立的条件是a,b同号.
( )
(2)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.
( )
(3)数轴上任意一点到两点的距离之和,大于这两点间的距离.
( )
(4)形如|x-a|+|x-b|的代数式只有最小值没有最大值.
( )
×
√
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对绝对值三角不等式的理解?
【例1】
若|a-c|( )
A.|a|<|b|+|c|
B.|c|<|b|+|a|
C.|b|>|a|-|c|
D.|b|<|a|+|c|
分析：利用绝对值三角不等式,结合不等式的传递性进行判断.
解析：因为|a-c|0,|b|=b.
因为|a|-|c|≤|a-c|,所以|a|-|c|<|b|,即选项C正确,这时|a|<|b|+|c|,选项A正确;
因为|c|-|a|≤|a-c|,所以|c|-|a|<|b|,所以|c|<|b|+|a|,选项B正确;选项D无法判断.
答案：D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断绝对值不等式是否成立的技巧
1.注意对影响不等号的因素进行分析,如一个数是正数,是负数还是零等,数(或式子)的积、平方、取倒数等也都对不等号产生影响,注意考察这些因素在不等式中的作用.
2.如果对不等式不能直接判断,可以对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断.
3.注意不等式性质尤其是传递性的正确应用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是( )?
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|<|a|+|b|
解析：因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|,
|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|<|a-b|.
答案：B
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用绝对值三角不等式求最值?
【例2】
求解下列各题:
(1)求函数f(x)=|x-4|-|x+2|的最大值和最小值.
(2)若函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值等于5,求实数a的值.
分析：(1)利用绝对值三角不等式求解,注意等号成立的条件;(2)先用a表示函数的最小值,再求得实数a的值.
解：(1)由绝对值三角不等式可得||x-4|-|x+2||≤|(x-4)-(x+2)|,即||x-4|-|x+2||≤6,所以-6≤|x-4|-|x+2|≤6,故函数f(x)的最小值是-6,最大值是6.
(2)由绝对值三角不等式可得|(x-a)-(x-1)|≤|x-a|+|x-1|,即|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以函数f(x)=|x-a|+|x-1|的最小值为|1-a|,于是|1-a|=5,解得a=-4或6.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用绝对值三角不等式求最值的技巧
1.绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系,形如y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值,均可利用该不等式或其几何意义进行求解.
2.一般地,函数y=|x-a|+|x-b|有最小值|a-b|,无最大值;函数y=|x-a|-|x-b|的最大值为|a-b|,最小值为-|a-b|.
3.求最值时,还应注意等号成立的条件.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 (1)函数f(x)=|2x+1|+|2x-4|的最小值等于 .?
(2)若|x-2|-|x-3|>m恒成立,则实数m的取值范围是 .?
解析：(1)f(x)=|2x+1|+|2x-4|≥|(2x+1)-(2x-4)|=5,所以函数的最小值为5.
(2)因为函数y=|x-2|-|x-3|的最小值为-1,所以实数m的取值范围是m<-1.
答案：(1)5 (2)m<-1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用绝对值三角不等式证明不等式?
【例3】
已知
,求证|(A+B+C)-(a+b+c)|分析：先将求证不等式左边进行变形,重新组合,与已知条件相对应,再利用绝对值三角不等式证明.
证明：|(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|
反思感悟利用绝对值三角不等式证明的技巧
1.含绝对值不等式的证明一般可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明.
2.注意与不等式性质、证明不等式其他方法的结合.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 已知|x-a|<ε,|y-b|<ε,求证|x+3y-a-3b|<4ε.?
证明：|x+3y-a-3b|=|(x-a)+3(y-b)|≤|x-a|+|3(y-b)|=|x-a|+3|y-b|<ε+3ε=4ε,故原不等式成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因题意理解不清致错
典例若关于x的不等式|x+5|+|x+7|>a的解集不是R,则实数a的取值范围是 .?
错解依题意得a>(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a>2.
正解若关于x的不等式|x+5|+|x+7|>a的解集是R,则该不等式恒成立,因此a<(|x+5|+|x+7|)min.
