(共21张PPT)
第二讲 证明不等式的基本方法
一 比较法
1.作差比较法
(1)原理:a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a
(2)步骤:作差—变形—确定符号—下结论.
名师点拨作差比较时,为了判断差的符号,需要先对差式进行变形,这是证明的关键步骤,变形的常用方法有:因式分解、配方、分子(或分母)有理化等.
2.作商比较法
(2)步骤:作商—变形—确定商与1的大小关系—下结论.
特别提醒作商比较时,需要注意a,b的符号,当a,b<0时,
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
×
√
×
√
探究一
探究二
思维辨析
用作差比较法证明不等式?
【例1】
已知正数a,b,c成等比数列,求证a2-b2+c2≥(a-b+c)2.
分析：先由a,b,c成等比数列得出a,b,c满足的关系式,再利用作差法进行证明.
证明：因为正数a,b,c成等比数列,
所以b2=ac,b=
所以(a2-b2+c2)-(a-b+c)2
=(a2-b2+c2)-(a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc)
=-2b2+2ab-2ac+2bc
=-4b2+2ab+2bc
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟作差比较法证明不等式的技巧
1.在作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用考虑差能否化简或值是多少.
2.变形所用的方法有配方、因式分解等,要具体情况具体分析.
3.因式分解是常用的变形手段,为了便于判断差式的符号,常将差式变形为一个常数,或几个因式积的形式,当所得的差式是某字母的二次三项式时,常用判别式法判断符号.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1 若a,b均为负数,求证a3+b3≤a2b+ab2.?
证明：a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b).
因为a,b均为负数,所以a+b<0,(a-b)2≥0,
所以(a-b)2(a+b)≤0.
故a3+b3≤a2b+ab2.
探究一
探究二
思维辨析
用作商比较法证明不等式?
【例2】
已知θ∈
,求证cos
2θ>cos
θ-sin
θ.
分析：当作差比较法不易证明时,可采用作商比较法证明.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟作商比较法证明不等式的一般步骤
1.作商,将不等式左右两边的式子进行作商.
2.变形,化简商式到最简形式.
3.判断,判断商与1的大小关系.
4.得出结论.
注意:不能忽视判断左右两边的式子的符号.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
误用作商比较法致错
典例已知a>0,求证log(a+1)a探究一
探究二
思维辨析
正解当a=1时,因为log(a+1)a=0,log(a+2)(a+1)=log32>0,所以log(a+1)a当00,
所以log(a+1)a当a>1时,因为log(a+1)a>0,log(a+2)(a+1)>0,
所以log(a+1)a综上,不等式log(a+1)a探究一
探究二
思维辨析
纠错心得用作商比较法证明不等式,要注意前提条件,即由
<1推得b0,否则可能会得出相反的结论.本题中没有论证log(a+1)a>0,log(a+2)(a+1)>0,所以证明是不严密的.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练?已知a,b∈(0,+∞),n∈N+,
求证(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
证明：(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)
=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1
=an(b-a)+bn(a-b)=(a-b)(bn-an).
①当a>b>0时,a-b>0,bn-an<0,
则(a-b)(bn-an)<0.
②当b>a>0时,a-b<0,bn-an>0,
则(a-b)(bn-an)<0.
③当a=b>0时,a-b=0,
则(a-b)(bn-an)=0,即(a-b)(bn-an)≤0,
故(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).
1
2
3
4
1.若P=x2+y2+1,Q=xy-x-y,则( )
A.P>Q
B.P≥Q
C.PD.P≤Q
解析：因为2P-2Q=2x2+2y2+2-2xy+2x+2y=(x-y)2+(x+1)2+(y+1)2≥0,所以P≥Q.
答案：B
1
2
3
4
2.若a>b>0,则ab·ba与aa·bb的大小关系是( )
A.ab·baB.ab·ba≤aa·bb
C.ab·ba>aa·bb
D.ab·ba≥aa·bb
答案：A
1
2
3
4
3.已知a1,a2∈(0,1),M=a1a2,N=a1+a2+1,则M,N的大小关系是 .?
