(共27张PPT)
第三讲 柯西不等式与排序不等式
一 二维形式的柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)柯西不等式推论:
做一做1 下列不等式中,不一定成立的是( )?
解析：由柯西不等式可知选项A,B,C均正确,选项D错误.
答案：D
2.柯西不等式的向量形式
设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
名师点拨1.平面直角坐标系上一个向量从原点出发的由两个量决定:横坐标与纵坐标,所以“二维”就要有四个量,因此柯西不等式的向量形式可以认为是四个数组合成的一种不等关系.
2.二维形式的柯西不等式的代数形式与向量形式是一致的,只是表现方式不同.
做一做2 若a=(cos
α,sin
α),b=(3cos
2β,3sin
2β),则a·b的取值范围是 .?
解析：由已知得|a|=1,|b|=3,而|a·b|≤|a||b|=3,所以-3≤a·b≤3,即a·b的取值范围是[-3,3].
答案：[-3,3]
解析：因为|a·b|≤|a||b|=
=5,所以-5≤a·b≤5(当且仅当a=kb,即k=±1时,等号成立),即a·b的最大值为5.
答案：B
3.二维形式的三角不等式
(1)二维形式的三角不等式:若x1,y1,x2,y2∈R,
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
×
√
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用二维形式的柯西不等式证明不等式?
分析：根据柯西不等式的结构,先将待证不等式右边添乘cos2θ+sin2θ,以符合柯西不等式的形式,再进行论证和推理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用二维形式柯西不等式的代数形式的证明技巧
2.证明时往往需要将数学表达式适当变形,如“添项、拆项、分解、组合、配方、变量替换”等,这些变形要求具有很高的技巧,必须善于分析题目的特征,才能找到问题的突破口.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用二维形式的柯西不等式求最值?
分析：可考虑“1”的代换,将x+y化为(x+y)
,再利用柯西不等式求最值.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用柯西不等式求最值的注意点:
(1)不等式的形式特点,利用二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2解题时,要对照柯西不等式,弄清要求的问题中哪样的数或代数式分别相当于柯西不等式中的“a,b,c,d”,否则容易出错.
(2)等号成立的条件,利用二维形式的柯西不等式解题时,一定要写明等号成立的条件,否则题目的解题过程是不完善的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 (1)设x,y∈R,且2x+3y=13,则x2+y2的最小值为 .?
(2)函数f(x)=
的最大值等于 .?
解析：(1)由柯西不等式可得(2x+3y)2≤(22+32)(x2+y2),当且仅当2y=3x时,等号成立,因为2x+3y=13,所以x2+y2≥13(当且仅当x=2,y=3时,等号成立).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
柯西不等式的向量形式的应用?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟利用柯西不等式的向量形式解决问题的技巧与方法:应用二维形式的柯西不等式的代数形式解决问题时常需要构造两列数,同样,向量形式的柯西不等式需要构造两个向量,通常我们使构造的向量先满足待证不等式一侧的形式,再证另一侧.同时要注意向量模的计算公式|a|=
对代数式的影响.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 设a=(-2,2),|b|=6,则a·b的最小值是 ,此时b= .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
柯西不等式使用不当致错
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得柯西不等式在求二元代数式的最值中具有重要的应用,解题中,一是要熟记柯西不等式的基本形式及其各种变式,二是要注意不等式中等号成立的条件,这是能否取得相应最值的关键.如果公式记忆不准确,等号成立条件忽视,就容易导致错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案：3
1
2
3
4
1.若x,y∈R,且x+y=1,则x2+y2的最小值为( )
答案：D
1
2
3
4
2.已知a,b,x1,x2∈(0,+∞),则使不等式(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2成立的一个条件是( )
A.a+b=1
B.a2+b2=1
C.a=b=1
D.a2+b2=
答案：A
1
2
3
4
3.设a,b∈R,且a2+b2=5,则3a+b的最小值为( )
答案：D
1
2
3
4
4.已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是 .?(共22张PPT)
二 一般形式的柯西不等式
1.三维形式的柯西不等式
设α=(a1,a2,a3),β=(b1,b2,b3),则
≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当α,β共线时,即β=0,或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.