而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a<2,故要使不等式的解集不是R,实数a的取值范围是a≥2.
答案[2,+∞)
纠错心得由于对“解集不是R”的意义理解不清而导致错解,事实上,可以利用补集思想解决这个问题,即先求出当不等式解集为R时a的取值范围,再取其补集即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 若关于x的不等式|x+5|-|x-3|>a有解,则实数a的取值范围是 .?
解析：因为|x+5|-|x-3|的最大值等于8,所以当a≥8时,不等式|x+5|-|x-3|>a无解,从而当不等式有解时,实数a的取值范围是(-∞,8).
答案：(-∞,8)
1
2
3
4
5
1.若|a+b|≥|a|+|b|,则必有( )
A.ab≤0
B.ab≥0
C.ab>0
D.ab<0
解析：因为|a+b|≤|a|+|b|,又|a+b|≥|a|+|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,因此必有ab≥0.
答案：B
1
2
3
4
5
2.函数f(x)=|x+2|+|x-2|的最小值为( )
A.4
B.2
C.0
D.-4
解析：因为|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.
答案：A
1
2
3
4
5
3.若|x-a|( )
A.|x-y|<2h
B.|x-y|<2k
C.|x-y|D.|x-y|<|h-k|
解析：|x-y|=|(x-a)+(a-y)|≤|x-a|+|a-y|答案：C
1
2
3
4
5
4.函数y=|4x-1|-|4x+2|的值域为 .?
解析：因为||4x-1|-|4x+2||≤|(4x-1)-(4x+2)|=3,所以-3≤|4x-1|-|4x+2|≤3,故函数y的值域为[-3,3].
答案：[-3,3]
1
2
3
4
5
证明：分两种情况:
(1)|a|≤|b|,结论显然成立.
(2)当|a|>|b|时,因为|a2-b2|≥|a2|-|b2|
=|a|2-|b|2=(|a|+|b|)(|a|-|b|)
≥|a|(|a|-|b|),(共26张PPT)
2.绝对值不等式的解法
1.绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法
做一做1 若不等式|x|>2a-1的解集为R,则实数a的取值范围是 .?
2.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法
(1)不等式|ax+b|≤c(c≥0)的求解:先化为不等式组-c≤ax+b≤c,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.
(2)不等式|ax+b|≥c(c≥0)的求解:先化为不等式组ax+b≤-c或ax+b≥c,再利用不等式的性质求出原不等式的解集.
名师点拨解含绝对值不等式的核心任务是:先去绝对值,将不等式恒等变形为不含绝对值的常规不等式,再利用已经掌握的解题方法求解,注意不可盲目平方去绝对值符号.
做一做2 (1)不等式|2x-1|<3的解集为 .?
(2)不等式|x-4|>2的解集为 .?
解析：(1)由|2x-1|<3可得-3<2x-1<3,解得-1(2)由|x-4|>2可得x-4>2,或x-4<-2,解得x>6,或x<2,故原不等式的解集为{x|x>6或x<2}.
答案：(1){x|-16或x<2}
3.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法
有三种不同的解法:
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想.理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键.
(2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性,进而去掉绝对值符号.
(3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想.正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考虑函数的增减性)是关键.
特别提醒对于|x-a|-|x-b|≤c和|x-a|-|x-b|≥c型的不等式,也可采用上述三种方法进行求解,即(1)几何意义法;(2)零点分段法;(3)构造函数法.
做一做3 不等式|x+2|+|x-3|>4的解集为 .?
解析：因为|x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5,即|x+2|+|x-3|的最小值为5,所以不等式|x+2|+|x-3|>4恒成立,即解集为R.
答案：R
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)关于x的不等式|2x-3|( )
(2)关于x的不等式|x-a|+|x-b|>m的解集不可能为空集.
( )
(3)关于x的不等式|x-a|-|x-b|>m的解集不可能是全体实数集R.
( )
(4)不等式|x2-2x-3|>0的解集为全体实数集R.