解析：M-N=a1a2-a1-a2-1=(a1-1)(a2-1)-2,
因为a1,a2∈(0,1),所以a1-1,a2-1∈(-1,0).
所以(a1-1)(a2-1)∈(0,1).
则(a1-1)(a2-1)-2<0,故M答案：M1
2
3
4(共23张PPT)
二 综合法与分析法
1.综合法
一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法,又叫顺推证法或由因导果法.
名师点拨用综合法证明不等式的逻辑关系:A?B1?B2?…?Bn?B,由已知逐步推演不等式成立的必要条件,从而得结论.
做一做1 若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是
( )?
答案：A
2.分析法
证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.
名师点拨用分析法证明不等式的逻辑关系:B?B1?B2?…?Bn?A,由结论步步寻求使不等式成立的充分条件,从而得到已知(或明显成立的事实).
做一做2 用分析：法证明:欲使A>B①,只需CA.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,即②?①,所以①是②的必要条件.
答案：B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)用综合法证明时,其实质是由已知逐步推演不等式成立的充分条件,从而得到结论.
( )
(2)用分析法证明时,其实质是由结论步步寻求使不等式成立的充要条件,从而到已知.
( )
(3)综合法是直接证明,
分析法是间接证明.
( )
(4)有些问题的证明,可以将综合法与分析法结合起来使用.
( )
×
×
×
√
探究一
探究二
规范解答
利用综合法证明不等式?
分析：欲证不等式的结构与基本不等式有关,可考虑利用基本不等式进行证明.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
反思感悟1.综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系,要注重分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系,合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
2.综合法证明不等式时常用的已知不等式主要有如下几个:
(1)a2≥0(a∈R);
(2)(a-b)2≥0(a,b∈R);
(4)a3+b3+c3≥3abc(a,b,c>0);
(5)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
探究一
探究二
规范解答
变式训练1 已知a>0,b>0,c>0,求证a3+b3+c3≥
(a2+b2+c2)(a+b+c).?
证明：因为a2+b2≥2ab,a>0,b>0,所以(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b),
即a3+b3+a2b+ab2≥2a2b+2ab2.
所以a3+b3≥a2b+ab2(当且仅当a=b时,等号成立).
同理可得b3+c3≥b2c+bc2(当且仅当b=c时,等号成立),a3+c3≥a2c+ac2(当且仅当a=c时,等号成立),
将以上三式两边分别相加,得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2,
所以3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+ac2)
=(a+b+c)(a2+b2+c2),
所以a3+b3+c3≥
(a2+b2+c2)(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).
探究一
探究二
规范解答
利用分析法证明不等式?
【例2】
已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有
分析：用分析法证明,从要证明的不等式出发,将要证明的不等式逐步简化,直至得出明显成立的不等式.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
反思感悟分析法证明不等式应注意的问题
1.分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.
2.分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.
3.用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好反推符号“?”或“要证”“只需证”“即证”等词语.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
利用综合法与分析法证明不等式
典例已知函数f(x)=ln(x+2),a,b,c是两两不相等的正实数,且a,b,c成等比数列,试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系,并证明你的结论.
【审题策略】可先利用基本不等式得到a,b,c中间的不等关系,然后再借助对数函数的单调性得到结论.
探究一
探究二
规范解答
【规范展示】f(a)+f(c)>2f(b).
证明:因为a,b,c是两两不相等的正实数,
所以由基本不等式可得a+c>2
.
又a,b,c成等比数列,所以b2=ac.
于是a+c>2
=2b.
而f(a)+f(c)=ln(a+2)(c+2)=ln
[ac+2(a+c)+4],
2f(b)=2ln(b+2)=ln(b2+4b+4),
因为ac+2(a+c)+4=b2+2(a+c)+4>b2+4b+4,
且函数f(x)=ln(x+2)是单调递增函数,
所以ln
[ac+2(a+c)+4]>ln(b2+4b+4),
故f(a)+f(c)>2f(b).
探究一
探究二
规范解答
【答题模板】
第1步:给出结论
?
第2步:利用基本不等式和已知条件得到a,b,c之间的不等关系
?
