(共27张PPT)
第四讲 数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
1.数学归纳法的概念
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:
(1)证明当n=n0时命题成立;
(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
名师点拨数学归纳法与归纳法的关系:
归纳法是由一系列特殊事例得出一个结论的推理方法,它属于归纳推理.而数学归纳法是一种演绎推理方法,是一种证明命题的方法.
答案：D
2.数学归纳法的步骤
名师点拨1.数学归纳法的两个步骤缺一不可,第一步中验证n的初始值至关重要,它是递推的基础,但n的初始值不一定是1,而是n的取值范围内的最小值.
2.第二步证明的关键是运用归纳假设.在使用归纳假设时,应分析p(k)与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行局部调整.
做一做2 利用数学归纳法证明不等式
(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了( )?
A.1项
B.k项
C.2k-1项
D.2k项
答案：D
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( )
(2)所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明.
( )
(3)用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,归纳假设可以不用.
( )
(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.
( )
×
×
×
×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
用数学归纳法证明整除问题?
【例1】
用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
分析：在第二步证明中,注意利用归纳假设,对当n=k+1时的式子进行合理变形.
证明：(1)当n=1时,(3×1+1)·7-1=27能被9整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即(3k+1)·7k-1能被9整除.
当n=k+1时,[3(k+1)+1]·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1
=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1
=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,
所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除,
即当n=k+1时命题成立,
由(1)(2)可知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,其中n∈N+,a∈R.?
证明：(1)当n=1时,an+1+(a+1)2n-1即为a2+a+1,能够被a2+a+1整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即ak+1+(a+1)2k-1能够被a2+a+1整除,
当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1
=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]-a·(a+1)2k-1+(a+1)2·(a+1)2k-1
=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2k-1·(a2+a+1).
由归纳假设知,上式能够被a2+a+1整除,
即当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,命题对任意n∈N+都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
用数学归纳法证明等式?
【例2】
用数学归纳法证明:
分析：按照数学归纳法的步骤进行证明,注意第二步中合理运用归纳假设.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,命题成立.
即当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,命题对任意n∈N+都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟应用数学归纳法证明等式时应注意的问题
1.第一步的验证,对于有些问题验证的并不是n=1,有时需验证n=2或n=3等.
2.注意当n=k+1时式子的项数,特别是寻找n=k与n=k+1的关系式之间的关系时,项数发生变化容易被弄错,因此对当n=k与n=k+1时关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明就不再是数学归纳法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N+).?
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3.
当n=k+1时,1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k
=2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k
=2k(4k-2)+3=2k+1[2(k+1)-3]+3,
即当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)知,命题对任何n∈N+都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
用数学归纳法证明平面几何问题?
【例3】
平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2(n∈N+)个部分.
分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,所以再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后,平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明：(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以当n=1时命题成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.
当n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与这k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.
故当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,对一切n∈N+命题成立,即这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 平面上有n(n∈N+)条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条直线不过同一点,求证:这n条直线把平面分成
个部分.?
证明：(1)当n=1时,一条直线把平面分成2部分,
(2)假设当n=k(k≥1)时命题成立,即k条直线把平面分成
当n=k+1时,即增加一条直线l,因为任何两条直线都相交,所以l与k条直线都相交,有k个交点;又因为任何三条直线不共点,所以这k个交点不同于k条直线的交点,且k个交点也互不相同,所以k个交点把直线l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面区域分成2部分,故新增加了(k+1)个部分.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
即当n=k+1时命题也成立.
由(1)(2)知,命题对任何n∈N+都成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明过程中未用归纳假设致错
即当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)知,命题对n∈N+成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
即当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)知,命题对n∈N+成立.
纠错心得本题的错误在于证明当n=k+1命题成立这一步骤时,没有运用归纳假设,而是直接利用等比数列的前n项和公式求得,这不是用数学归纳法证明问题,是错误的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
即当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)知,命题对于任意的n∈N+都成立.
1
2
3
4
5
1.在用数学归纳法证明凸多边形内角和定理时,第一步应验证( )
A.n=1成立
B.n=2成立
C.n=3成立
D.n=4成立
解析：凸n边形的内角和为(n-2)π,最少边的凸n边形为三角形,所以应验证当n=3时成立.
答案：C
1
2
3
4
5
2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=
(n∈N+,a≠1),在验证当n=1时,左边所得的项为( )
A.1
B.1+a+a2
C.1+a
D.1+a+a2+a3
解析：因为当n=1时,an+1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2.
答案：B
1
2
3
4
5
3.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+),由n=k到n=k+1,等式左边的变化是( )
A.多乘了(2k+1)
B.多乘了2(2k+1)
C.多乘了(2k+1)(2k+2)
D.多乘了2(k+1)
答案：B
1
2
3
4
5
4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,当n=k+1时,为了使用归纳假设应将5k+1-2k+1变形为 .?