( )
×
√
×
×
探究一
探究二
思维辨析
形如|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法?
【例1】
解不等式:
(1)|5x-2|≥8;(2)2≤|x-2|≤4.
分析：(1)直接利用|ax+b|≥c型不等式的解法求解;(2)转化为不等式组求解.
由|x-2|≥2得x-2≤-2,或x-2≥2,所以x≤0,或x≥4.
由|x-2|≤4得-4≤x-2≤4,
所以-2≤x≤6.
故原不等式的解集为{x|-2≤x≤0或4≤x≤6}.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟形如|f(x)|≤a和|f(x)|≥a(a≥0)型的不等式,均可采用等价转化法进行求解,即|f(x)|≤a?-a≤f(x)≤a,|f(x)|≥a?f(x)≤-a或f(x)≥a.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1 解不等式:?
探究一
探究二
思维辨析
形如|x-a|±|x-b|≤c和|x-a||x-b|≥c型不等式的解法?
【例2】
解不等式:
(1)|x+1|+|x-1|≥3;
(2)|x-3|-|x+1|<1.
探究一
探究二
思维辨析
解：(1)(方法一)如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,则点A,B之间的点到A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是原不等式的解.设在点A左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x.
由-1-x+1-x=3,得x=-
.
同理设点B右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3,B1对应数轴上的x,
由x-1+x-(-1)=3,得x=
.
从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.
探究一
探究二
思维辨析
(方法二)当x≤-1时,原不等式可以化为
-(x+1)-(x-1)≥3,
解得x≤-
.
当-1x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.
当x≥1时,原不等式可以化为
x+1+x-1≥3,
解得x≥
.
探究一
探究二
思维辨析
(方法三)将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.
构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,
作出函数的图象,如图.
探究一
探究二
思维辨析
(2)(方法一)如图所示,在数轴上-1,3,x对应的点分别为A,C,P,而点B对应的实数为
,B到点C的距离与到点A距离之差为1.
由绝对值的几何意义知,当点P在点B右侧上(不含点B)时不等式成立,故不等式的解集为
探究一
探究二
思维辨析
(方法三)将原不等式转化为|x-3|-|x+1|-1<0,构造函数y=|x-3|-|x+1|-1,
反思感悟形如|x-a|±|x-b|≤c和|x-a|±|x-b|≥c型的不等式,均可采用三种解法:分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论法具有普遍性,但较麻烦;几何法和图象法直观,但只适用于数据较简单的情况,所以在具体求解时,可灵活选用.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2 解不等式:?
(1)|x-1|-|5-x|>2;(2)|2x-1|+|3x+2|≥8.
解：(1)原不等式即为|x-1|-|x-5|>2,其等价于
①的解集为?,②的解集为{x|4故原不等式的解集为{x|x>4}.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
忽视分类讨论致错
典例解关于x的不等式|x2-a|纠错心得由于忽视对参数a的分类讨论而导致错解,因此,在求解含参数的绝对值不等式时,要注意结合绝对值的性质,对参数进行分类讨论,并要做到不重不漏.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练?解关于x的不等式a|x-1|>2(a∈R).
1
2
3
4
5
1.不等式|x-3|<2的解集为( )
A.{x|-1B.{x|1C.{x|x<5}
D.{x|1≤x<5}
解析：由|x-3|<2得-2答案：B
1
2
3
4
5
2.不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是( )
答案：A
1
2
3
4
5
3.若关于x的不等式|3x-1|,则实数a的值等于( )
A.2
B.3
C.1
D.
答案：A
1
2
3
4
5
4.若关于x的不等式|x+2|-|x+3|>m有解,则实数m的取值范围是 .?
解析：由于-1≤|x+2|-|x+3|≤1,要使不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可,即m<1,m的范围为(-∞,1).
答案：(-∞,1)
1
2
3
4
5
5.解不等式|x2-3|<2x.
解：由题意知x>0,则原不等式可化为-2x-2x可得x>1或x<-3;由x2-3<2x可得-1