第3步:代入求得函数值
?
第4步:根据对数函数单调性得到结论
探究一
探究二
规范解答
失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的主要原因是:
(1)解答的开始没有给出结论,一开始就进行证明.对于这类问题,应该先回答问题的结论,然后再进行证明;
(2)忽视了基本不等式等号成立的条件而直接得到a+c≥2
;
(3)对对数的运算性质不熟练导致变形出现错误,从而无法继续证明;
(4)不能从函数的单调性出发联系要证明的结论,导致证明无法继续.
探究一
探究二
规范解答
变式训练?已知a,b是两个不相等的正实数,且a+b=2,求证
证明：因为a,b都是正实数,所以原不等式等价于a2(b+1)+b2(a+1)>(a+1)(b+1).
展开得a2b+a2+b2a+b2>ab+a+b+1,
即a2+b2+ab(a+b)>ab+a+b+1.①
将a+b=2代入①式,只需证a2+b2+2ab>ab+3,
即(a+b)2>ab+3.②
将a+b=2代入②式,整理,得ab<1.
而由已知得2=a+b>2
可得ab<1成立,
故原不等式成立.
1
2
3
4
A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法综合使用
D.间接证明法
解析：证明过程是由左到右,顺推证明,是综合法.
答案：B
1
2
3
4
2.用分析法证明不等式时的推理过程一定是( )
A.正向、逆向均可进行正确的推理
B.只需能进行逆向推理
C.只需能进行正向推理
D.有时能正向推理,有时能逆向推理
答案：B
1
2
3
4
只需证a2+b2≥2ab,也就是证 ,即证 .由于 显然成立,因此原不等式成立.?
答案：a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0.
1
2
3
4(共21张PPT)
三 反证法与放缩法
1.反证法
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
做一做1 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时,假设正确的是( )?
A.三个内角都小于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角中至多有一个大于60°
D.三个内角中至多有两个大于60°
解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”,则假设为“三个内角都小于60°”.
答案：A
2.放缩法
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
名师点拨放缩法证明不等式的理论依据:
(1)不等式的传递性;
(2)等量加不等量为不等量;
(3)同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较.
做一做2 若A=1+
(n∈N+),则A与n的大小关系是 .?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)用反证法证明命题“若p,则q”时,证明?q假,进而得q为真.
( )
(2)若m>n>0,则
.
( )
(3)命题“x,y都是偶数”的否定是“x,y都不是偶数”.
( )
(4)若|a|<1,则|a+b|-|a-b|<2.
( )
√
×
×
√
探究一
探究二
思维辨析
利用反证法证明不等式?
【例1】已知f(x)=x2+px+q.求证:
(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
分析：(1)代入即可证明;(2)利用反证法,并结合(1)中的结论推得矛盾,从而证明不等式.
证明：(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.
(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2矛盾,则假设错误,故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟用反证法证明不等式:
(1)适用范围,凡涉及不等式为唯一性、否定性命题、存在性命题等可考虑反证法.如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式.
(2)注意事项,在对原命题进行否定时,应全面、准确,不能漏掉任何情况,反证法体现了“正难则反”的策略,在解题时要灵活应用.
探究一
探究二
变式训练1 设a,b,c,d都是小于1的正数,求证:4a(1-b),4b(1-c),4c(1-d),4d(1-a)这四个数不可能都大于1.?
思维辨析
探究一
探究二
利用放缩法证明不等式?
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟利用放缩法证明不等式:
(1)利用放缩法证明不等式,要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式),审慎地采取措施,进行恰当的放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败;
(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法,利用放缩法证明不等式,就是采取舍掉代数式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数,从而达到证明不等式的目的.
