课时作业7 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．向量正交分解中，两基底的夹角等于( B )
A．45°
B．90°
C．180°
D．不确定
2．(多选)下列各式不正确的是( ACD )
A．若a＝(－2,4)，b＝(3,4)，则a－b＝(1,0)
B．若a＝(5,2)，b＝(2,4)，则b－a＝(－3,2)
C．若a＝(1,0)，b＝(0,1)，则a＋b＝(0,1)
D．若a＝(1,1)，b＝(1，－2)，则a＋b＝(2,1)
解析：由向量加、减法的坐标运算可得．
3．如果用i,
j分别表示x轴正方向上和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为( C )
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
解析：记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
4．已知A(x,2)，B(5，y－2)，若＝(4,6)，则x、y的值分别为( B )
A．x＝－1，y＝0
B．x＝1，y＝10
C．x＝1，y＝－10
D．x＝－1，y＝－10
解析：∵A(x,2)，B(5，y－2)，
∴＝(5－x，y－4)＝(4,6)，
∴解得故选B．
5．如图所示，向量的坐标是( D )
A．(1,1)
B．(－1，－2)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
解析：由题图知，M(1,1)，N(－1，－2)，则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．
6．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
解析：设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
∴解得∴C(－4，－2)，
又B(3,2)，∴＝(－7，－4)，选A．
二、填空题
7．已知A(3,4)，B(－5,5)，且a＝(x－3，x2＋4x－4)，若a＝，则x的值等于－5.
8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(－3，－5)．
解析：∵＝＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝(－3，－5)．
9．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论有1个．
解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，但②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
三、解答题
10．已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－.
解：∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，∴＝(7－4,5－6)＝(3，－1)，
＝(1－4,8－6)＝(－3,2)，
＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，
－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标．
(2)求向量的坐标．
(3)求点B的坐标．
解：(1)作AM⊥x轴于点M，如图．
则OM＝OA·cos45°＝4×＝2，
AM＝OA·sin45°＝4×＝2，
所以A(2，2)，故a＝(2，2)．
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
所以C，所以＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋
＝(2，2)＋
＝.
∴B.
——能力提升类——
12．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是( B )
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．不能构成平行四边形
解析：∵＝(－4,3)，＝(8,0)，＝(4，－3)，＝(－8,0)，∴＝，＝，∴四边形ABCD为平行四边形．
13．若向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b满足( C )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限角的平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限角的平分线
解析：∵a＋b＝(0，x2＋1)，∴向量a＋b满足平行于y轴．
14．已知i、
j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于( D )
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵x2＋x＋1＝2＋>0，－(x2－x＋1)＝－2－<0，∴点A位于第四象限，故选D．
15．已知不共线的三个向量a、b、c两两所夹的角相等，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求a＋b＋c.
解：如右图所示，建立直角坐标系．
由已知可得a＝(1,0)，b＝(－1，)，
c＝(－，－)，
∴a＋b＋c＝(－，－)．(共32张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