解析：假设当n=k(k≥1)时,5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5(5k-2k)+3·2k.
由假设知5k-2k能被3整除,又3·2k能被3整除,故5·(5k-2k)+3·2k能被3整除.
答案：5·(5k-2k)+3·2k
1
2
3
4
5
5.平面内有n(n≥2,n∈N+)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,证明交点的个数f(n)=
证明：(1)当n=2时,两条直线有一个交点,f(2)=1,命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,命题成立,
那么,当n=k+1时,第(k+1)条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点,
即当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知,命题对任何n≥2,n∈N+都成立.(共23张PPT)
二 用数学归纳法证明不等式举例
与正整数n有关的几个不等式
(1)当n∈N+,n≥5时,n2<2n.
(2)当n∈N+时,|sin
nθ|≤n|sin
θ|.
(3)贝努利不等式:如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n>1+nx.
当α是实数,并且满足α>1或者α<0时,有(1+x)α≥1+αx(x>-1);
当α是实数,并且满足0<α<1时,有(1+x)α≤1+αx(x>-1).
(4)如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1,那么它们的和a1+a2+…+an≥n.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若n∈N+,且n2<2n,则n≥5.
( )
(2)|sin
3θ|≤3|sin
θ|.
( )
(3)若实数a1,a2,…,an的乘积a1a2…an=1,则a1+a2+…+an≥n.
( )
(4)若x>-1,x≠0,则(1+x)4>1+4x.
( )
×
√
×
√
探究一
探究二
规范解答
利用数学归纳法证明不等式?
分析：找准n0,看左边是多少项,从n=k到n=k+1时添了什么项,少了什么项,根据n=k时的假设,从而证明当n=k+1时不等式成立.
探究一
探究二
规范解答
∴当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)可知,对一切的n≥2,且n∈N+,不等式都成立.
探究一
探究二
规范解答
反思感悟数学归纳法证明不等式的技巧
1.证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,因此需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.
2.数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
利用数学归纳法证明数列中的不等式问题?
分析：证明当n=k+1时不等式成立的关键是利用好n=k成立时的假设,以及当n=k+1时不等式的恰当变形.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
反思感悟利用数学归纳法证明数列中的不等式问题的基本策略
1.首先掌握好数学归纳法证明问题的基本步骤以及数列的有关知识,这是解决这类问题的基础.
2.这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是直接给出,有时是根据条件从前几项入手,通过观察、猜想,归纳出一个式子,然后再用数学归纳法证明.证明过程中,注意递推关系式的利用以及正整数n的性质.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
不等式中的归纳、猜想、证明问题
典例设f(n)=nn+1,g(n)=(n+1)n,n∈N+.
(1)当n=1,2,3,4时,比较f(n)与g(n)的大小.
(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论,并加以证明.
【审题策略】对于(1),可逐一计算进行比较;对于(2),可在(1)的基础上进行归纳猜想,然后利用数学归纳法证明猜想.
【规范展示】解(1)当n=1时,nn+1=1,(n+1)n=2,所以f(1)当n=2时,nn+1=8,(n+1)n=9,所以f(2)当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,所以f(3)>g(3).
当n=4时,nn+1=1
024,(n+1)n=625,
所以f(4)>g(4).
探究一
探究二
规范解答
(2)由(1)可猜测,当n≥3时f(n)>g(n).
以下用数学归纳法证明该猜测.
①当n=3时,nn+1=81,(n+1)n=64,所以f(3)>g(3).
所以猜测成立;
②假设当n=k(k≥3)时猜测成立,即f(n)>g(n),
即(k+1)k+2>(k+2)k+1成立,亦即f(n+1)>g(n+1)成立.
因此当n=k+1时猜测成立.
由①②知,当n≥3时f(n)>g(n)成立.
探究一
探究二
规范解答
【答题模板】
第1步:代入计算,逐一进行比较,得出具体结论.
?
第2步:进行归纳猜想,得到一般性结论.
?
第3步:证明初始值成立.
?
第4步:假设当n=k(k≥3)时,结论成立得到归纳假设,并变形.
?
第5步:证明n=k+1时结论成立.
?
第6步:证得结论.
探究一
探究二
规范解答
失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)第一问数据计算失误,得不出正确结果;
(2)第二问中不能正确地利用归纳并猜想得出一般性结论;
(3)用数学归纳法证明时,步骤不完整;
(4)证明当n=k+1时结论成立时,不能正确地进行放缩,从而无法利用归纳假设致误.
探究一
探究二
规范解答
1
2
3
4
5
答案：C
1
2
3
4
5
答案：C
1
2
3
4
5
答案：8
1
2
3
4
5
因此当n=k+1时不等式成立.
故原不等式对一切n≥2,n∈N+均成立.
1
2
3
4
5
5.对于一切正整数n,先猜出使tn>n2成立的最小自然数t,然后用数学归纳法证明,并证明不等式n(n+1)
>lg(1×2×3×…×n).