探究一
探究二
变式训练2 设x>0,y>0,z>0,
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
放缩不当导致不等式证明错误
典例设a1,a2,a3,…,an均为正数,
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得利用放缩法证明不等式的关键是对待证不等式中的部分项进行扩大或缩小,并使扩大或缩小后的项能够结合数列或其他求和知识进行化简,从而证得不等式.如果放缩不当,无法对放缩后的式子化简,就会导致错误,本题的错误即在于此.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练?设n∈N+,
1
2
3
4
5
1.用反证法证明
“如果a>b,那么
”的假设内容应是
( )
答案：D
1
2
3
4
5
A.M>N
B.MC.M=N
D.不确定
答案：B
1
2
3
4
5
答案：A<2
1
2
3
4
5
4.已知a,b,c∈R,且a,b,c均不相等.若a+b+c=0,求证ab+bc+ca≤0.
证明：假设命题不成立,
即ab+bc+ca>0,
则2ab+2bc+2ca>0.
又a,b,c均不相等,
所以a2+b2+c2>0.
所以(a+b+c)2>0,这与a+b+c=0相矛盾,
所以原命题成立.
1
2
3
4
5(共23张PPT)
本讲整合
答案：①分析法 ②放缩法 ③作差比较法 ④作商比较法
专题一
专题二
专题三
专题一:利用比较法证明不等式
比较法证明不等式的依据是不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明不等式的一般步骤:(1)作差;(2)恒等变形;(3)判断结果的符号;(4)下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少.作商比较法要注意判断分子、分母的符号.
专题一
专题二
专题三
例1设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10.求证logac+logbc≥4lg
c.
分析：利用作差比较法,通过因式分解判断符号,从而证明不等式.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题二:利用综合法与分析法证明不等式
1.综合法证明不等式的依据:已知的不等式的基本性质,已知的重要不等式以及逻辑推理的基本理论.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立.证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,等号成立”的理由要理解掌握.
专题一
专题二
专题三
2.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.
分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发,逐步寻找使它成立的充分条件“执果索因”,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.
专题一
专题二
专题三
分析：(1)构造等差数列求解;(2)用比较法证明.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
分析：题目已知条件较少,不宜用综合法证明,故考虑用分析法证明.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
证明：因为x,y∈R,且|x|<1,|y|<1,
即证1+x2y2-2xy≥1-x2-y2+x2y2,
即-2xy≥-x2-y2,亦即x2+y2≥2xy.
而x2+y2≥2xy显然成立,故原不等式成立.
专题一
专题二
专题三
专题三:利用反证法与放缩法证明不等式
1.运用反证法证明不等式,主要有以下两个步骤:(1)作出与所证不等式相反的假设;(2)从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.
2.反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题,涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题,常用反证法.
3.用放缩法证明不等式时,关键是对不等式的一边适当地扩大或缩小以方便化简,使之与不等式的另一边的关系更为明显,从而证明原不等式成立.
专题一
专题二
专题三
例4已知0分析：该命题为否定性命题,可用反证法证明.
证明：假设x(2-y)>1,y(2-z)>1,z(2-x)>1均成立.
则三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1.①
因为0所以0同理0所以三式相乘得0②与①矛盾,故假设不成立.
因此x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1.
专题一
专题二
专题三
变式训练3 已知a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.?
证明：假设a,b,c,d都是非负数,即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0.
因为a+b=1,c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1,
即(ac+bd)+(ad+bc)=1.
因为a,b,c,d都是非负数,所以bc+ad≥0.
所以ac+bd=1-(ad+bc)≤1,
这与ac+bd>1矛盾,
故假设错误,即a,b,c,d中至少有一个是负数.
专题一
专题二
专题三
例5设an是函数f(x)=x3+n2x-1(n∈N+)的零点,且0
分析：先根据函数零点的定义得到an的表达式,再利用放缩法证明结论成立.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
变式训练4 已知a,b,c为三角形的三边,求证:?
1
2
3
4
考点:不等式证明
1.(2016全国Ⅱ高考)已知函数
,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
1
2
3
4
(2)由(1)知,当a,b∈M时,-1从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1
=(a2-1)(1-b2)<0.
因此|a+b|<|1+ab|.
1
2
3
4
2.(2015湖南高考)设a>0,b>0,且a+b=
,证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0同理,0故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
1
2
3
4
3.(2014江苏高考)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
1
2
3
4
4.(2013全国Ⅱ高考)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
证明：(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,
得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.