做一做 若a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的取值范围是 .?
解析：由三维形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,即(ax+by+cz)2≤4×9=36,所以-6≤ax+by+cz≤6.
答案：[-6,6]
2.一般形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则
(a1b1+a2b2+…+anbn)2,
当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
名师点拨一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
×
√
×
探究一
探究二
思维辨析
利用三维形式的柯西不等式解决问题?
分析：结合柯西不等式,将不等式左边添乘(a+b+c)进行证明.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟应用柯西不等式证明不等式的方法与技巧
应用柯西不等式证明不等式的关键是首先根据待证不等式的结构特点,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式进行证明.构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法,(1)巧拆常数;(2)重新安排各项的次序;(3)改变式子的结构;(4)添项等.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1 已知x,y,z为实数,求证(x+2y+3z)2≤14(x2+y2+z2).?
证明：由柯西不等式可知(12+22+32)·(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2,
探究一
探究二
思维辨析
【例2】
已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 .?
分析：由a+2b+3c与a2+4b2+9c2的关系是前者各项平方和为后者,则可将a2+4b2+9c2添乘(12+12+12),从而构造三维形式的柯西不等式进行求解.
解析：由柯西不等式可得(a2+4b2+9c2)(12+12+12)=[a2+(2b)2+(3c)2](12+12+12)≥(a×1+2b×1+3c×1)2=(a+2b+3c)2=62=36,即3(a2+4b2+9c2)≥36,则a2+4b2+9c2≥12,当且仅当
时,等号成立.又a+2b+3c=6,可得a=2,b=1,c=
,故a2+4b2+9c2的最小值为12.
答案：12
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟应用柯西不等式求最值的方法与技巧
应用柯西不等式求最值的关键首先是根据已知条件,构造符合柯西不等式的形式及特点,然后利用柯西不等式求解最值.构造符合柯西不等式的形式时,可以有以下几种方法,(1)巧乘常数;(2)添项;(3)改变式子的结构;(4)重新安排各项的次序等.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2 已知x,y,z为实数,且
+z2=2,求x+y+z的最大值.?
探究一
探究二
思维辨析
利用一般形式的柯西不等式解决问题?
【例3】若ai,bi∈R+(i=1,2,…,n),
分析：首先将a1b1+…+anbn改写为
,同时,将不等式左边第二项也进行类似改写,然后利用一般形式的柯西不等式即可证明.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟运用一般形式的柯西不等式解决问题的关键是首先将所给代数式进行整理变形,使之符合柯西不等式的基本形式,然后运用柯西不等式.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练3 已知a,b,c,d为实数,求证(a+b+c+d)2≤4(a2+b2+c2+d2).?
证明：由柯西不等式可得4(a2+b2+c2+d2)=(12+12+12+12)(a2+b2+c2+d2)≥(1·a+1·b+1·c+1·d)2=(a+b+c+d)2(当且仅当a=b=c=d时,等号成立),故原不等式成立.
探究一
探究二
思维辨析
忽视柯西不等式等号成立的条件致错
典例已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+cz≤t,求t的最小值.
错解求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.
故u=ax+by+cz的最大值为5,从而t的最小值为5.
正解求t的最小值,即求u=ax+by+cz的最大值.由柯西不等式,得
u2=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=1×9=9,u=ax+by+cz≤3,当且仅当
时,等号成立,此时u=ax+by+cz的最大值为3,从而t的最小值为3.
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得本题错误在于利用基本不等式求最值时,忽视了等号成立的条件从而得到错误结果.有些求最值问题,如果无法利用基本不等式求最值,可考虑采用柯西不等式求最值,本题利用柯西不等式很容易求最值.
探究一
探究二
思维辨析
答案：4
1
2
3
4
5
1.若a,b,c,x,y,z∈R,则下列不等式中不正确的是( )
A.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2
B.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ay+bz+cx)2
C.(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(az+bx+cy)2
解析：对照柯西不等式可知,选项D错误.
