课时作业14 余弦定理、正弦定理应用举例
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，给定下列四组数据，无法测出AB长度的数据为( ABD )
A．α，a，b
B．α，β，a
C．a，b，γ
D．α，β，b
解析：由余弦定理，得|AB|＝，∴ABD三组数据均无法测出AB距离．
2．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为( C )
A．14米
B．15米
C．16米
D．17米
解析：
如图，设DN＝x
m，
则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，
∴x2－10x－96＝0，
∴(x－16)(x＋6)＝0.
∴x＝16或x＝－6(舍)．
∴N与D之间的距离为16米．
3.如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点(点A，B与树根部在同一直线上)，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60
m，则树的高度为( A )
A．(30＋30)m
B．(30＋15)m
C．(15＋30)m
D．(15＋3)m
解析：设树高为h，则由题意得
＝，h＝AP·sin30°，
∴h＝·sin30°＝30(＋1)＝(30＋30)(m)．
4．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为( C )
A．d1>d2
B．d1＝d2
C．d1
D．不能确定大小
解析：
如图，B，C，D分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α＝β.
在△PBC中，＝，
在△PCD中，＝，
∵sinα＝sinβ，sin∠PCB＝sin∠PCD，
∴＝.
∵PB5．一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的( C )
A．北偏东75°
B．东偏南75°
C．北偏东75°或东偏南75°
D．以上方位都不对
解析：
根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB＝32×＝16，
BS＝8，A＝30°.
在△ABS中，由正弦定理得
＝，
sinS＝＝＝.
∴S＝45°或135°，∴B＝105°或15°，
即灯塔S在B处的北偏东75°或东偏南75°.
6.如图，货轮在海上以40
km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行
h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是( B )
A．10
km
B．10
km
C．15
km
D．15
km
解析：在△ABC中，BC＝40×＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，
∴A＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得
AC＝＝＝10
(km)．
二、填空题
7．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．
解析：
如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，
∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.
在△ABC中，＝，
∴AC＝＝＝(千米)．
8．一船以24
km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15
min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是3
km.
解析：
如图，由条件知，AB＝24×＝6.
在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，
∴∠ASB＝45°.
由正弦定理，得＝，
∴BS＝＝3.
9．如图所示，某建筑物的高度BC＝300
m，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为200_m.
解析：根据题意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300
m，
∴AC＝＝＝200(m)．
在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，
∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，
∴∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°.
由正弦定理，得＝，
解得AQ＝＝200(m)，
在Rt△APQ中，PQ＝AQsin45°＝200×＝200(m)．
三、解答题
10．如图，某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD＝6
000
m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，求炮兵阵地与目标的距离．
解：由∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，得∠CAD＝60°.
在△ACD中，由正弦定理，得＝，则AD＝CD.在△BCD中，可得∠CBD＝135°，由正弦定理，得BD＝＝CD.又∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝75°＋15°＝90°，连接AB，则在△ABD中，AB＝＝CD＝×6
000＝1
000
(m)．
故炮兵阵地与目标的距离为1
000
m.
11．某单位有A，B，C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知AB＝80
m，BC＝70
m，CA＝50
m．假定A，B，C，O四点在同一平面内．
(1)求∠BAC的大小；
(2)求点O到直线BC的距离．
解：(1)在△ABC中，因为AB＝80
m，BC＝70
m，CA＝50
m，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝.
因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.
(2)设△ABC外接圆的半径为R，由(1)知A＝，
所以sinA＝，由正弦定理得2R＝＝＝(m)，即R＝
m.
过点O作边BC的垂线，垂足为D，
在Rt△OBD中，OB＝R＝
m，BD＝＝35
m，
所以OD＝＝＝
(m)，
所以点O到直线BC的距离为
m.
——能力提升类——
12．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10
m，吊杆AC＝15
m，吊索AB＝5
m，起吊的货物与岸的距离AD为( B )
A．30
m
B.
m
C．15
m
D．45
m
解析：在△ABC中，由余弦定理可得cos∠ACB
＝＝＝－，
所以∠ACB＝120°，∠ACD＝180°－120°＝60°.
然后由正弦定理＝，
可得AD＝ACsin60°＝
m．故选B.
13．在一片三角形的草地上建一圆形花池，使花池与草地相切，假设三角形草地顶点为A、B、C，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2＝ac，且角B＝，c＝3，则△ABC的形状是等边三角形，花池周长为π.
