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第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理课时作业6 平面向量基本定理
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是( ABC )
A．＝＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝＋
解析：由向量减法的三角形法则知，＝－，B正确；由向量加法的平行四边形法则知，＝＋，＝＝＋，A、C正确，只有D错误．
2．在△ABC中，已知D为AC上一点，若＝2，则＝( D )
A．－－
B．＋
C．－－
D．＋
解析：如图，＝＋A＝＋＝＋(－)＝＋，故选D．
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2＝，＝＋λ，则λ等于( A )
A． B．－
C． D．－
解析：方法一：由平面向量的三角形法则可知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.
方法二：因为A，B，D三点共线，＝＋λ，所以＋λ＝1，所以λ＝.
4．若＝a，＝b，＝λ，则＝( D )
A．a＋λb
B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b
D．
解析：∵＝λ，
∴－＝λ(－)，
(1＋λ)＝λ＋，∴＝.
5．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( A )
A．x＋y－2＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0
D．2x＋y－2＝0
解析：由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)·－λ.又2＝x＋y，∴消去λ得x＋y＝2.
6．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点)，则＝( A )
A．λ(＋)，λ∈(0,1)
B．λ(＋)，λ∈(0，)
C．λ(－)，λ∈(0,1)
D．λ(－)，λ∈(0，)
解析：如图所示，＝＋，又点P在AC上，∴与同向，且||<||，故＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
二、填空题
7．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以{a，b}为基底表示向量＝a＋1b.
解析：＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
8．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝－.
解析：因为A，B，D三点共线，
所以存在实数t，使＝t，
则－＝t(－)．
所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t.
所以解得λ＝－.
9．在△ABC中，＝a，＝b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，则用a，b表示向量＝a＋b.
解析：依题意得，＝＝×(＋)＝＋(＋)＝＋＝a＋b.
三、解答题
10．在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是、的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出向量、、在此基底下的分解式．
解：如图所示，
∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2，
又＋＋＋＝0，
∴＝－－－
＝－＋＋
＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2.
而＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋－
＝＋e2－
＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2.
11．如图，已知M为△ABC的边BC上一点，且满足＝＋，求△ABM与△ABC的面积之比．
解：∵＝＋，
∴＝(－)＋(－)，
∴＋＝0，∴＝3，
∴＝＝.
——能力提升类——
12．(多选)在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，给出下列四组等式，其中，符合条件的是( BD )
A．＝，＝
B．＝，＝
C．＝，＝
D．＝，＝
解析：由题意，设＝x，＝y，
则＝＋＋＝＋y－x＝＋y(＋＋)－x＝(1－y)＋(y－x)＋y，
又＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
则y－x＝0，即x＝y，满足题意的有B、D．
13．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝.
解析：∵＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ(－＋)＝－＋λ，∴则＝.
14．设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2，其中不能作为平面内所有向量的基底的是③.(写出所有满足条件的序号)
解析：①设e1＋e2＝λe1，则无解，
∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；
②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，
∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；
③∵e1－2e2＝－(4e2－2e1)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底；
④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，
∴无解，
∴e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．
15．如右图所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，AD与EF相交于点G，已知CD＝2DB，AF＝4FB，AG＝mAD，AE＝tAC．
(1)试用，表示；
(2)若m＝，求t的值．
解：(1)因为＝＝(－)＝－，所以＝＋＝＋＝＋.
(2)依题意知，＝，＝t，
＝＝＋，
所以＝－＝－，＝－＝t－.
因为E，F，G三点共线，所以＝λ，
所以＝tλ，－＝－λ，解得t＝.
