课时作业9 平面向量数量积的坐标表示
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中错误的是( ABC )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．a∥b
D．a－b与b垂直
解析：因为|a|＝1，|b|＝，所以|a|≠|b|，
又a·b＝1×＋0×＝≠，易知a与b不共线，所以A，B，C均不正确；
因为a－b＝，且(a－b)·b＝×＋×(－)＝0，所以(a－b)⊥b.
2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( A )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
解析：＝(－3,3)，＝(1,1)，·＝0，
∴A＝.△ABC为直角三角形．
3．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k的值等于( A )
A．－
B．－
C．
D．
解析：因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－，故选A．
4．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( C )
A．
B．
C．5
D．25
解析：∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( D )
A．
B．
C．
D．
解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．
∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴
解得即c＝.
6．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为( A )
A．－θ
B．θ－
C．＋θ
D．θ
解析：设a与b的夹角为α，则cosα＝＝＝－sinθ，因为θ∈(，π)，α∈[0，π]，所以α＝π－θ.
二、填空题
7．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于2.
解析：2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2.
8．已知平面向量a与b的夹角为π，a＝(，1)，|a－2b|＝2，则|a|＝2，|b|＝1.
解析：a＝(，1)，所以|a|＝2；
又|a－2b|＝2，所以|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝12，
即22－4×2×|b|×cosπ＋4|b|2＝12，
整理得|b|2＋|b|－2＝0，
解得|b|＝1或|b|＝－2(舍去)，
所以|b|＝1.
9．△ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为3.
解析：∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，
∴x≤1，∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
三、解答题
10．已知＝(6,1)，＝(4，k)，＝(2,1)．
(1)若A、C、D三点共线，求k的值；
(2)在(1)的条件下，求向量与的夹角的余弦值．
解：(1)＝＋＝(10，k＋1)，
又A、C、D三点共线，∴∥.
∴10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4.
(2)设向量与的夹角为θ，
由(1)得＝(4,4)，则·＝2×4＋1×4＝12，
又||＝＝4，||＝＝，
则cosθ＝＝＝.
即向量与的夹角的余弦值为.
11．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．
解：m、n的夹角不能为60°.
证明：假设m、n的夹角能为60°，
则cos60°＝，∴m·n＝|m||n|.①
又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，
∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.
∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②
|m||n|＝·＝k2＋1.③
由①②③，得2k＝(k2＋1)，∴k2－4k＋1＝0.
∵该方程无整数解．
∴m、n的夹角不能为60°.
——能力提升类——
12．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( C )
A．(－3,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
解析：设点P的坐标为(x,0)，则
＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.
当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)，故选C．
13．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则k的值为－或或.
解析：当∠A＝90°时，·＝0，
∴2×1＋3×k＝0，∴k＝－.
当∠B＝90°时，·＝0，＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)．
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝.
当∠C＝90°时，·＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0，∴k＝.
综上所述：k＝－或或.
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且＝2，则·的值是.
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵AB＝，BC＝2，∴A(0,0)，B(，0)，C(，2)，D(0,2)．∵点E为BC的中点，∴E(，1)，又∵点F在边CD上，且＝2，∴F.∴＝(，1)，＝，∴·＝2－＝.
15．设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝.
(1)试证：非零向量a＋b与a－b垂直；
(2)当两个向量a＋b与a－b的模相等时，求角α.
解：(1)证明：(a＋b)·(a－b)
＝·
＝＋·
＝cos2α－＋sin2α－＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由|a|＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝|a－b|，
平方得(a＋b)2＝(a－b)2，
整理得2a2－2b2＋4a·b＝0，
即2－2＋4a·b＝0，也就是a·b＝0，
a·b＝(cosα，sinα)·＝－cosα＋sinα＝0，
∴tanα＝.
∵0°≤α<360°，∴α＝30°或α＝210°.(共46张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
温
示
提
馨
请
做：课时作业
9
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