解析：由B＝，b2＝ac，c＝3，根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝.所以△ABC为等边三角形．则△ABC的高为，故其内切圆半径r＝×＝，则△ABC内切圆周长为l＝2πr＝π.即花池周长为π.
14．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4
dm，AD＝17
dm，∠BAC＝45°，若忽略
机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点7
dm的C处截住足球．
解析：设BC＝x
dm，由题意知CD＝2x
dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，
即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝.
∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－(dm)(舍去)．
∴该机器人最快可在线段AD上距A点7
dm的点C处截住足球．
15.如图，已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A，B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15°方向也以2海里/小时的速度移动．
(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？
(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．
解：(1)设经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，
AM＝10－2＝8，AN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos60°＝64＋4－2×8×2×＝52.所以MN＝2.
所以经过1小时后，甲、乙两小船相距2海里．
(2)设经过t(0则t＝＝＝<5.
答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向．(共62张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
温
示
提
馨
请
做：课时作业
13
PPT文稿
（点击进入）课时作业13 正弦定理
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是( ABD )
A．若AB．若sinAC．若A>B，则>
D．Acos2B
解析：A.若AB，设A＝，B＝，∴<0，>0，故该选项错误．D.A－sin2B，∴1－sin2A>1－sin2B，所以cos2A>cos2B，故该选项正确．故选ABD.
2．已知△ABC外接圆的半径R＝5，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则＝( C )
A．2.5
B．5
C．10
D．不确定
解析：根据正弦定理＝＝＝2R，得＝10.
3．在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B等于( C )
A．45°或135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
解析：∵sinB＝＝＝，∴∠B＝45°或135°.
但当∠B＝135°时，不符合题意，
所以∠B＝45°，故选C.
4．若三角形三个内角之比为1?2?3，则这个三角形三边之比是( B )
A．1?2?3
B．1??2
C．2??1
D.?1?2
解析：设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x,2x,3x，
则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°，
由正弦定理＝＝，
可知a?b?c＝sinA?sinB?sinC，
∴a?b?c＝sin30°?sin60°?sin90°
＝??1＝1??2.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝( A )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：∵sinC＝2sinB，由正弦定理，得c＝2b，
∴cosA＝＝＝＝，
又A为三角形的内角，∴A＝30°.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是( B )
A．一解
B．两解
C．无解
D．无法确定
解析：∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＝30×＝bsin30°>bsinC，又b>c，∴此三角形有两解(如图所示)．
二、填空题
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c，则C＝；若c＝，△ABC的面积为，则△ABC的周长为5＋.
解析：在△ABC中，因为2cosC(acosB＋bcosA)＝c，
由正弦定理可得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
又由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
整理得2cosCsinC＝sinC，
因为C∈(0，π)，则sinC>0，
所以cosC＝，所以C＝，
又由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，
即a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝7，
又因为S△ABC＝absin＝，解得ab＝6，
所以(a＋b)2－18＝7，即a＋b＝5.
所以△ABC的周长为5＋.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为.
解析：由sinB＋cosB＝sin＝，知B＝，由正弦定理易求得sinA＝.又a9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为－.
解析：由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.
又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c，由余弦定理得
cosA＝＝＝＝－.
三、解答题
10．在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状．
解：令＝k，
由正弦定理得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，
代入已知条件，得＝＝，
即tanA＝tanB＝tanC，
又A，B，C∈(0，π)，
∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
解：(1)由acosC＋c＝b和正弦定理，
得sinAcosC＋sinC＝sinB.
∵sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinC＝cosAsinC.∵sinC≠0，∴cosA＝.
∵0(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝.
∵b>a，∴B＝或.①当B＝时，
由A＝，得C＝，∴c＝2.②当B＝时，
由A＝，得C＝，∴c＝a＝1.
综上可得，c＝1或c＝2.
——能力提升类——
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a＝2b，则的值为( D )
A.
B.
C．1
D.
解析：∵＝，∴＝.
∵3a＝2b，∴＝.
∴＝.
∴＝22－1＝2×2－1
＝－1＝.
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为( C )
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：因为m⊥n，所以cosA－sinA＝0，所以tanA＝，则A＝.
由正弦定理可将acosB＋bcosA＝csinC化为sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，所以sin(A＋B)＝sin2C，所以sinC＝sin2C.