解：猜想当t=3时,对一切正整数n,使3n>n2成立.
证明:当n=1时,31=3>1=12,不等式成立.
假设当n=k(k≥1)时,3k>k2成立,
即3k≥k2+1.
当n=k+1时,
3k+1=3×3k=3k+2×3k>k2+2(k2+1)>3k2+1(k≥1).
∵(3k2+1)-(k+1)2=2k2-2k=2k(k-1)≥0,
∴3k+1>(k+1)2.
∴当n=k+1时不等式成立.
由上知,不等式3n>n2对一切正整数n∈N+都成立.
1
2
3
4
5(共21张PPT)
本讲整合
答案：①证明整除问题 ②证明几何问题 ③伯努利不等式
专题一
专题二
专题一:对数学归纳法原理及步骤的理解
1.数学归纳法的证明过程共有两步,缺一不可,其中,第一步是奠基,第二步是假设与递推.
2.第一步是证明n取第一个可取值时命题成立,但不一定就是n=1.
3.第二步证明过程中,必须用上归纳假设,否则就不是用数学归纳法证明.
专题一
专题二
例1用数学归纳法证明“对于任意x>0的实数,以及正整数n,都有xn+xn-2+xn-4+…+
≥n+1”时,需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为
( )
A.n0=1
B.n0=2
C.n0=1,2
D.以上答案均不正确
分析：根据n的取值条件以及不等式是否成立进行确定.
解析：由于n∈N+,则n的最小值为n0=1.
答案：A
专题一
专题二
变式训练1 某个命题与正整数有关,如果当n=k时,该命题不成立,那么可推得当n=k+1时命题也不成立,现在当n=5时,该命题成立,那么可推得( )?
A.当n=6时该命题不成立
B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立
D.当n=4时该命题成立
解析：依题意当n=4时该命题不成立,则当n=5时,该命题也不成立.而当n=5时,该命题成立却无法判断n=6时该命题是不是成立,故选D.
答案：D
专题一
专题二
专题二:数学归纳法的应用
分析：注意到这是与正整数n有关的命题,可考虑用数学归纳法证明.
专题一
专题二
专题一
专题二
变式训练2 求证:2n+2>n2,n∈N+.?
证明：(1)当n=1时,左边=21+2=4;右边=1,左边>右边;
当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边>右边;
当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边>右边.
因此当n=1,2,3时,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即2k+2>k2.
当n=k+1时,
2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)≥k2+2k+1=(k+1)2.
所以2k+1+2>(k+1)2.
故当n=k+1时,不等式成立.
由(1)(2)可知,不等式2n+2>n2对于任何n∈N+都成立.
专题一
专题二
例3已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lg
an-1(n≥2,n∈N),且f(1)=-lg
a,是否存在实数α,β,使f(n)=(αn2+βn-1)lg
a,对任意n∈N+都成立?证明你的结论.
分析：可先根据f(1),f(2)的值,建立关于α,β的方程组,求得α,β的值,然后再利用数学归纳法证明结论.
解：由已知得f(n)=f(n-1)+lg
an-1.
令n=2,f(2)=f(1)+lg
a=-lg
a+lg
a=0.
又f(1)=(-1)lg
a,
专题一
专题二
专题一
专题二
变式训练3 设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+
x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较Pn与Qn的大小,并加以证明.?
解：(1)当n=1,2时,Pn=Qn.
(2)当n≥3时,
①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn;
②若x=0,则Pn=Qn;
③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3<0,所以P3P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4猜想当k≥3时,Pk当k=3时,P3假设当k=m时不等式成立,即Pm当k=m+1时,Pm+1=(1+x)Pm<(1+x)Qm
专题一
专题二
即当k=m+1时,不等式成立.
所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn1
2
3
4
考点:数学归纳法的应用
1.(2017浙江高考)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N+).证明:当n∈N+时,
(1)0解：(1)用数学归纳法证明:xn>0.
当n=1时,x1=1>0,
假设n=k时,xk>0,
那么n=k+1时,若xk+1≤0,
则00.
因此xn>0(n∈N+).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.
因此01
2
3
4
(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,
1
2
3
4
1
2
3
4
2.(2015安徽高考)设n∈N+,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.
(1)求数列{xn}的通项公式;
(1)解：y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,
从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).
令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=
1
2
3
4
1
2
3
4
解：(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1-ex.
当f'(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;
当f'(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
当x>0时,f(x)1
2
3
4
下面用数学归纳法证明①.
(ⅰ)当n=1时,左边=右边=2,①成立.
1
2
3
4
所以当n=k+1时,①也成立.
根据(ⅰ)(ⅱ),可知①对一切正整数n都成立.
1
2
3
4.(2014陕西高考节选)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中f'(x)是f(x)的导函数.令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式.
4