答案：D
1
2
3
4
5
2.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是
( )
A.1
B.n
C.n2
D.
答案：C
1
2
3
4
5
3.已知a2+b2+c2+d2=10,则ab+bc+cd+ad的最小值为
( )
A.10
B.-10
C.100
D.-100
解析：由柯西不等式得(ab+bc+cd+ad)2≤(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2)=100,当且仅当
,即|a|=|b|=|c|=|d|时,等号成立.所以|ab+bc+cd+ad|≤10,即-10≤ab+bc+cd+ad≤10.
答案：B
1
2
3
4
5
4.若x2+y2+z2=5,则2x+y+2z的最大值为 .?
解析：由柯西不等式可得(22+12+22)(x2+y2+z2)≥(2x+y+2z)2,当且仅
1
2
3
4
5(共21张PPT)
三 排序不等式
1.基本概念
设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.则
(1)顺序和为a1b1+a2b2+…+anbn;
(2)乱序和为a1c1+a2c2+…+ancn;
(3)反序和为a1bn+a2bn-1+…+anb1.
名师点拨对于给定的两组数,顺序和与反序和是唯一的,而乱序和不止一个.
做一做1 已知两组数:1,2,3和10,15,30,则顺序和等于 ,反序和等于 ,乱序和分别为 、 、 、 .?
解析：顺序和等于1×10+2×15+3×30=130;
反序和等于1×30+2×15+3×10=90;
乱序和分别为1×10+2×30+3×15=115,1×15+2×10+3×30=125,1×15+2×30+3×10=105,1×30+2×10+3×15=95.
答案：130 90 115 125 105 95
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
名师点拨1.排序不等式(排序)是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和则是不按“常规”的顺序.
2.排序不等式中取等号的条件是a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn,对于我们解决某些问题非常关键,它是命题成立的一种条件,因此要牢记.
做一做2 已知两组数1,2,3和25,30,45.若c1,c2,c3是25,30,45的一个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是 ,最小值是 .?
解析：c1+2c2+3c3的最大值应该是顺序和1×25+2×30+3×45=220,最小值则为反序和1×45+2×30+3×25=180.
答案：220 180
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对于给定的两组数,顺序和、反序和与乱序和都是唯一的.
( )
(2)对于任意给定的两组数,反序和不大于顺序和.
( )
(3)设a1,a2,a3是1,2,3的一个排序,则a1+2a2+3a3的最大值是14.
( )
(4)若a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则
的最大值是4.
( )
×
√
√
×
探究一
探究二
利用排序不等式证明不等式?
【例1】
设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列,
分析：构造数组,利用排序不等式证明.
探究一
探究二
反思感悟当所证不等式中涉及的变量已经给出大小关系时,可以根据待证不等式各部分的结构特点,构造数组,从而可以将待证不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、反序和或乱序和,从而借助排序不等式证得结论.
探究一
探究二
变式训练1 设x,y,z为正数,
探究一
探究二
【例2】
已知a,b,c>0,
分析：由于所要证的不等式中a,b,c的“地位”是对称的,因此可以先设出a,b,c的大小.
探究一
探究二
反思感悟当所证不等式中涉及的变量没有给出大小关系,并且所证不等式与这些变量的大小关系无关时,通常可以先限定或假设出这些变量之间的大小顺序,再将待证不等式中的各部分视作是给定数组的顺序和、反序和或乱序和,从而借助排序不等式证得结论.
探究一
探究二
探究一
探究二
利用排序不等式求最值?
【例3】
若a,b,c>0,
分析：利用排序不等式求解最小值关键是首先找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱序和≤顺序和求解最小值.
探究一
探究二
反思感悟利用排序不等式求最值的方法
利用排序不等式求最值时,先要对求解不等式及已知条件仔细分析,观察不等式的结构,明确两个数组的大小顺序,分清顺序和、乱序和及反序和.由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可.一般最值是顺序和或反序和.