因为0所以C＝，所以A＝，B＝.
14．在△ABC中，B＝120°，AB＝，角A的平分线交BC于D，AD＝，则AC＝.
解析：如图所示，∵B＝120°，AB＝，AD＝，
∴由正弦定理得sin∠ADB＝＝，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝15°，∠BAC＝30°，∴在△ABC中，C＝30°，由正弦定理得AC＝＝＝.
15．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
解：(1)因为cosB＝，0(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
于是cosA＝－cos(B＋C)＝－cos＝－cosBcos＋sinBsin，又cosB＝，sinB＝，
故cosA＝－×＋×＝－.
因为0因此，cos＝cosAcos＋sinAsin＝－×＋×＝.课时作业12 余弦定理
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，A＝60°，则c＝( C )
A．1
B．2
C．4
D．6
解析：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即13＝9＋c2－3c，即c2－3c－4＝0，解得c＝4(负值舍去)．
2．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值是( C )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝9，
所以c＝3.根据三边的长度知角B为最大角，
故cosB＝＝－.
所以cosB＝－.
3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC是( D )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即ac＝a2＋c2－ac，所以(a－c)2＝0，即a＝c.
又因为B＝60°，所以△ABC为等边三角形．
4．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)?(a＋c)?(b＋c)＝9?10?11，则下列结论正确的是( ACD )
A．a?b?c＝4?5?6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则tanB＝
解析：因为(a＋b)?(a＋c)?(b＋c)＝9?10?11.
所以可设：(其中x>0)，
解得：a＝4x，b＝5x，c＝6x.
所以a?b?c＝4?5?6，所以A正确．
由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，
又cosC＝＝＝>0，
所以C角为锐角，所以B错误；
由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，
又cosA＝＝＝，
所以cos2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cosC，
由三角形中C角最大且C角为锐角可得：2A∈(0，π)，C∈(0，)，
所以2A＝C，所以C正确；
若c＝6，则a＝4，b＝5，cosB＝＝，sinB＝＝，tanB＝＝，所以D正确．故选ACD.
5．已知锐角三角形边长分别为2,3，x，则x的取值范围是( C )
A．(，5)
B．(1，)
C．(，)
D．(，5)
解析：三边需构成三角形，且保证3与x所对的角都为锐角，由余弦定理得解得6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( B )
A.
B.
C.
D．3
解析：在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，由余弦定理，得cosA＝＝＝，∴A＝60°.∴边AC上的高h＝AB·sinA＝3sin60°＝.故选B.
二、填空题
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cosA＝.
解析：由B＝C，得b＝c＝a.由余弦定理，得
cosA＝＝＝.
8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝4.
解析：∵a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，∴b2＝22＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，∴b＝4.
9．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是正三角形．
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.
因为B＝60°，2b＝a＋c，
所以2＝a2＋c2－2accos60°.
整理上式可得(a－c)2＝0，所以a＝c.
又2b＝a＋c，所以b＝a＝c.
因此，△ABC为正三角形．
三、解答题
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
解：(1)∵cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
11．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值．
(2)求sin(B＋C)的值．
解：(1)由已知及余弦定理，
cosB＝＝
＝＝－，
即9－2b＋c＝0，
又b－c＝2，
所以b＝7，c＝5.
(2)由(1)及余弦定理，
cosC＝＝＝，
又sin2C＋cos2C＝1,0所以sinC＝，同理sinB＝，
所以sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB＝×＋×(－)＝.
——能力提升类——
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B为( D )
A.
B.
C.或
D.或
解析：∵(a2＋c2－b2)tanB＝ac，
∴tanB＝，即cosBtanB＝，
∴sinB＝，B＝或.
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( A )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
解析：由2c2＝2a2＋2b2＋ab得，
a2＋b2－c2＝－ab，
所以cosC＝＝＝－<0，
所以90°即三角形为钝角三角形，故选A.
14．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为.
解析：∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cosC＝＝＝，
∵015．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－sinA)cosB＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cosAcosB－sinAcosB＝0，
即有sinAsinB－sinAcosB＝0，
因为sinA≠0，所以sinB－cosB＝0，
又cosB≠0，所以tanB＝，
又0(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accosB.
因为a＋c＝1，cosB＝，有b2＝32＋.
又0第六章
平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6．4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
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