(共43张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示课时作业8 平面向量数乘运算的坐标表示
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝( D )
A．13
B．－13
C．9
D．－9
解析：∵A，B，C三点共线，∴∥，而＝(－8,8).＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝( D )
A．(1，)
B．(，)
C．(，)
D．(－，－)
解析：设c＝(x，y)，a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(5－2×(－4)＋3x，－2－2×(－3)＋3y)＝(13＋3x,4＋3y)＝0，
∴∴故选D．
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k、l的值为( D )
A．－2,3
B．－2，－3
C．2，－3
D．2,3
解析：利用相等向量的定义求解．
∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，
即，解得：k＝2，l＝3.
4．(多选)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则下列结论成立的是( AD )
A．不存在实数x，使a∥b
B．存在实数x，使(a＋b)∥a
C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a
D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b
解析：由a∥b?x2＝－9无实数解，故A正确；
又a＋b＝(x－3,3＋x)，
由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，
即x2＝－9无实数解，故B不对；
因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，
由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0.
即x2＝－9无实数解，故C不对；
由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，
即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故D正确．
5．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝( B )
A．(－2,7)
B．(－6,21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
解析：如下图，
∵＝＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，
∴＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)，
∴＝3＝(－6,21)．
6．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于( A )
A．45°
B．30°
C．60°
D．30°或60°
解析：由a∥b，得－2×＝1－cos2θ＝sin2θ，
∵θ为锐角，∴sinθ＝.∴θ＝45°.
二、填空题
7．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝2.
解析：λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，∵(λa＋b)∥c，
∴－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)?λ＝2.
8．若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，则＋2，－的坐标分别为(－18,18)，(－3，－3)．
解析：由A，B，C三点坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)可求得＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
则＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．
－＝(－8,4)－(－10,14)＝(－3，－3)．
9．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||，则点E的坐标为(，－7)．
解析：∵＝，∴A为BC的中点，
∴点C的坐标为(3，－6)．
又∵||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－.
设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得解得
∴点E的坐标为(，－7)．
三、解答题
10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．
解：(1)由已知ka－b＝(k,0)－(2,1)＝(k－2，－1)．
a＋2b＝(1,0)＋(4,2)＝(5,2)．
当ka－b与a＋2b共线时，2(k－2)－(－1)×5＝0，
解得k＝－.
(2)由已知可得＝2a＋3b＝(2,0)＋(6,3)＝(8,3)．
＝a＋mb＝(1,0)＋(2m，m)＝(2m＋1，m)．
∵A、B、C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，得m＝.
11．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ(λ∈R)．
(1)当λ为何值时，点P在函数y＝x的图象上？
(2)若点P在第三象限，求λ的取值范围．
解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，
即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)，由＝＋λ，可得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
则解得
∴点P的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝，
∴当λ＝时，点P在函数y＝x的图象上．
(2)∵点P在第三象限，
∴解得λ<－1，
∴λ的取值范围是{λ|λ<－1}．
——能力提升类——
12．向量a，b，c在正方形网格中的位置如下图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( B )
A．2
B．4
C．
D．－
解析：以向量a，b的公共点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，∴
解得因此＝4，故选B．
13．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( C )
A．
B．
C．
D．
解析：∵p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)且p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，∴角C的大小为.故选C．
14．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝( C )
A．{(1,1)}
B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．?
解析：设a∈M∩N，则存在实数λ和μ，
使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，
即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)，
∴解得
∴a＝(－2，－2)．
∴M∩N＝{(－2，－2)}．
15．设向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，求的取值范围．
解：由a＝2b，知
∴
又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2，
∴－2≤cos2α＋2sinα≤2，
∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，
∴≤m≤2.
∵＝＝2－，∴－6≤2－≤1，
∴的取值范围为[－6,1]．