探究一
探究二
变式训练3 若a1,a2,a3>0,且a1+a2+a3=1,
1
2
3
4
5
1.已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列后记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5的最大值与最小值分别为( )
A.132,6
B.304,212
C.22,6
D.21,36
解析：顺序和最大,所以最大值为a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304;反序和最小,所以最小值为a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.
答案：B
1
2
3
4
5
2.设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任意一个排列,则
的最小值为( )
A.1
B.n
C.n2
D.无法确定
答案：B
1
2
3
4
5
3.某班学生要开联欢会,需要购买价格不同的礼品4件、5件及2件,现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品,则购买最少和最多花的钱数分别为( )
A.19元,24元
B.19元,20元
C.19元,25元
D.25元,27元
解析：由排序不等式可知,最少为2×3+4×2+5×1=19(元),最多为2×1+4×2+5×3=25(元).
答案：C
1
2
3
4
5
4.设a≥b>0,则a3+b3与a2b+ab2的大小关系是 .?
解析：因为a≥b>0,所以a2≥b2>0,于是顺序和a·a2+b·b2=a3+b3,反序和为a2b+ab2,由排序不等式可得a3+b3≥a2b+ab2.
答案：a3+b3≥a2b+ab2
1
2
3
4
5(共15张PPT)
本讲整合
答案：①三维形式的柯西不等式 ②一般形式的柯西不等式 ③乱序和 ④顺序和 ⑤向量形式 ⑥三角不等式
专题一
专题二
专题一:柯西不等式的应用
1.柯西不等式的一般形式为
≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).该不等式的形式简洁、美观,对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解,也可以用来解决最值问题.
2.利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数,并向着柯西不等式的形式进行转化,运用时要注意体会拼凑和变形技巧.
3.利用柯西不等式证明不等式,特别是求最值时要注意等号是否成立.
专题一
专题二
专题一
专题二
变式训练1 已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,
求证
≤c≤1.?
证明：因为a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,
所以a+2b=1-c,a2+b2=1-c2.
由柯西不等式可得(12+22)(a2+b2)≥(a+2b)2,
即5(1-c2)≥(1-c)2,
专题一
专题二
例2设a,b,c为正实数,且a+2b+3c=13,
专题一
专题二
变式训练2 求实数x,y的值,使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.?
解：由柯西不等式,得
(12+22+12)×[(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2]
≥[1×(y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)]2=1,
专题一
专题二
专题二:排序不等式的应用
1.在利用排序不等式证明相关不等式时,首先考虑构造出两个合适的有序数组,并能根据需要进行恰当地组合,这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择.
2.根据排序不等式的特点,与多变量间的大小顺序有关的不等式问题,利用排序不等式解决往往有“化繁为简”的效果.
3.利用排序不等式求最值时,也要关注等号成立的条件,不能忽略.
专题一
专题二
例3设a,b,c∈R+,利用排序不等式证明:
分析：假定a,b,c的大小关系,构造数组a5≤b5≤c5,
进行证明.
专题一
专题二
例4设a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整数,
分析：构造数组b1,b2,b3,b4,b5和1,
利用排序不等式求解.
解：设b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一个排列,
且b1则b1≥1,b2≥2,b3≥3,b4≥4,b5≥5.
专题一
专题二
变式训练3 设a1,a2,…,an为正数,且a1+a2+…+an=5,
5
1
2
3
4
考点:柯西不等式的应用
1.(2014陕西高考)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则
的最小值为 .?
解析：由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)≥(am+bn)2,
即5(m2+n2)≥25,
∴m2+n2≥5,当且仅当an=bm时,等号成立.
1
2
3
4
2.(2013湖南高考)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 .?
解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)≥(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c2≥12,当a=2b=3c=2时,等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.
答案：12
1
2
3
4
3.(2017江苏高考)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8.
证明：由柯西不等式可得:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
因为a2+b2=4,c2+d2=16,
所以(ac+bd)2≤64,因此ac+bd≤8.
1
2
3
4
4.(2015陕西高考)已知关于x的不等式|x+a|(1)求实数a,b的值;
